§ 3. Диффузионные уравнения и соответствующие марковские процессы

Этот параграф посвящен (действительным) марковским процессам с непрерывным параметром таким, что приращение процесса за время от момента до момента складывается из малых приращений каждое из которых является гауссовской случайной величиной со средним и дисперсией Обе эти величины имеют порядок

параметры являются функциями от Это описание процессов является, конечно, очень грубым; оно приведено лишь для того, чтобы пздсказать ход последующих рассуждений. Мы будем писать

Здесь процесс браунэвского движения (см. гл. II, § 9, и гл. VIII, § 2) с дисперсионным параметром 1, т. е. действительный гауссовский процесс с независимыми приращениями, у которого

Почти все выборочные функции сепарабельного процесса являются непрерывными функциями, иэ почти все они имеют неограниченную вариацию на любом конечном интервале (см. гл. VJII, § 2). Точный смысл соотношения (3.1) будет разъяснен ниже; пока его следует рассматривать как наводящее соображение.

В настоящем параграфе мы будем использовать материал некоторых последующих параграфов, а именво § 3 гл. VI], § 2 и § 5 гл. IX.

При естественна интерпретировать как обычное (не вероятностное) дифференциальное уравнение

В этом случае вероятностные понятия могут входить в задачу только через начальные условия.

Если величина а в (3.1) зависит только от (я не зависит от и если то естественно интерпретировать (3.1) как символическую запись соотношения

(такой стохастический интеграл будет изучен в § 2 гл. IX). Процесс получается в этом случае из процесса брауновского движения при помощи замены переменного, играющего роль времени. Переходные вероятности задаются здесь равенством

где

Отсюда следует, что

и

Первое из этих уравнений называется обратным уравнением процесса, так как оно включает дифференцирование по начальному моменту времени; второе уравнение называется прямым у равнением, так как оно включает дифференцирование по конечному моменту времени.

Мы не будем здесь подробно исследовать обобщения обратного и прямого уравнений (3.2) и (3.2) на случай произвольных так как нас

интересуют больше сами процессы, а не дифференциальные уравнения. Мы ограничимся поэтому лишь следующими замечаниями. При любом разумном понимании соотношения (3.1) из него следует, что

Рассмотрим теперь класс марковских процессов, для которых существуют функции определяемые соотношениями (3.3). При различных предположениях типа регулярности, о которых будет идти речь ниже, можно показать, что функция вероятностей перехода удовлетворяет обратному диффузионному уравнению

и прямому диффузионному уравнению

Прямое уравнение называется уравнением Фоккера — Планка и является обычно наиболее естественным аппаратом при изучении физических задач. Первое систематическое изучение марковских процессов рассматриваемого типа принадлежит А. Н. Колмогорову, который вывел при этом оба диффузионных уравнения.

Отметим, что обратное уравнение является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных омисительно переменных при переменные входят только через начальные условия

Прямое уравнение является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных относительно переменных при переменные входят только через начальные условия

Для вывода этих дифференциальных уравнзний на процесс накладываются обычно следующие ограничения (мы опишем их только качественно):

F. Предполагается, что функция обладает определенными свойствами регулярности (диффзренцируемость и т. п.).

F. Предполагается, что лределы существуют и определяют функции обладающие определенными свойствами регулярности. Предполагается, что для любого

[Можно также заменить (3.3) соотношениями, в которых попользуются усеченные случайные величины, и тем самым обойтись без предположений о существовании первого и второго моментов разности

Условие не удовлетворяется для процессов, рассмотренных в § 2, так как для этих процессов вероятность

имеет, вообще говоря, порядок Типичные выборочные функции сепарабельных процессов, рассмотренных в § 2, являются ступенчатыми функциями, изменяющимися скачками (хотя это верно и не во всех случаях). Типичные выборочные функции процессов, рассматриваемых в настоящем параграфе, являются непрерывными функциями, хотя и здесь имеются исключения. При этом следует ожидать, что здесь, так же как и в § 2, для широкого класса этих исключительных случаев останется выполненным лишь обратное уравнение, в то время как прямое уравнение перейдет в неравенство; впрочем, эти вопросы остаются еще не вполне выясненными, так же как и многие другие вопросы, связанные с рассматриваемыми процессами.

Мы приведем в настоящем параграфе одну интерпретацию уравнения (3.1), которая даст нам возможность решить это уравнение и тем самым найти сепарабельный марковский процесс, удовлетворяющий условиям (3.3), почти все выборочные функции которого будут непрерывными функциями. Мы покажем, что и обратно, если даны функции то любой марковский процесс, удовлетворяющий (3.3) и имеющий с вероятностью 1 непрерывные выборочные функции, может быть получен как решение уравнения (3.1).

Феллером было показано, что при соответствующих ограничениях, наложенных на от существует решенпе диффузионных уравнений при указанных выше начальных условиях, дающее марковскую переходную функцию процесса, удовлетворяющего условиям (3.3), и что такое решение является единственным. Далее, Форте показал, что при условиях Феллера (по крайней мере, если почти все выборочные функции соответствующего сепарабельного процесса являются непрерывными функциями.

В соответствии с замечаниями, сделанными в предыдущих абзацах, процессы, полученные Феллером, должны в точности совпадать с процессами, получаемыми при решении уравнения (3.1) [предполагается, конечно, что условия Феллера на усилены, если это необходимо, так, чтобы обеспечить справедливость всех утверждений предыдущих абзацев].

Из приведенных только что результатов следует, что если функции «достаточно хорошие», то марковские переходные функции, являющиеся решениями уравнения (3.1), должны совпадать с функциями, получающимися в результате решения диффузионных уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка, и, следовательно, эти переходные функции должны обладать теми или иными частными производными. Прямое доказательство этого факта до сих пор не получено.

Отметим, наконец, что процессы, рассматриваемые в настоящем и рассмотренные в предыдущем параграфе, являются частным случаем более общего типа процессов, включающего и те, и другие процессы. Вероятности перехода процессов этого более общего типа удовлетворяют интегро-дифференциальным уравнениям, получающимся путем комбинирования Уравнений, выведенных в предыдущем параграфе, с уравнениями Колмогорова — Фоккера — Планка. Мы не будем заниматься более подробным рассмотрением этого общего случая.

Займемся теперь изучением уравнения (3.1). Пусть областью значений параметра является конечный интервал Естественной интерпретацией равенства (3.1) является уравнение

Это уравнение нужно решить для процесса для которого имеют смысл оба интеграла, стоящие в правой части (3.1). Для любой выборочной функции любого процесса подинтегральная функция первого интеграла

справа становится обычной функцией от к которой применимы обычные критерии интегрируемости. Второй интеграл будет определен, например, если о является при каждом случайной величиной, независимой от совокупности разностей (см. гл. IX, § 5). Наглядное представление о том, что является суммой и подходящим образом нормированных нриращений при соответствует этому ограничению. Таким образом, интерпретация (3.1), как (3.1), является практически возможной. Мы подробно рассмотрим эту интерпретацию, следуя работам

Мы сделаем следующие предположения:

Н. Функция являются беровскими функциями от пары переменных при

Существует постоянная К такая, что

Функции равномерно удовлетворяют условию Липшица по

где К не зависит от и Не будет ограничением предположить, что постоянная К здесь та же, что и в

Предполагая, что выполнены гипотезы мы найдем процесс обладающий следующими свойствами:

Р. Почти все выборочные функции процесса являются нелрерывными функциями на

При каждом разность не зависит от совокупности разностей

При каждом с вероятностью 1 выполняется соотношение

Мы покажем, что процесс определяется этими свойствами, по существу, однозначно и что он удовлетворяет также условию

Лемма 3.1. Если процесс обладает свойствами и если удовлетворяют гипотезам то любой процесс определенный равенством

обладает свойствами Второй интеграл в (3.5) можно определить при каждом таким образом, чтобы процесс обладал также свойством при этом процесс будет обладать свойством

В силу предположений первая из под интегральных функций является для почти всех выборочных функций ограниченной беровской функцией от Следовательно, с вероятностью 1 первый интеграл определяет непрерывную функцию от Второй интеграл

является частным случаем стохастического интеграла, который вводится в § 5 гл. IX, так как в нашем случае удовлетворяются все качественные, условия, которые накладываются в этом параграфе, и так как

Таким образом, второй интеграл в (3.5) вполне определен и является при каждом случайной величиной, однозначно определенной с точностью до значений на множестве вероятности 0. Процесс обладает, очевидно, свойством при любом выборе этих интегралов. Свойство легко проверяется прямым вычислением, однако, кроме того, оно будет следовать и из того, что, как мы докажем ниже, при соответствующем выборе этих интегралов будет выполнено даже более сильное свойство поэтому мы опустим здесь соответствующее вычисление. В § 5 гл. IX будет показано, что второй интеграл в (3.5) определяет при переменном вероятностный процесс, являющийся мартингалом, и что этот интеграл может быть определен при каждом так, чтобы выборочные функции мартингала оказались с вероятностью 1 непрерывными. При таком определении процесс будет обладать свойством Он будет тогда обладать и свойством так как

и так как в соответствии с вариантом теоремы 3.4 гл. VII, относящимся к случаю непрерывного параметра, примененным к абсолютному значению последнего члена в (3.5) (этот член определяет полумартингал), мы имеем

Уравнение (3.1) решается методом последовательных приближений. Пусть — любая случайная величина с независимая от совокупности разностей Пусть, далее, любой процесс, обладающий свойствами [например, можно положить В соответствии с леммой можно рекуррентно определить величины соотношением

так, чтобы каждый из процессов обладал свойствами Мы докажем, что при таком определении с вероятностью 1 равномерно по существует предел

и что этот предел определяет процесс обладающий свойствами и такой, что с вероятностью 1 равномерно по

Процесс будет тогда решением уравнения (3.1). Чтобы доказать все эти утверждения, положим

так что в силу

Тогда

Следовательно,

где с — некоторая постоянная. Используя это неравенство, находим, что

Так как последний член этого неравенства является общим членом сходящегося ряда, то с вероятностью 1

при всех достаточно больших (в силу леммы Бореля-Кантелли, см. теорзму 1.2 гл. III). В соответствии с результатами § 5 гл. IX процесс

является мартингалом. Следовательно, процесс, образуемый квадратами этих случайных величин, будет полумартингалом, и к нему можно применить

вариант теоремы 3.2 гл. VII, относящийся к случаю непрерывного параметра. Учитывая (3.9), мы получаем

Так как последний член этого неравенства является общим членом сходящегося ряда, то с вероятностью 1

при достаточно больших Из (3.10) и (3.11) следует, что с вероятностью 1 интегралы в правой части соотношения (3.6) сходятся к некоторому пределу равномерно по когда Следовательно, с вероятностью предел (3.7) существует равномерно по Определенный таким образом процесс обладает, очевидно, свойствами Для каждого при

Следовательно, при каждом существует и этот предел должен равняться так как предел в среднем и предел с вероятностью 1 всегда совпадают (с вероятностью 1). Далее, положив в находим, что

так что процесс обладает свойством Наконец, с вероятностью 1 соотношения (3.8) выполняются равномерно по [так что верно и (3.1)], так как в первом из этих предельных соотношений с вероятностью 1 имеет место сходимость подинтегральных функций, а ко второму соотношению можно применить, как и выше, вариант теоремы 3.2 гл. VII, относящийся к случаю непрерывного параметра, из которого следует, что

Поэтому в силу леммы Бореля—Кантелли рассматриваемый максимум будет с вероятностью 1 меньше при достаточно больших так что с

вероятностью 1 равномерно по выполнено второе из предельных соотношений (3.8).

Доказательство существования решения уравнения таким образом, закончено. Это решение (удовлетворяющее условиям по существу, однозначно определяется начальным значением Действительно, если разность двух решений с одним и тем же то соображения, приведшие нас к неравенству (3.9), показывают, что

так что при каждом с вероятностью 1 будет Отсюда и из свойства вытекает, что

Любое решение уравнения (3.1) удовлетворяет соотношению

Мы, как и раньше, все время будем предполагать, что случайная величина не зависит от совокупности разностей Это свойство является самоповторяющимся в том смысле, что если оно выполнено, то и случайная величина не зависит от совокупности разностей соответствии с (3.13) величина зависит только от и от разностей процесса у для значений аргумента, лежащих между Эти последние разности не зависят от а если то и от разностейпроцесса у со значениями аргумента, лежащими между от которых зависит Отсюда следует, что условное распределение при заданных зависит только от Другими словами, процесс является марковским процессом, и условное распределение вероятностей для величины при условии, что совпадает с распределением вероятностей для «решения уравнения (3.1) при не очевидно, что это однозначно определенное условное расдределеняе вероятностей тождественно удовлетворяет уравнению Чепмена — Колмогорова (т. е. что не нужно исключать множество вероятности 0). Следующие соображения показывают, что в данном случае уравнение Чепмена — Колмогорова удовлетворяется тождествен образом. Мы будем выделять распределение вероятностей, полученное из (3.1) при индексами х, Пусть Тогда

Здесь мы использовали тот факт, что при любых начальных условиях (не зависящих от приращений относящихся к последующим моментам времени) наш процесс является марковским процессом с заданными переходными вероятностями. Последнее соотношение в точности совпадает с уравнением Чепмена-Колмогорова.

Для дальнейшего нам будет полезно иметь оценку для величины Эту оценку можно получить из предыдущих результатов, но поучительнее будет вывести ее прямым путей. В ходе выкладок через будут обозначаться постоянные, выбор которых зависит лишь от Используя неравенства, полученные при

доказательстве леммы 3.1, мы находим, что

Если заменить теперь левую часть этого неравенства на то, проинтегрировав обе его части, получим, что

и первоначальное неравенство обратится в неравенство

Заметим, что в этом неравенстве математическое ожидание в левой части можно заменить условным математическим ожиданием при условии и что, конечно, точку а можно заменить любой другой точкой из интервала Когда потребуется, мы будем производить такую замену без дополнительных пояснений.

Теперь уже нетрудно исследовать строение процесса в малом. Рассмотрим распределение вероятностей для величины при условии, что При этом условии мы имеем

Сумма последних двух членов имеет гауссовское распределение со средним значением и дисперсией, соответственно равными

Эта гауссовская случайная величина не зависит от прошлого процесса, т. е. не зависит от совокупности случайных величин Если функции и а непрерывны, то приведенные выше среднее и дисперсия равны с точностью до остаточного члена порядка Даже без предположения о непрерывности это утверждение верно при каждом для всех значений за исключением множества, имеющего лебегову меру 0. С другой стороны, два первых члена в правой части (3.15) имеют порядок в том смысле, что [в силу (3.14) применительно

к данному случаю]

и (в снлу варианта теоремы 3.4 гл. VII, относящегося к случаю непрерывного параметра)

Из приведенных выше результатов вытекает, что при каждом

где оценка равномерна Эти уравнения показывают, что для решений стохастического дифференциального уравнения (3.1) выполняются соотношения (3.3). Отметим еще раз, что при каждом первые члены правой части равны соответственно если и а непрерывны по и что без предположения о непрерывности это утверждение остается верным (при каждом для всех значений за исключением, быть может, множества значений лебеговой меры 0. Заметим, наконец, что если и если настолько мало, что

то соотношение (3.15) с учетом (3.16) и (3.17) приводит к неравенству

Последний член здесь равен

где

В силу неравенства (2.2) гл. VIII этот интеграл не превосходит

Следовательно, мы доказали, что

где оценка равномерна по Мы имеем даже более сильное неравенство

В самом деле, проведенные оценки доказывают также и это неравенство, если только (используя теорему 2.1 гл. VIII) удвоить мажоранту последнего члена в (3.19).

Мы проверили, таким образом, что решения стохастического дифференциального уравнения (3.1) удовлетворяют условиям того же самого характера, что и условия рассматривавшиеся в начале этого параграфа. Мы уже отмечали в начале настоящего параграфа, что из условий вытекает (по крайней мере, в широком классе случаев) непрерывность почти всех выборочных функций соответствующего сепарабельного процесса. Таким образом, мы изучаем здесь тот самый общий класс процессов, который рассматривают в теории диффузии. Этим объясняется принятое нами заглавие параграфа.

Заметим, что если заменить уравнение (3.1) уравнением

где заданный процесс с непрерывными выборочными функциями, удовлетворяющий условию то доказательство существования и единственности не потребует никаких изменений. Различие будет состоять только в том, что если то уже не будет выполняться утверждение В частности, если в действительности не зависит от скажем то мы имеем и приходим к частному случаю уравнения (3.1). Если в если при каждом случайная величина может принимать только одно значение, то уравнение теряет свой вероятностный характер. Наши результаты, однако, остаются в силе; они доказывают теперь тот хорошо известный факт, что для каждой непрерывной по функции существует одна и только одна непрерывная функция удовлетворяющая уравнению

До сих пор наши рассуждения были посвящены решению стохастического дифференциального уравнения (3.1). Мы рассмотрим теперь обратную задачу: какие процессы могут быть представлены как решения этого уравнения. Решение этой задачи будет проведено в несколько этапов.

Теорема 3.2. Пусть сепа рабельный вероятностный процесс, обладающий следующими свойствами:

а) процесс является измеримым;

в) существует беровская функция удовлетворяющая условию

для некоторой постоянной К такая, что при с вероятностью 1

Тогда процесс определенный формулой

является сепарабельным мартингалом, и при с вероятностью 1

В силу наших предположений

так что величины, стоящие в обаих частях равенства пункта в), вполне определены, и при Далее, с вероятностью 1

и равенство (3.21) доказано. Из этого равенства вытекает свойство мартингала для процесса Так как процесс сепарабелен и так как интеграл, входящий в определение является непрерывной функцией от для почти всех выборочных функций процесса то процесс также является сепарабельным. Заметим, что из этой теоремы следует, что (почти все) выборочные функции процесса являются непрерывными всюду, кроме точек скачков, так как это верно для выборочных функций процесса

Теорема 3.3. Пусть а действительный вероятностный процесс, наименьшее борелевское поле -множеств, относительно которого измеримы все функции при функции от и Делаются следующие предположения.

а) Почти все выборочные функции процесса непрерывны на

б) для всех в при вероятностью 1

где при каждом является случайной величиной, измеримой относительно поля независимой от и такой, что

в) Существует монотонная неубывающая функция такая, что для всех таких, что с вероятностью

г) Функции являются беровскими функциями, непрерывными по второму переменному, и существует постоянная К, для которой

При этих предположениях процесс является марковским процессом. Если не обращается в нуль ни при каких то существует процесс брауновского движения такой, что является решением стохастического дифференциального уравнения (3.1). Если а может обращаться в нуль, то утверждение остается верным, если присоединить к -пространству процесс брауновского движения.

О понятии присоединения процесса к заданному -пространству см. § 2 гл. II.

Заметим, что если функции кроме требований теоремы, удовлетворяют дополнительно равномерно по условию Липшица по то из проведенного нами изучения стохастического дифференциального уравнения (3.1) следует, что это уравнение имеет решение и это решение, однозначно определяемое величиной и заданным процессом брауновского движения удовлетворяет предположениям настоящей теоремы при

(см. (3.14)] и Таким образом, условия, при которых заданный процесс может быть записан как решение уравнения (3.1), являются меиее ограничительными, чем условия, при которых мы доказали существование решения уравнения (3.1).

Мы покажем сперва, что рассматриваемом случае выполнены предположения теоремы 3.2. Не очевидным ляется только третье предположение этой теоремы, касающееся функции Чтобы доказать его, положим Тогда с верояностыо 1

Достаточно доказать, что оба члена правой части этого неравенства могут быть сделаны сколь угодно малыми при подходящем выборе точек деления Последний из этих двух членов мажорируется с вероятностью 1 величиной

стремящейся к при Первый из этих членов имеет вид Следовательно, достаточно доказать, что при и подходящим образом выбранных равномерно по 8 мажорируется интегрируемой функцией Первое утверждение имеет место (с вероятностью 1), так как является непрерывной функцией по второму переменному, и почти все выборочные функции процесса непрерывны. Что касается утверждения (II), то достаточно заметить, что

так что

и, следовательно, с вероятностью 1

Таким образом, мы получили искомую мажоранту и показали тем самым, что теорема 3.2 применима. Пользуясь этой теоремой, определим процесс при помощи формулы

при этом процесс будет мартингалом, почти все выборочные функция которогр непрерывны.

Определим число с равенством

Тогда

так что, используя вариант теоремы 3.4 гл. VII, относящейся к случаю непрерывного параметра, мы получаем, что

Если то из (3.21) следует, что с вероятностью 1

Следовательно, с вероятностью 1

Используя это соотношение, находим, что с вероятностью 1 I

Покажем теперь, что, выбрав достаточно малое можно сделать сколь угодно малыми оба члена правой части последнего неравенства; из этого будет следовать, что с вероятностью 1

Второй из этих двух членов мы уже рассмотрели выше. Первый член имеет вид где при для почти всех Следовательно, согласно свойству из § 8 гл. I, нам достаточно показать, что вероятностью 1, где функция не зависит от Но

и выше мы уже видели, что Предположим теперь, что нигде не обращается в нуль. Тогда (поскольку выполнзно соотношение 3.21) из теоремы 5.3 гл. IX следует, что существует процесс брауновского движения такой, что

и, следовательно,

Если обращается в нуль, то в силу той самой теоремы можно представить в этой форме после прясоедпнзная к основному -пространству процесса брауновского движения. В обоих случаях отсюда следует, что процесс является марковским процессом, что завершает доказательство теоремы.