§ 4. Преобразование Фурье процесса с ортогональными приращениями
В дальнейшем нам понадобится преобразование Фурье процесса 
с ортогональными приращениями, у которого
Иначе говоря, мы хотим найти второй процесс 
с ортогональными приращениями, также удовлетворяющий условию (4.1), для которого выполняются формальные равенства
Конечно, эти равенства нельзя понимать в буквальном смысле, так как производная 
не обязательно существует. Эти равенства служат лишь сокращенной записью следующих соотношений, получаемых из них формальным интегрированием в пределах от X до 
Покажем, что второе из равенств (4.3) определяет процесс у с ортогональными приращениями, удовлетворяющий условию (4.1) и первому из равенств (4.3). Обозначим через 
функцию, равную 1 в промежутке от X до 
и равную 
вне этого промежутка; через 
мы будем обозначать преобразование Фурье этой функции, т. е. функцию, стоящую под знаком интеграла во втором равенстве (4.3). Тогда, используя тождество Парсеваля для преобразований Фурье, из второго равенства (4.3) мы получаем
В частности, если 
то интеграл в правой части (4.4) обращается в нуль. Следовательно, процесс у [получаемый из второго равенства (4.3) хотя бы при 
будет процессом с ортогональными приращениями. Далее, если в 
интеграл в правой части этого равенства обращается в — следовательно, процесс у удовлетворяет условию (4.1). Вместо доказательства первого из равенств (4.3) нам будет удобнее доказать сразу более общее соотношение
где 
являются преобразованиями Фурье друг друга:
Здесь 
произвольная измеримая по Лебегу функция с интегрируемым квадратом (пли, что то же самое, 
— произвольная измеримая по Лебегу функция с интегрируемым квадратом). Для таких функций связь между 
дается теоремой Фурье — Планшереля, и в соответствии с этой теоремой интегралы в (4.6) должны пониматься, как некоторые пределы в среднем, так что равенства (4.6) верны лишь для почти всех 
Доказательство равенства (4.5) является одновременно и доказательством первого из равенств (4.3) — это равенство является частным случаем 
Мы уже знаем, что равенство (4.5) выполняется при в этом случае оно совпадает со вторым из равенств (4.3), являющимся определением у. Но ясно, что множество функций 
для которых выполняется (4.5),
является линейным многообразием функций, замкнутым относительно расстояния
Так как это многообразие содержит все функции 
то оно содержит и все функции 
из указанного выше класса функций, что и требовалось доказать.
