§ 5. Семейства случайных величин

В некоторых задачах случайные величины задаются явным образом. Например, если пространство 2 — прямая линия, измеримыми -множествами являются; множества, измеримые по Лебегу, и если вероятностная мера определена формулой

то последовательность функций является последовательностью случайных величин. Однако во многих других задачах какое-либо определенное пространство 2 не играет существенной роли; в этих задачах требуется лишь существование семейства случайных величин, обладающего определенными свойствами. В таких случаях обычно задается совместное распределение вероятностей для конечных совокупностей случайных величин, причем подразумевается, что существует семейство случайных величин с этими распределениями. Настоящий параграф посвящен обсуждению описанной здесь ситуации. В § 2 гл. II мы снова встретимся с этим вопросом, но уже в более сложной обстановке.

Заметим, прежде всего, что, например, любая теорема, начинающаяся словами «пусть взаимно независимые случайные величины с функциями распределения была бы бессодержательной без теоремы, утверждающей существование некоторого пространства на котором можно определить случайных величин с указанными свойствами. Для того чтобы пояснить дальнейшие общие рассмотрения, мы наметим сейчас доказательство этой теоремы существования. Возьмем в качестве -мерное пространство точек с координатами Определим вероятностную меру на борелевских множествах пространства 2 формулой

(см. § 3). Положим равным координатной функции, т. е. положим если (в имеет координаты Величины оказываются тогда взаимно независимыми случайными величинами, причем имеет функцию распределения Мы доказали, таким образом, что существуют случайные величины с желаемыми свойствами, и показали попутно, что за эти случайные величины могут быть взяты координатные функции -мерного пространства. Сейчас мы покажем, что использованный в этом рассуждении метод применим к значительно более общим совокупностям случайных величин.

Итак, пусть имеется произвольное множество индексов и требуется определить класс случайных величин причем для каждой конечной совокупности индексов дана заранее совместная функция распределения величин Очевидно, что заданные функции распределения должны быть согласованы друг с другом в том смысле, что если некоторая перестановка чисел то

и что если

Колмогоров доказал (см. дополнение, пример 2.3), что этими условиями исчерпываются все ограничения, которые нужно наложить на функции распределения Величины строятся следующим образом. За пространство берем пространство точек вида где — любые действительные числа, в., иначе говоря, пространство функций от или, с другой точки зрения, координатное пространство, размерность которого равна кардинальному числу множества Функцию от определим как значение функции при т. е. положим когда — это функция Множеству точек

припишем меру, равную

более общему множеству точек

(где А - -мерное борелевское множество) припишем меру

Можно показать, что такое задание меры на -множествах специального вида определяет вероятностную меру на борелевском поле -множеств, порожденном множествами этого вида. Семейство функций от оказывается тогда семейством случайных величин с заданными распределениями

Основное пространство 2 было здесь сконструировано нами как пространство всех функций от причем построенное семейство случайных величин оказалось семейством координатных функций этого декартова пространства. Как мы увидим в § 6, если основное пространство, на котором определено семейство случайных величин дано заранее и не является таким декартовым пространством, то все же во многих случаях заданное на нем семейство случайных величин может быть заменено семейством, заданным на декартовом пространстве.

Пусть семейство случайных величин. Тогда при фиксированном значения определяют некоторую функцию от Определенные таким способом функции от называются выборочными функциями данного семейства случайных величин. В частности, если 2 — декартово координатное пространство это координатная функция, то выборочной функцией является сама точка основного пространства. Часто оказывается удобным употреблять выражения, включающие одновременно и понятие меры и понятие выборочной функции, такие, как «почти все выборочные функции»; во всех подобных случаях уславливаются использовать в качестве меры соответствующую меру в пространстве 2. Например, выражение «почти все выборочные функции» означает «почти все Если множество значений параметра конечно или счетно, то мы, как правило, будем говорить «выборочная последовательность» вместо «выборочная функция».

Отметим, наконец, что если семейство функций распределения испольвуется для того, чтобы определить меру на пространстве (как это было, например, в начале настоящего параграфа), то иногда бывает полезным взять за не пространство всех функций от а потребовать еще дополнительно, чтобы значения функции принадлежали заданному множеству (В этой книге нам не придется иметь дело с более сложными случаями, когда удобно считать, что т. е. что X зависит от параметра Тогда все приведенные выше рассуждения остаются верными, если только X — некоторое борелевское множество на бесконечной прямой — и если из заданных распределений следует, что значения каждой из случайных величин принадлежат множеству X с вероятностью 1.

Иллюстрируем предыдущие рассмотрения на примере с повторным бросанием кости. Предположим, что кость бросают раз. Тогда за совокупность значений параметра следует взять множество целых чисел Пространство является здесь -мерным пространством точек Каждой точке, все координаты которой являются целыми числами от 1 до 6 включительно, приписывается мера и мера

любого мнйжестна равна числу таких точек, содержащихся в этом множестве, деленному на Таким мы получаем математическую модель, пригодную для описания совокупности из бросаний (симметричной) кости (см. также рассмотрения § 2), причем координата точки из оказывается случайной величиной, соответствующей числу очков, полученному в результате бросания. Ясно, однако, что пространство содержит много излишних точек. Точка например, не отвечает никакому результату эксперимента и лишь осложняет нашу математическую модель. Для того чтобы избежать таких ненужных осложнений, и было введено выше множество Если мы возьмем в качестве X множество целых чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, то пространство 2 окажется множеством точек -мерного пространства, все координаты которых являются целыми числами от 1 до 6 включительно. Мера, приписываемая любому множеству, равна числу точек этого множества, деленному на