§ 8. Стационарные вероятностные процессы

а) Процессы, стационарные в узком смысле. Стационарный в узком смысле вероятностный процесс это процесс, в котором распределения вероятностей не меняются с течением времени; это значит, что многомерные распределения случайных величин не зависят от Здесь любое конечное множество значений параметра, и выбрано так, чтобы после сдвига на значения параметра процесса снова принадлежали

Пример 1. Пусть -взаимно независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения. Тогда процесс стационарен в узком смысле. Стационарен в узком смысле такжо любой процесс где

и постоянные выбраны чтобы этот ряд сходился по вероятности. (Мы увидим в гл. III, что из сходимости по вероятности ряда, составленного из взаимно независимых случайных величин, следует и его сходимость с вероятностью 1.)

Для процессов, стационарных в узком смысле, выполняется усиленный зкон больших чисел: если параметр процесса принимает целые значения и то

существует с вероятностью 1, т. е. существует для почти всех выборочных последовательностей (см. теорему 2.1 гл. X). Во многих важных случаях предел вероятностью 1) тождественно равен постоянной. Так, мы увидим, что если величины взаимно независимы, то с вероятностью 1

В случае непрерывного параметра усиленный закон больших чисел для стационарных в узком смысле процессов принимает следующую форму: если и если процесс измерим, то

существует с вероятностью 1, т. е. существует для почти всех выборочных функций (см. теорему 2.1 гл. XI).

б) Процессы, стационарные в широком смысле. Процесс называется стационарным в широком смысле, если при всех не зависит от Функция называется корреляционной функцией процесса. Обычно накладывается также следующее дополнительное условие: не зависит от Это условие не является естественным с математической точки зрения и не меняет существенных интересных свойств процесса. Поэтому мы не будем его вводить. Однако если это дополнительное условие все же имеет место, то

также не зависит от и вместо первоначального процесса можно рассматривать процесс, образованный случайными величинами Тогда случайные величины, задающие процесс, будут иметь нулевые

математические ожидания, и функция будет равна их центральному второму моменту.

Если действительный гауссовский процесс стационарен в широком смысле и если не зависит от то этот процесс стационарен и в узком смысле, так как гауссовские распределения однозначно определяются своими первыми и вторыми моментами. Если комплексный гауссовский процесс стационарен в широком смысле, и (см. теорему 3.2) для всех то по той же причине этот процесс будет стационарен и в узком смысле. Таким образом, данноз вышэ определение стационарного в широком смысла процесса действительно соответствует определению процесса, стационарного в узком смысле.

Стационарный в узком смысле процесс является стационарным и в широком смысле, если при всех

В этой книге мы будем называть стационарными процессами как стационарные в узком, так и стационарные в широком смысле процессы. В литературе, однако, называют иногда стационарными процессами лишь стационарные в узком смысле процессы. Иногда в качестве синонима термину «стационарный» употребляется термин «однородный по времени», но это название не является общепринятым.

Пример 2. Пусть -взаимно независимые случайные величины с

Тогда процесс стационарен в широком смысле, причем

Этот процесс является стационарным в узком смысле тогда и только тогда, когда величины имеют одинаковые функции распределения.

Стационарные в широком смысле процессы подчинены закону больших чисел; именно, теоремы, приводившиеся в этой связи для процессов, стационарных в узком смысле, здесь остаются верными, если заменить «предел с вероятностью 1» на (см. теорему 6.1 гл. X и теорему 6.1 гл. XI).