Глава XI. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ПАРАМЕТРОМ

§ 1. Общие свойства; метрическая транзитивность

а) Процессы, стационарные в узком смысле. Будем исходить из обычного основного предположения: существует вероятностная мера определенная на борелевском поле -множеств, т. е. точечных множеств некоторого пространства Семейств преобразований (соответственно переводящих точки пространства в точки этого же пространства, мы будем называть трансляционной группой (соответственно полугруппой) сохраняющих меру взаимно однозначных точечных преобразований, если каждое преобразование является взаимнооднозначным сохраняющим меру точечным преобразованием в смысле § 1 гл. X, и если

при всех значениях Отсюда, в частности, следует, что преобразование является тождественным преобразованием. В случае, когда преобразования составляют группу, преобразование является обратным к и семейство преобразований <со) также является трансляционной группой сохраняющих меру взаимно однозначных точечвых преобразований.

Если случайная величина и трансляционная группа взаимно однозначных сохраняющих меру точечных преобразований» то вероятностный процесс

стационарен в узком смысле. Аналогичный результат справедлив и в случае полугруппы.

Семейство (соответственно сохраняющих меру преобразований множеств мы будем называть трансляционной группой (соответственно полугруппой) сохраняющих меру преобразований множеств, если для этого семейства равенство (1.1) справедливо с точностью до множеств вероятности 0, т. е. если для каждого измеримого -множества А при произвольном выборе образа последнее множество является одним из возможных образов множества А при преобразовании Преобразование здесь является тождественным преобразованием в том смысле, что любой образ измеримого множества А при этом преобразовании будет отличаться от А не более чем на множество вероятности 0. Если преобразования составляют группу, то является преобразованием, обратным к и семейство преобразований также образует трансляционную группу сохраняющих меру преобразований множеств.

Если случайная величина и трансляционная группа сохраняющих меру преобразований множеств, то вероятностный процесс

стационарен в узком смысле при любом выборе значений для каждого Аналогичный результат верен и в случае полугруппы.

Каждая трансляционная группа (соответственно полугруппа) сохраняющих меру взаимно однозначных точечных преобразований очевидным об разом порождает трансляционную группу (полугруппу) сохраняющих меру преобразований множеств (ср. обсуждение аналогичного вопроса § 1 гл. X), но не все трансляционные группы сохраняющих меру преобразований множеств могут быть получены таким путем.

В дальнейшем мы будем пользоваться «двумерной» мерой в пространстве точек понимая под ней прямое произведение обычной меры Лебега по и данной вероятностной меры по

Пусть трансляционная группа сохраняющих меру взаимно однозначных точечных преобразований измеримое -множество. Рассмотрим множество всех пар где или, что одно и то же, Если это -множество при любом А измеримо относительно нашей двумерной меры, то и рассматриваемую трансляционную группу мы будем называть измеримой. Таким же образом определяется понятие измеримой полугруппы. Если случайная величина, то функция от

будет измеримой относительно совокупности аргументов если измерима соответствующая трансляционная группа или полугруппа Очевидно, группа измерима тогда и только тогда, когда измерима обратная группа

В качестве примера измеримой группы преобразований рассмотрим случай, когда 2 совпадает с одномерным интервалом (0, 1], вероятностная мера есть обычная мера Лебега, а преобразование является параллельным переносом на расстояние (по модулю 1). Точка однозначно определяется числом доказательства измеримости рассматриваемой трансляционной группы нам нужно показать, что если А — измеримое по Лебегу множество точек единичной окружности С комплексной плоскости, то множество пар удовлетворяющих условию

также измеримо по Лебегу. В случае, когда А является борелсвским множеством этот результат очевиден в силу непрерывности показательной функции. Если теперь А — любое измеримое по Лебегу множество на С, то его можно представить в виде суммы борелевского множества и некоторого множества нулевой лебеговой меры. Поэтому достаточно показать, что -множество, определяемое условием

Измеримо и имеет двумерную лебегову меру, равную 0. Но поскольку всегда существует борелевское множество нулевой лебеговой меры такое что то достаточно показать, что множество пар для которых

имеет нулевую двумерную лебегову меру [измеримость этого -множества уже была нами доказана]. Так как сечение рассматриваемого множества, задаваемое фиксированием значения получается из при помощи вращения окружности С и, следовательно, имеет нулевую лебегову меру, то в силу теоремы Фубини и все наше -множество имеет нулевую меру, что и требовались доказать.

Пусть трансляционная группа сохраняющих меру преобразований множеств и А — измеримое -мнсжество. Выберем для каждого некоторой образ множества А при преобразовании и

рассмотрим множество всех пар для которых Если для каждого образы можно выбрать так, чтобы указанное -множество было измеримым относительно двумерной меры, то трансляционная группа называется измеримой. Аналогично определяется измеримость и в случае трансляционной полугруппы. Если трансляционная группа (соответственно полугруппа) сохраняющих меру точечных преобразований измерима, то порожденная ею группа (полугруппа) сохраняющих меру преобразований множеств также измерима. Очевидно, группа сохраняющих меру преобразований множеств измерима тогда и только тогда, когда измерима обратная группа Если случайная величина, то функция будет измерима относительно двумерной меры, если группа (или, соответственно, полугруппа) преобразований измерима и если при каждом выбраны подходящим образом.

Мы видели, что трансляционная группа (или полугруппа) сохраняющих меру точечных преобразований или преобразований множеств вместе со случайной величиной определяет стационарный в узком смысле вероятностный процесс. Обратно (точно так же, как и в случае дискретного параметра, рассмотренном в § 1 гл. X), если или стационарный в узком смысле вероятностный процесс, то существует трансляционная группа или полугруппа сохраняющих меру преобразований множеств, которая вместе со случайной величиной порождает этот процесс. Далее, так же как и в случае дискретного параметра, можно доказать, что если пространство 2, на котором задан процесс является пространством функций и есть координатная переменная этого пространства, то преобразования группы или полугруппы становятся точечными преобразованиями, и что при помощи перехода к пространству функций всегда возможно избежать рассмотрения преобразований множеств (заменив их точечными преобразованиями) и рассмотрения полугрупп (заменив их группами).

Если (соответственно -измеримая трансляционная группа (соответственно полугруппа) взаимно однозначных сохраняющих меру точечных преобразований и случайная величина, то процесс определенный равенством

является измеримым, так как, как мы уже отмечали, функция измерима в этом случае относительно двумерной меры Однако, если рассматриваемая группа (полугруппа) является группой (полугруппой) преобразований множеств, то процесс определяемый равенством может как быть, так и не быть измеримым, в зависимости от выбора значений На языке § 2 гл. II получаемый таким образом процесс может не быть измеримым, но всегда имеет измеримую стандартную модификацию, т. е. для него всегда существует измеримый процесс такой, что при всех

Измеримое -множество называется инвариантным относительно трансляционной группы или полугруппы сохраняющих меру точечных преобразований или преобразований множеств, если это множество отличается от своих образов при преобразованиях самое большое на множество, которое, будучи, быть может, зависимым от при любом имеет вероятность 0. Очевидно, инвариантные множества образуют борелевское поле множеств. Случайная величина х называется инвариантной относительно трансляционной группы или полугруппы если с вероятностью 1 при любом В случае группы преобразований инвариантные измеримые -множества и инвариантные случайные величины являются одновременно инвариантными и относительно

обратной группы Трансляционная группа или полугруппа сохраняющих меру точечных преобразований или преобразований множеств называется метрически транзитивной, если единственными инвариантными множествами относительно этой группы являются множества вероятности или 1 (эти множества, очевидно, всегда инвариантны), т. е. если единственными инвариантными случайными величинами являются величины, с вероятностью 1 равные постоянной (эти величины всегда инвариантны).

Мы видели, что каждому стационарному в узком смысле процессу соответствует однозначно оцределеаная трансляционная группа или полугруппа сохраняющих меру преобразований множеств. Эта преобразования множеств определены на борелевсом поле множеств, задаваемых условиями, наложенными на случайные обрагющие процесс. Рассматриваемые преобразования называются сдвигами, а соответствующая группа или полугруппа — группой или полугруппой сдвигов. Множества и случайные величины, инвариантные относительно группы или полугруппы сдвигов, называются инвариантными множествами и инвариантными случайными величинами процесса; процесс называется метрически транзитивным, если его группа или полугруппа сдвигов метрически транзятавна. Процесс является метрически транзитивным тогда и только тогда, когда метрически транзитивен соответствующий процесс в координатном пространстве, для которого преобразования сдвига обращаются в точечные преобразования. (Здесь предполагается, что мера в координатном пространстве — это колмогоровская мера, задаваемая мерами конечномерных множеств без каких бы то ни было расширений.) Если или метрически транзитивная трансляционная группа или полугруппа и случайная величина, то вероятностный процесс задаваемый равенством является метрически транзитивным. Если стационарный в узком смысле процесс, то процессы — также стационарны в узком смысле. Эти три процесса имеют одни и те же инвариантные множества и инвариантные случайные величины и поэтому могут быть метрически транзитивными только все три одновременно (см. соответствующий вывод для случая дискретного параметра в § 1 гл. X). Если первый или второй из рассматриваемых трех процессов измерим, то измеримы и остальные два; но если известно только, что измерим третий процесс, то относительно первого и второго процессов можно лишь утверждать, что они имеют измеримые стандартные модификации.

Пусть вероятностный процесс и — борелевское поле -множеств, порожденное множествами вида

где — открытые множества; иначе говоря, есть наименьшее борелевское поле, относительно которого измеримы все приращения («разности») процесса Множества из поля мы будем называть разностными множествами, а само поле — разностным полем. Иногда удобно бывает называть процесс стационарным в узком смысле относительно разностного поля, если при любых многомерное распределение вероятностей для случайных величин

не меняется при сдвигах по оси В частности, каждый стационарный в узком смысле процесс является одновременно и стационарным в узком смысле относительно разностного поля. Примером процесса, стационарного в узком смысле относительно разностного поля, но не являющегося стационарным в узком смысле в обычном понимании этого слова, является

процесс брауновского движения. Повторяя те же рассуждения, что и в случае обычных стационарных в узком смысле процессов, легко показать, что если процесс х, стационарен в узком смысле относительно разностного поля, то существует однозначно определенное сохраняющее меру преобразование множеств Т (сдвиг), для которого

Эти сдвиги, определенные на множествах поля образуют трансляционную группу или полугруппу, зависящую от множества значений параметра исходного процесса. Понятия инвариантного множества, инвариантной случайной величины и метрической транзитивности (все относительно разностного поля) определяются теперь обычным образом в терминах преобразований сдвига.

Пример 1. Цепи Маркова. Ввиду полной аналогии со случаем дискретного параметра мы опустим обсуждение этого примера. Заметим лишь, что очевидный аналог теоремы 1.1 гл. X справедлив и для процессов с непрерывным параметром и что доказательство теоремы 1.1 гл. X переносится на этот случай с очевидными изменениями:

Пример 2. Процессы с независимыми приращениями. Этот пример соответствует примеру процесса взаимно независимыми значениями с дискретным параметром. Пусть процесс с независимыми приращениями. Этот процесс является стационарным в узком смысле относительно разностного поля тогда и только тогда, когда его приращения стационарны в узком смысле. Следующая теорема показывает, что такой процесс всегда метрически транзитивен.

Теорема 1.1. Любой процесс со стационарными в узком смысле независимыми приращениями метрически транзитивен относительно разностного поля.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.2 гл. X, относящейся к случаю дискретного параметра, и мы его опускаем. Оно опирается на вариант закона нуля или единицы для случая непрерывного параметра, формулируемый в терминах процессов с независимыми приращениями.

Пример 3. Скользящее суммирование. Пусть процесс со стационарными в узком смысле независимыми приращениями, у которого

Рассмотрим процесс определенный равенством

В силу теоремы 1.1 процесс метрически транзитивен относительно разностного поля. Пусть соответствующая группа сдвигов. Процесс является стационарным в узком смысле и метрически транзитивным, поскольку он порождается метрически транзитивной группой примененвой к величине (т. е. ).

б) Процессы, стационарные в широком смысле. Мы будем здесь пользоваться понятиями, введенными в § 16) гл. Семейство преобразований (соответственно действующих на случайные величины из некоторого замкнутого линейного многообразия случайных величин, называется трансляционной группой (соответственно полугруппой) изометрических преобразований, если преобразования этого

семейства изометрвчны и если при любых

(с точностью до случайных величин, равных нулю с вероятностью 1). Преобразование будет при этом обязательно тождественным преобразованием. В случае группы преобразований будет обратным к наши изометрические преобразования будут унитарными и семейство также будет трансляционной группой унитарных преобразований, которую мы назовем обратной группой.

Если или трансляционная группа или полугруппа изометрических преобразований и случайная величина из области определения этих преобразований, то процесс задаваемый равенством стационарен в широком смысле. Обратно, если или стационарный в широком смысле процесс, то существует соответствующая трансляционная группа или полугруппа изометрических преобразований такая, что для каждого с вероятностью 1 будет Эти преобразования определены на замкнутом линейном многообразии, порожденном величинами

Пусть или трансляционвая группа для полугруппа изометрических преобразований. Случайную величину х такую, что с вероятностью 1 для каждого мы будем называть инвариантной случайной величиной. Трансляционная группа или полугруппа называется метрически транзитивной в широком смысле, если единственными инвариантными случайными величинами являются те, которые равны нулю с вероятностью 1. Случайные величины, инвариантные относительно изометрических преобразований сдвига некоторого стационарного в широком смысле процесса, называются инвариантными случайными величинами этого процесса; сам процесс называется метрически транзитивным в широком смысле, если его изометрическая группа или полугруппа сдвигов метрически транзитивна в широком смысле.

Если вероятностный процесс стационарен в широком смысле, то процессы также стационарны в широком смысле. Эти три процесса имеют одни в те же инвариантные в широком смысле случайные величины, откуда вытекает, что все три процесса могут быть метрически транзитивными в широком смысле только одновременно.

Пусть вероятностный процесс такой, что

обозначим через замкнутое линейное многообразие, порожденное разностями Это многообразие мы будем называть разностным многообразием процесса, а принадлежащие ему случайные величины — разностными случайными величинами процесса. Если процесс стационарен в широком смысле относительно разностных случайных величин (т. е. если он имеет стационарные в широком смысле приращения), то существует трансляционная группа унитарных преобразований, определенных на такая, что с вероятностью 1

С помощью группы легко можно сформулировать понятия инвариантной случайной величины и метрической транзитивности в широком смысле относительно разностного многообразия. Аналогичные замечания, касающиеся процесса приводят к полугруппе

Следующий пример является аналогом примера 2 в применении к процессам, стационарным в широком смысле.

Пример 4. Процессы с ортогональными приращениями. Процесс с ортогональными приращениями является стационарным в широком смысле относительно разностного многообразия тогда и только тогда, когда его приращения стационарны в широком смысле. Как мы видели в гл. II, последнее будет верно тогда и только тогда, когда

Следующая теорема показывает, что такой процесс всегда метрически транзитивен в широком смысле относительно разностного многообразия.

Теорема 1.2. Любой процесс со стационарными в широком смысле ортогональными приращениями метрически транзитивен в широком смысле относительно разностного многообразия. Предположим, что

Если то с вероятностью 1 для любой пары так что разностное многообразие здесь содержит только случайные величины, равные нулю с вероятностью 1. Таким образом, в этом случае теорема является тривиальной. Если то рассмотрим класс случайных величин вида

где функция с измерима по Лебегу и

Так как

то класс включает все разности Далее, поскольку

то среднее квадратичное расстояние между подинтегральными функциями равно (с точностью до ненулевого постоянного множителя) среднему квадратичному расстоянию между соответствующимп случайными величинами х. Так как класс подинтегральных функций является замкнутым линейным многообразием, порожденным функциями, равными 1 на конечном интервале и вне него, то класс соответствующих случайных величин является замкнутым линейным многообразием, порожденным разностями процесса т. е. Соответствие между функциями и случайными величинами задаваемое интегральной формулой, является взаимнооднозначным с точностью до функций, равных нулю почти всюду, и случайных величин, равных нулю с вероятностью 1. В частности, если инвариантная случайная величина из разностного многообразия, то с вероятностью 1

для каждого Отсюда вытекает, что для почти всех из интервала Таким образом, для почти всех так что в

вероятностью 1 и, следовательно, процесс является метрически зитявным в широком смысле относительно разностного многообразия, что и требовалось доказать.