§ 2. Функции множества

Определение. Пусть — поле -множеств. Конечная функция определенная на множествах из и принимающая действительные значения, называется вполне аддитивной, если для любого конечного или счетного набора непересекающихся множеств из такого, что

Если имеется только конечное число множеств то предположение является следствием предположения о том, что входят в При счетном наборе множеств это будет так, еслн поле является борелевскнм полем.

Из определения вполне аддитивности следует, что если множества из и

или

то

Если есть -множество, определенное некоторыми условиями то мы будем обозначать как вместо того чтобы писать

Теорема 2.1. Пусть поле -множеств. Если вполне аддитивные функции множества, определенные на множествах поля и если

то и

Теорема остается верной, если в условии и в заключении теоремы знак заменить знаком

Чтобы доказать эту теорему, достаточно заметить, что в класс множеств из для которых удовлетворяют указанному в теореме соотношению, входят все множества из а также пределы монотонных последовательностей, входящих в этот класс множеств. Таким образом, этот

класс удовлетворяет условиям теоремы 1.2 и, следовательно, совпадает с что и требовалось доказать.

Определение. Пусть поле -множеств. Функция определенная на множествах из называется мерой, если она вполне аддитивна и неотрицательна, и вероятностной мерой, если она является мерой и

Если является мерой, то множества, входящие в поле, на котором она определена, называют обычно измеримыми.

Теорема 2.2. Пусть — поле -множеств, и пусть мера, определенная на множествах поля Тогда, существует единственная мера определенная на множествах поля такая, что

Единственность такой меры является следствием теоремы 2.1. Доказательство ее существования будет нами опущено.

Теорема 2.3. Пусть и — борелевские поля -множеств и мера, определенная на множествах борелевского поля Предположим, что для каждого множества существует множество такое, что

Тогда если х есть функция от измеримая относительно то найдется функция х, измеримая относительно и такая, что

Пусть класс функций х, измеримых относительно .3-, для которых выполнено это утверждение. Тогда, по предположению, в входят все функции, принимающие значение 1 на некотором множестве из и значение на его дополнении. В класс очевидно, входят также линейные комбинации конечного числа входящих в него функций и пределы любых сходящихся последовательностей входящих в 36 функций. Следовательно, по теореме 1.3, в входят все функции от измеримые относительно У, что и требовалось доказать.

Пусть мера, определенная на множествах борелевского поля Рассмотрим все -множества для каждого из которых существует пара множеств из такая, что

Класе множеств образует борелевское поле причем тогда и только тогда, когда в входят все подмножества множеств из , имеющих меру 0. Если то из предыдущего соотношения между следует, что

Если то вторая и третья входящих в это соотношение величин попрежнему остаются равными друг другу. Поэтому естественно при определить с помощью этого равенства; при таком определении становится мерой, определенной на множествах поля Каждое множество из отличается от некоторого множества из на. подмножество некоторого множества из имеющего меру 0. Операция расширения области определения задинной меры с поля до поля называется пополнением, меры, а мера, обладающая тем свойством, что для нее т. е. что все подмножества множеств меры сами измеримы (и имеют меру 0), называется полной. Операция пополнения превращает любую меру в полную. Мы будем всегда использовать обозначение для борелевского

поля, определенного описанным здесь образом. Заметим, что зависит как от так и от меры

Теорема 2.4. Пусть поле -множеств. Предположим, что — борелевское поле множеств такое, что Пусть мера, определенная на и такая, что если то найдется множество такое, что

Тогда

(I) Для любого и любого существует множество такое, что

(II) Для любого существуют множества где А является суммой счетного числа множеств, являющихся, в свою очередь, пересечениями счетного числа множеств из а является пересечением счетного числа множеств, являющихся, в свою очередь, суммами счетного числа множеств из 0, такие, что

(III) Для любой функции х от и, измеримой относительно и любого найдется функция принимающая конечное число значений, каждое на некотором множестве из такая, что

и (если х интегрируема)

Для того чтобы доказать утверждение (I) [соответственно обозначим через класс множеств [соответственно для которых выполнено это утверждение. Тогда и легко показать, что в входят пределы монотонных последовательностей входящих в него множеств. Но тогда в силу теоремы Этим доказано утверждение (II); тот факт, что в случае утверждения легко выводится из указанной в условиях теоремы связи между множествами из Утверждение (III) нетрудно свести к аппроксимируя х функциями, принимающими конечное число значений, каждое на некотором множестве из к которому применимо утверждение (I).

Пример 2.1. Пусть действительная прямая и поле конечных сумм правых полузамкнутых интервалов. Тогда является классом одномерных борелевских множеств. Пусть ограниченная монотонно неубывающая непрерывная справа функция от такая, что Если конечная сумма правых полузамкнутых интервалов,

то положим

Можно показать, что является мерой на множествах По теореме 2.2 область определения меры можно расширить так, чтобы она совпадала с полем всех борелевских множеств, после чего ее еще можно расширить при помощи пополнения. Множества полученного таким пополнением

класса называются измеримыми по Лебегу — Стильтьесу или измеримыми относительно с такой областью определения называется мерой Лебега—Стильтьеса. Мы опустим получаемые без труда обобщения на случай неограниченной функции Класс измеримых по Лебегу — Стильтьесу множеств зависит от выбора Например, если есть ступенчатая функция с конечным или счетным числом скачков, то каждое -множество измеримо по Лебегу — Стильтьесу. Однако в общем случае не содержит всех -множеств. Если достаточно малое положительное число, то указанное выше множество из поля имеет меру, близкую к мере покрывающего его открытого множества и к мере содержащегося в нем замкнутого множества Таким образом, в качестве множества фигурирующего в утверждении (I) теоремы 2.4, может быть здесь выбрана (если отказаться от требования, чтобы принадлежало сумма конечного числа открытых или конечного числа замкнутых интервалов, а за множества из утверждения (II) теоремы 2.4 могут быть взяты, если это удобно, соответственно, замкнутые и открытые множества. Если функция х от измерима относительно [т. е. измерима относительно поля то ее интеграл по множеству А обозначается обычно

В частности,

Пример 2.2. Пусть обычное -мерное пространство; обобщим рассмотрения предыдущего примера на случай измерений. Пусть - поле конечных сумм правых полузамкнутых -мерных интервалов, так что является классом -мерных борелевских множеств. Пусть, далее, ограниченная функция от переменных, монотонно неубывающая и непрерывная справа по каждому из переменных, обладающая следующими двумя свойствами:

в которой в каждом из слагаемых к из величин заменены на соответствующие причем сумма берется по всем возможным замегйш, то

Если полузамкнутый справа интервал,

то положим

и если А является конечной суммой таких (непересекающихся) интервалов, то определим как сумму значений этой функции по всем входящим в интервалам. Нетрудно показать, что в таком случае будет мерой на множествах класса и поэтому ее можно будет расширить на

воле всех борелевских множеств, а затем пополнить. Полученная таким путем мера есть мера Лебега — Стильтьеса в пространстве измерений; измеримые множества и функции называются здесь измеримыми относительно Замечание о применимости теоремы 2.4, сделанное в одномерном «дучае, остается верным и для измерений. Интеграл от измеримой интегрируемой функции х от обозначается

частности,

Обратно, если есть мера, определенная на поле борелевских множеств -мерного пространства, и если вдели функцию равенством

то будет обладать свойствами, перечисленными в примере 2.1 при настоящзм примере при Заданная мера совпадает при этом с мерой Лзбега — Стильтьеса, порожденной функцией на конечных суммах правых полузамкнутых интервалов, а следовательно, по теореме 2.1 совпадает с ней и на всех борелевских множествах.

Если функции при каждом обладают свойствами, указанными в примере 2.1, то функция определенная равенством

удовлетворяет условиям, наложенным на функцию в настоящзм примере. Для такой функции

интеграл относительно записывается здесь обычно в виде

в вычисляется при помощи повторного интегрирования. Полученную -мерную меру называют иногда прэизвзденизм одномерных мер на координатных осях, определяемых функциями

Пример 2.3. Пусть прэизвэяьяэз бесконечное множество, -пространство всех действительных функций от Тогда точками являются функции аргумента Мы сейчас обобщим предыдущие два примера бзсконечнэмерныа случай. Пусть функция от принимающая значение если является функцнзй так что Выберем конечное подмножество маэжзства и -мзрнэе борелзвское множество А. Если зядчзнигя, принимаемые функцией в точках то условие

определяет некоторое -множество. Это -множество совпадает с -множеством

Пусть — класс всех -множеств, получаемых таким способом при произвольных Класс является полем, но борелевским полем. Порожденное им борелевское поле мы обозначим через Предположим, что на определена функция множества такая, что для каждого конечного фиксированного набора значений функция

от -меркых борелевских множеств А является мерой на поле -мерных борелевских множеств. Функция очевидно, аддитивна на множествах поля Другой подход к определению функции состоит в том, что для каждого конечного набора задается функция переменных удовлетворяющая условиям, указанным в примере 2.2, а затем определяется равенством

Для того чтобы определялась этой формулой однозначно, функции должны удовлетворять следующим двум условиям согласованности: во-первых, если — любая перестановка чисел то

и, во-вторых, при

Можно показать, что является мерой и, следовательно, ее можно расширить до меры, определенной на 38 а затем пополнить. Заметим, что в предыдущем рассуждении можно заменить несколько меньшим (но порождающим то же самое борелевское поле) полем -множеств вида

где А — конечные суммы -мерных правых полузамкнутых интервалов. не будем заниматься обобщением на настоящий случай остальных замечаний, сделанных нами при рассмотрении -мерного случая.

Закончив рассмотрение примеров, сделаем еще несколько замечаний, касающихся интегрирования и его связи с функциями множеств. Пусть борелевское поле -множеств, мера, заданная на и — функция от измеримая относительно Выше мы уже предполагали, что интеграл по любому измеримому множеству определяется обычным образом и что основные свойства интеграла известны читателю. Напомним только, что измеримая функция интегрируема тогда и только тогда, когда интегрируема функция Интеграл от х по множеству обозначается

Если функция х измерима и интегрируема то функция множества определенная равенством

вполне аддитивна. Далее, если то не может тождественно обращаться в нуль. Это значит, что еслп для почти всех Две функции множества рассмотренного здесь типа совпадают тогда и только тогда, когда соответствующие им подинтегральные

функции равны при почти всех Вполне аддитивная функция множества, заданная на поле называется абсолютно непрерывной относительно меры если она обращается в нуль на всех множествах, на которых равно нулю. Рассмотренная выше функция множества является, очевидно, абсолютно непрерывной относительно Обратно, если функция абсолютно непрерывна относительно на поле то она может быть представлена в виде интеграла от некоторой функции х, измеримой относительно и интегрируемой по мере q (теорема Радона — Никодима). Мы уже отмечали, что х определяется по функции множества однозначно с точностью до значений на множестве нулевой меры Приводимая ниже теорема 2.5 дает явное определение этой функции х.

Вполне аддитивная функция определенная на множествах из называется сингулярной отвосительпо меры если она не равна тождественно иулю и если существует множество такое, что

Множество называется сингулярным множеством функции относительно меры или, если функция неотрицательна, множеством роста Мвожество определено не однозначно, так как каждое множество, имеющее -меру и содержащее некоторое сингулярное множество функции относительно само является сингулярным множеством. Согласно известной теореме теории меры, любая вполне аддитивная, функция, может быть представлена в виде суммы где функция абсолютно непрерывна относительно или сингулярна относительно или обращается тождественно в нуль. Такое разложение единственно, и если неотрицательна, тоже неотрицательны. В случае неотрицат функции условие того, чтобы было сингулярным множеством функции относительно принимает вид

Таким образом, каждая вполне аддитивная функция может быть представлена в виде

где сингулярная компонента а функция х определяется однозначно с точностью до значений на множестве -меры 0. Нам будет полезно для дальнейшего иметь явное выражение функции х через функцию Мы сейчас увидим, что х можно рассматривать, как обобщенную производную от Пусть при каждом имеется конечный или счетный набор непересекающихся множеств из поля составляющих в сумме все Предположим, что каждое из множеств содержится в каком-то из множеств Положим

Тогда является обобщенным разностным отношением относительно Если предел существует и конечен для почти всех (по мере д) значений то называется производной функции по мере относительно разбиений За исключением тривиальных случаев, производная

зависит от выбора разбиения. Нам понадобится в дальнейшем следующая теорема.

Теорема 2.5. Если, вполне аддитивная функция на барелевском поле и если мера на этом же поле, то всегда существует производная функции относительно любого заданного разбиения. Эта. производная является плотностью х абсолютно непрерывной компоненты функции относительно тогда столько тогда, когда разбиение удовлетворяет следующим условиям (I) и (II), в которых через обозначено борелевское поле, порожденное классом множеств равно почти всюду функции, измеримой относительно Сингулярная компонента функции сосредоточена на некотором множестве меры поля

В большинстве приложений разбиение выбирается так, чтобы или, по крайней мере, чтобы каждое множество поля содержалось в некотором множестве поля той же самой меры. В этом случае разбиение удовлетворяет условиям (I) и (II) для каждой функции Примером может служить следующее разбиение: -конечный интервал, класс всех его измеримых по Лебегу подмножеств, мера Лебега и интервалы (в конечном числе для каждого фиксированного такие, что максимум длин интервалов стремится к 0, когда Теорема 2.5 доказана в § 8 гл. VII вероятностными методами при несущественном дополнительном предположении, что вероятностная мера.

В гл. V рассматриваются меры в абстрактных произведениях пространств; сейчас мы дадим необходимые для этого обоснования. Последующие страницы могут быть опущены читателем, который согласится понимать под пространством X гл. V действительную прямую или, самое большее, конечномерное пространство.

Пусть X — любое абстрактное пространство точек -некоторое множество значений Пусть, далее, пространство функции от со значениями из Тогда точка является функцией от Пусть будет функцией от принимающей значение если является функцией так что Во всем дальнейшем предполагается, что задано некоторое борелевское поле х подмножеств множества Мы обозначим через борелевское поле -множеств, порожденное классом -множеств вида где

Теорема 2.6. Для любого существует последовательность множеств из поля такая, что если есть содержащееся в борелевское поле, порожденное последовательностью и если есть содержащееся в борелевское поле, порожденное классом множеств вида где то

Пусть 5 — класс множеств А поля для которых верна сформулированная теорема. Тогда является, очевидно, борелевским полем, и если то Следовательно, по определению имеем

Пример 2.4. Пусть есть множество чисел Тогда точками являются совокупности элементов вида и мы обозначим как сомножителей). Условимся называть множества этого борелевского поля обобщенными -мерными борелевскими множествами, а числовые функции, измеримые относительно этого борелевского поля, — обобщенными беровскими функциями переменных. В частности, класс обобщенных одномерных борелевских множеств совпадает с классом Если X — действительная прямая, а — класс одномерных борелевских множеств, то только что определенные обобщенные -мерные борелевские множества сводятся к обычным -мерным борелевским множествам.

При любом мы будем обозначать через поле -множеств вида

где — произвольное положительное целое число, произвольные точки множества произвольное обобщенное -мерное борелевское множество. Тогда поле является борелевским полем, порожденным если конечно. Мы займемся изучением мер на 3, определяемых мерами, заданными на

Пример 2.5. Пусть множество чисел Мы построим сейчас некоторый класс мер на поле играющий важную роль в теории вероятностей. Пусть мера, заданная на обобщенных борелевских одномерных множествах. Пусть, далее, каждом есть функция от где обобщенные одномерные борелевскне множества, обладающая следующими свойствами:

(I) При фиксированных функция является мерой на обобщенных одномерных борелевских множествах.

(II) При фиксированном А функция является обобщенной беровской функцией от

Определим тогда меру на поле при помощи следующего повторного интеграла (вычисляемого повторным интегрированием справа налево):

Пример 2.6. Этот пример представляет собой обобщение предыдущего примера на бесконечномерный случай. Пусть множество положительных целых чисел, пусть обладают свойствами, описанными в предыдущем примере, и, кроме того, пусть все эти меры являются вероятностными мерами. Тогда данное выше определение позволяет определить как аддитивную функцию на поле являющуюся вполне аддитивной, если ограничиться множествами из задаваемыми условиями, наложенными на при фиксированном Из того факта, что меры являются вероятностными мерами, вытекает, что при величина определена однозначно, т. е. что не зависит от значения взятого при интегрировании. Для случая, когда X есть множество действительных чисел, а класс одномерных борелевских множеств, мы уже рассматривали в примере 2.3 теорему Колмогорова, утверждающую, что каждая неотрицательная а дитивн а но ее на поле , являющаяся вполне аддитивной на каждом подполе поля состоящем из множеств, заданных условиями, налагаемыми на фиксированное конечное число координатных функций, является в действительности вполне аддитивной и на всем следовательно, может быть расширена до меры, заданной на борелевском поле Эта теорема не обязательно верна при произвольных пространстве X и поле но она верна, если определено при помощи функций так, как описано выше. В теории вероятностей определяет начальное распределение вероятностей, а последовательные распределения вероятностей перехода; при этом функции часто бывают даны заранее и при помощи этих функций требуется построить вероятностную меру на борелевском поле Выделенное курсивом утверждение показывает, что такое построение всегда возможно. Для того чтобы доказать это утверждение, достаточно показать, что если

то

Действительно, если непересекающиеся множества из поля с суммой и если

то

так что из предельного соотношения вытекает искомая полна» аддитивность. Мы можем предположить, что имеет вид

где обобщенное -мерное борелевское множество. Тогда

где определяется очевидным образом. Здесь

так что последовательность сходится к некоторому пределу и мы имеем

Пусть теперь 8 — предел левой части этого равенства. Мы хотим доказать, что Если то существует такое, что Пусть теперь множество последовательностей Определим функцию на подмножествах множества при помощи равенства

где

Здесь — определяемая очевидным образом координатная функция, а обобщенное -мерное борелевское множество. Пусть есть множество точек определяемое условием

Тогда

Мы можем повторить только что проведенное рассуждение и получить последовательно точки такие, что для каждой пары чпсел найдутся значения для которых

Рассмотрим теперь точку При каждом

для соответствующим образом выбранных Следовательно,

Но тогда следовательно, Это противоречит предположению о том, что имеют пустое пересечение. Значит, что и требовалось доказать.

Прежде чем переходить к приложениям полученного результата, отметим, что хотя мы и предполагали здесь, что пространство является бесконечным произведением одинаковых пространств-сомножителей, на самом деле эти пространства-сомножители могут быть взяты различными, и это не вызовет никаких изменений в наших рассуждениях.

Первым приложением будет приложение к незавпсимым мерам. Предположим, что не зависит от Мы получим тогда обычное произведение мер в бесконечномерном пространстве. Наши предположения не налагают никаких ограничений на меры

В качестве второго приложения возьмем за X действительную прямую, а за -класс всех одномерных борелевских множеств. Пусть произвольная аддитивная функция, заданная на множествах из и являющаяся при каждом вероятностной мерой на классе множеств из вида

где А — это -мерные борелевские множества. Тогда функция является мерой и может быть поэтому расширена на множества из поля Это утверждение является в действительности частным случаем результата, который мы только что доказали. В самом деле, так как множество значений является борелевским множеством (а именно действительной прямой), то, согласно § 9 гл. I, существует условное распределение относительно это означает, что заданная на функция определяется при помощи функций описанным выше образом. Конечно, приведенное здесь доказательство, так же как и первоначальное доказательство Колмогорова, приложимо и в более общем случае, когда X является произвольным борелевским множеством в -мерном пространстве, а классом борелевских подмножеств Мы опускаем очевидные обобщения на случай более общих топологических пространств.

Отметим, наконец, что до сих пор мы считали множество счетным. Это не такое сильное ограничение, как может показаться с первого взгляда. Действительно, предположим, что некоторая аддитивная функция на множествах из и для того чтобы показать, что является мерой, мы хотим доказать, что если

то

Так как каждое определяется условиями, наложенными на конечное число то в определение всех множеств входит не более чем счетное число значений параметра и достаточно рассмотреть только эти значения. Таким образом, общий случай может быть сведен к случаю счетного Будет ли такое сведение полезным, зависит от конкретных обстоятельств.

Пример 2.7. Мы рассмотрим теперь более подробно пример 2.5, причем, чтобы избежать несущественных осложнений, положим Мы будем писать А) вместо Предположим, что на множествах поля задана мера Тогда при каждом мы можем представить меру как сумму ее абсолютно непрерывной и сингулярной

компонент относительно

Для многих целей желательно, чтобы функция у была измеримой относительно крупности переменных т. е. относительно борелевского поля Если у обладает этим свойством, то будет функцией от измеримой относительно В соответствии с нашими определениями при фиксированном функция от измерима относительно и определена однозначно с точностью до множеств -меры 0. Задача состоит в том, чтобы выбрать эту функцию при каждом так, чтобы она стала измеримой функцией по паре переменных Это можно сделать, как будет показано ниже, при дополнительном предположении, что существует, последовательность множеств поля такая, что если — борелевское поле, порожденное классом множеств то является при каждом фиксированном функцией от , равной почти всюду (по мере некоторой функции, измеримой относительно 5, и при каждом некоторое множество поля является сингулярным множеством для функции множества Это предположение выполняется во всех практически интересных случаях. Например, если X — действительная прямая, класс одномерных борелевских множеств и у — любая мера на борелевских множествах, безразлично полная или нет, то за можно взять открытые интервалы с рациональными концами. Определим

как пересечения вида где есть или или Множества не пересекаются, дают в сумме X, и борелевское поле, порожденное классом всех множеств совпадает с Положим

Тогда измеримо относительно так как оно является обобщенной беровской функцией от на каждом измеримом множестве точек вида

Как мы видели выше, при каждом предел

существует и конечен для почти всех (по мерз значений Здесь есть производная меры по мере относительно разбиений В то же время, согласно нашэму предположению, при фиксированном совпадает почти всюду с функцией, измеримой относительно и существует принадлежащее сингулярное для множество.

Следовательно, по теореме является одним из вариантов плотности абсолютно непрерывной компоненты относительно меры С другой стороны, измеримо по так как оно является пределом измеримых по функций. Функция от может быть не определена на принадлежащем множестве -меры 0. Мы положим функцию равной на этом множестве нулю, и тогда полученная таким образом функция от будет искомой функцией у.