§ 5. Обобщение, результатов § 2 на произвольные пространства состояний

Следующая конструкция представляет собой естественное обобщение матрицы вероятностей перехода Пусть X — пространство точек 5, и пусть некоторое борелевское поле подмножеств множества Функция от называется функцией, вероятностей, перехода, если она обладает следующими свойствами:

(I) определяет при фиксированном 5 вероятностную меру по

(II) определяет при фиксированном А функцию от измеримую относительно поля .

Если выбрано начальное распределение вероятностей на множествах то на пространстве 2 последовательностей где можно следующим образом определить вероятностную меру. Пусть координатная функция, так что если — это точка Положим

и

Такое задание определяет вероятностную меру на множествах из где является борелевским полем -множеств, порожденным

классом множеств вида

(см. дополнение, § 2).

Если, в частности, начальное распределение вероятностей сконцентрировано в точке т. е. если

то мы будем обозначать вероятность любого -множества А символом

и математическое ожидание любой случайной величины символом

Здесь под «случайными величинами» подразумеваются, как и обычно, измеримые -функции, а использование обозначений условных вероятностей и условных математических ожиданий будет оправдано в следующем абзаце. Заменяя последовательность последовательностью мы приходим, очевидным образом, к определению символов

Если X — множество действительных чисел и — поле одномерных борелевских множеств, то проведенным выше построением определяется некоторый вероятностный процесс При любом начальном распределении этот процесс является марковским процессом, и определенные в предыдущем абзаце величины становятся вариантами указываемых нашими обозначениями условных вероятностей и математических ожиданий. Эти варианты и будут всегда использоваться в дальнейшем. Однако при этом не будет предполагаться, что -множество, лежащее на прямой, и класс борелевских множеств. Другими словами, мы будем в этом параграфе рассматривать марковские процессы, для которых образующие их случайные величины не являются обязательно величинами, принимающими численные значения. Читатель, которого затрудняет такая общность, может, если угодно, наложить на некоторые ограничения, однако это не упростит рассуждений.

Без труда вычисляются вероятности перехода за шагов

эти вероятности снова являются функциями вероятностей перехода. Вероятности находиться в множестве состояний А в момент задаются рекуррентно формулами

Если эти вероятности не зависят от то процесс оказывается стационарным в узком смысле, и называется стационарным абсолютным распределением вероятностей.

Пример 1. Пусть пространство X состоит ровно из точек, занумерованных числами состоит из самого X и всех его подмножеств. Пусть любая -мерная стохастическая матрица. Определим равенством

Тогда оказывается функцией вероятностей перехода и, обратно, любая функция вероятностей перехода с описанными выше может быть получена таким способом. При этом итерированным вероятностям перехода, определяемым соотношением (5.2), соответствуют степени матрицы Таким образом, изучение при больших сводится здесь к изучению при больших вероятностей это изучение было проведено в § 2. Результаты, полученные для этого частного случая, распространяются почти полностью на общий случай, если наложить на довольно слабые ограничения. Пример 4, рассматриваемый ниже, показывает, однако, что эти результаты верны не всегда.

При каждом заданном 6, если мало А, то мало и так как, грубо говоря, при Ограничения, накладываемые обычно на ), требуют в каком-то смысле равномерной по малости при малом А. Мы здесь воспользуемся гипотезой Деблина, несколько обобщив его собственную формулировку.

Гипотеза Существуют (конечная) мера о на множествах А в целое число и положительное число такие, что

Заметим, что если гипотеза выполнена при некоторых то она выполнена при любом и тех же самых так как если то

Пример 1 (продолжение). Гипотеза всегда выполняется в условиях примера 1. Действительно, если положить равным числу точек, содержащихся в А, то при множество А оказывается пустым, так что Гипотеза удовлетворяется здесь при Таким образом, гипотеза не накладывает никаких ограничений на конечномерные стохастические матрицы. Предположим теперь, что, пространство X состоит из счетного числа точек, обозначенных числами так что соответствующая стохастическая матрица оказывается бесконечномерной. Тогда любая мера у может быть задана с помощью некоторой последовательности неотрицательных чисел где формулой

Гипотеза удовлетворяется, если, например, ряды сходятся равномерно по однако это требование равномерной сходимости является слишком сильным. Если единичная матрица, то гипотеза не удовлетворяется ни при каком выборе у, т. е. ни при каких

Пример 2. Пусть X — борелевское множество в -мерном евклидовом пространстве, и пусть состоит из борелевских подмножеств множества Пусть -Юровская функция от такая, что

где — точки -мерного пространства и интегрирование проводится относительно меры Лебега в этом пространстве. Тогда функция определенная формулой

является функцией переходных вероятностей. Если мы определим рекуррентно равенствами

то мы получим

В этом важном частном случае оказывается интегралом от плотности вероятностей перехода а итерированные оказываются интегралами от итерированных плотностей Этот пример можно очевидным образом обобщить, отбросив предположение о том, что X является множеством в евклидовом пространстве и что основной мерой на X является мера Лебега. Заметим, что если определено как мера Лебега множества А, если и если — ограниченная функция, скажем то

так что гипотеза выполняется при Гипотеза остается выполненной и при более общем предположении, что и что функция равномерно (по интегрируема по Однако при заданной мере о даже это последнее условие оказывается много спльнее, чем гипотеза так как из этого условия следует, что если близко к 0, то и близко к равномерно по в то время как требует только, чтобы при малом функция была равномерно по с меньше 1.

Пример 3. Если функция вероятностей перехода и некоторая конечная мера на множествах обладающая тем свойством, что при некотором

то гипотеза удовлетворяется при Иногда оказывается полезным следующее более сильное условие:

при всех некотором целом и некоторой константе К. Это новое условие значительно сильнее предыдущего, так как из него следует, что если для некоторого и некоторой последовательности множеств

то это же предельное соотношение верно для всех и притом равномерно по

В дальнейшем будет обозначать условную вероятность того, что система (выйдя из начального состояния побывает в состояниях множества А хотя бы один раз за первые шагов, т. е.

Величина является неубывающей функцией от

Лемма 5.1. Если выполнена гипотеза и если множество обладает тем свойством, что

при всех 5, то существуют положительное целое число и положительное число такие, что

Так как не убывает с ростом и положительно при достаточно большом (зависящем от 5), то существуют такие число положительное число а и множество для которых

Далее, в силу гипотезы

Для доказательства леммы положим и покажем, что

откуда и будет вытекать искомое утверждение с При принимает вид

справедливость этого неравенства следует [мы используем (5.3)] из того, что

Чтобы доказать теперь, что (5.4) верно и в общем случае, мы предположим, что оно верно для некоторого и докажем, что при этом оно будет верно и для Пусть условная вероятность, при условии, что мы из точки 5, перейти в множество состояний за шагов, оставаясь все время вне А. Тогда

и предположив, что (5.4) верно при некотором (а также при 1, что уже было нами доказано), мы будем иметь

что и требовалось доказать.

Изучение асимптотического поведения переходных вероятностей при мы будем проводить постепенно, рассматривая поочередно случаи, являющиеся обобщениями соответствующих случаев из § 2. Если является интегралом от переходной плотности, положительной в некотором определенном смысле, то доказательство проходит без каких-либо изменений. Трудность состоит в том, чтобы показать, что из гипотезы следует существование «хороших» плотностей вероятностей перехода. Для получения этих плотностей введем обычным способом «двумерную» меру на множествах, составленных из точек Если множества из класса то мера «прямоугольника» в пространстве определяемого условиями задается формулой

где фигурирующая в гипотезе Эта мера распространяется обычным образом на множества борелевского поля пространства порожденного классом прямоугольников.

При любых функция является мерой на множествах из следовательно, может быть разложена на абсолютно непрерывную и сингулярные компоненты относительно меры (см. дополнение, § 2). Иначе говоря, мы можем написать

где функция от измеримая относительно мера на множествах принимающая максимальное значение на (зависящем от и множестве -меры Мы будем называть условием условие, состоящее в том, что это представление возможно при всех измеримым по паре переменных т.е. измеримым относительно Мы всегда будем предполагать, что если это условие выполнено, то используемые плотности обладают только что указанным свойством. Мы будем отмечать все случаи использования условия которое понадобится нам лишь при доказательстве некоторых предварительных результатов; окончательные результаты не будут предполагать выполнение этого условия. Заметим, что если условие выполнено, то является измеримой относительно функцией от Далее, при этом условии

так что если А является подмножеством дополнения к сингулярному множеству, на котором сосредоточена мера то

Но так как указанное сингулярное множество имеет у-меру 0, то это неравенство выполнено для всех А, и отсюда следует, что для почти всех (в смысле меры 9)

Начиная с этого места, мы будем предполагать, что если удовлетворяется условие то выбраны таким образом, чтобы это неравенство выполнялось при всех 1]. Чтобы оправдать последнее предположение, мы должны показать, что можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли при всех указанному неравенству. Такой выбор можно сделать следующим образом. Предположим сперва, что выбраны произвольно. Мы будем строить новый вариант уже удовлетворяющий приведенному неравенству. Положим Если уже построено для то, как мы видели, при каждом

для почти всех Положим при всех равным максимуму из левой и правой сторон этого неравенства. Без труда проверяется, что этот выбор удовлетворяет сформулированным выше условиям.

В соответствии с примером 2.7 дополнения условие (I) выполняется, если выполнено следующее условие:

Условие Существует последовательность множеств из порождающая такое борелевское поле что каждому множеству из можно сопоставить множество из отличающееся от на множество -меры 0.

Условие удовлетворяется в большинстве наиболее интересных случаев. Например, если X — борелевское множество в -мерном декартовом пространстве, -класс -мерных борелевских подмножеств множества X и мера определена на борелевских множествах, то в качестве подпоследовательности множеств из входящей в условие (2), можно выбрать последовательность пересечений множества X с -мерными открытыми интервалами, имеющими рациональные грани.

Мы рассмотрим теперь различные частные случаи, предполагая выполненными условие а иногда и дополнительное условие

Случай а). не зависит от с. В этом случае при

так что образующие марковский процесс случайные величины взаимно независимы, и рассмотрения случая а) § 2 остаются в силе без каких-либо изменений.

Случай б). Предположим, что условие заменено более сильным условием существуют мера у на множествах из целое число число а множество для которых

Здесь, так же как и выше, обозначает плотность абсолютно непрерывной компоненты функции относительно меры но мы не предполагаем, что условие выполнено. Тогда существует стационарное абсолютное распределение вероятностей такое, что

и что

Отметим, что из следует Действительно, если выполнено и если то

Так что выполнено с теми же самыми равным наименьшему из двух чисел

Случай б) представляет собой очевидный аналог случая б) § 2, и доказательство неравенства (5.6) будет лишь кратко намечено, так как оно вполне аналогично доказательству неравенства (2.2) в § 2. Положим

Тогда, так же как и в § 2 [ср. с (2.4)],

При фиксированных функция множества определенная равенством

вполне аддитивна. Следовательно, существует некоторое множество (на этом множестве принимает максимальное значение) такое, что на каждом входящем в подмножестве этого множества а на каждом входящем в подмножестве его дополнения наоборот, При этом

Используя эти два факта, мы находим, что

Далее, так же как и в § 2, мы устанавливаем, что

что должны иметь при общий предел и что

Если то

Функция множества неотрицательна, и Эта функция вполне аддитивна, так как она является равномерным пределом вполне аддитивных функций множества. Таким образом, является вероятностной мерой. Из (5.2) следует, что

откуда при вытекает, что

Это последнее соотношение показывает, что является стационарным абсолютным распределением вероятностей; этим и заканчивается рассмотрение случая б).

Мы увидим позднее, что при гипотезе существует функция такая, что

равномерно по и Мы не будем здесь приводить доказательство этого утверждения, аналогичное проведенному нами доказательству теоремы 2.1, так как такое доказательство требует привлечения понятия компактности в банаховых пространствах и абстрактных эргодических теорем, а это завело бы слишком далеко. Ниже мы получим, следуя Деблину, указанный результат путем детального изучения происходящих в действительности переходов системы из состояния в состояние.

Случай в). Предположим, что функция фигурирующая в формулировке гипотезы обладает тем свойством, что, каково бы ни было множество

при всех 5. Это условие, очевидно, эквивалентно тому, чтобы неравенство

выполнялось при всех откуда следует по лемме 5.1, что

равномерно по Другими словами, при этом естественном обобщении случая в) из § 2 предполагается, что в каком бы состоянии не находилась вначале наша система, она имеет положительную вероятность побывать (через некоторое время) в каждом множестве положительной меры у. Две следующие леммы позволяют применить для исследования этого случая соображения, развитые в § 2.

Лемма 5.2. Пусть некоторое -множество, входящее в Тогда существует последовательность разбиений пространства X

обладающая тем свойством, что если выбрать для каждого индексы зависящие от так, что и если — это -множество то

для почти всех (в смысле меры 9) точек в

На более геометрическом языке эта лемма утверждает, что могут быть выбраны таким образом, чтобы почти все точки из имели плотность 1 в относительно последовательности разбиений Если мы определим функцию на множествах из равенством

то мы будем иметь

где у — характеристическая функция множества

Таким образом, у является плотностью абсолютно непрерывной функции множества относительно меры Отношение (5.7) является обобщенным разностным отношением функции в точке по мере 9 относительно последовательности разбиений Если каждое из является подмножеством какого-нибудь из то в соответствии с теоремой 2.4 дополнения это обобщенное разностное отношение сходится при и почти всех к производной функции по мере относительно заданной последовательности разбиений. В силу той же самой теоремы эта производная равна почти всюду плотности у, если только у измеримо относительно борелевского поля, порожденного множествами т. е. если В входит в это борелевское поле. Далее (дополнение, теорема 2.5), существует последовательность множеств из такая, что если -борелевское поле, порожденное множествами то

При каждом положим равными всем пересечениям вида где это пли или Тогда при каждом так определенные множества не пересекаются и дают в сумме все пространство Каждое из является подмножеством одного из и класс всех множеств порождает борелевское поле Таким образом, разбиения удовлетворяют всем требованиям леммы.

Лемма 5.3. Если выполнены гипотезы и (II), то существуют множества такие, что

Для доказательства обозначим через множество точек для которых

Число здесь то же самое, что и в гипотезе Через обозначим -множество, для которого а через -множество, для которого Мы покажем сперва, что

Действительно,

Первый интеграл в правой части этого неравенства не превосходит Область интегрирования во втором интеграле имеет -меру не больше как иначе значение этого интеграла оказалось бы больше 1). Следовательно, второй интеграл вместе с функцией задающей вероятность перехода в множество (р-меры 0, дают по гипотезе вероятность не больше . Таким образом,

и мы доказали (5.8). Мы применим теперь к лемму 5.2 и покажем, что в существуют две точки такие, что для них предел (5.7) равен 1 и что леммы 5.2, применяя теорему Фубини, мы получаем, что существуют -множество X с и для каждого -измеримое множество такие, что предел в (5.7) равен 1, если Выберем так, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:

Это возможно, так как и в силу (5.8)

Две точки обладают нужными нам свойствами. Перейдем теперь к доказательству леммы 5.3. Для каждого выберем к так, чтобы (мы используем обозначения леммы 5.2)

Обозначим через множество точек из X, таких, что Согласно лемме 5.2, число можно выбрать столь большим, чтобы выполнялись неравенства

Выберем и зафиксируем в дальнейшем такое число Из наших неравенств следует, что существуют множества входящие в для которых

Отсюда следует, что

так что если и то

что и доказывает лемму.

Лемма 5.4 Если выполнены условия случая в) и выполнены гипотезы и то существует множество С с для которого при некотором а

Действительно, пусть А и В — множества, фигурирующие в лемме 5.3. В случае в) должны существовать множество положительное число и положительное целое число 3, для которых

Тогда, учитывая переходы из и затем снова в С, находим, что

Это неравенство и доказывает лемму с

Вернемся теперь к изучению переходов, совершаемых системой в случае в). Для каждого множества С, обладающего свойствами, описанными в лемме 5.4, обозначим через совокупность целых чисел для которых

Так как совокупность очевидно, содержит число если она содержит то, следовательно, в силу леммы 2.2 эта совокупность содержит все достаточно большие числа, кратные числу наибольшему общему делителю элементов Докажем теперь, что не зависит от С. Действительно, если и если пп выбрано так, чтобы неравенство выполнялось на подмножестве множества имеющем положительную -меру [это возможно по предположению случая в)], а выбрано так, чтобы неравенство выполнялось на подмножестве множества имеющем положительную -меру, то возможности последовательных переходов из С, в затем в затем снова в , затем в С и затем снова в соответствует тот факт, что

Так как это верно для всех то является делителем разности двух любых элементов из в частности, является делителем Меняя местами в этом рассуждении мы получаем, что В дальнейшем мы будем писать вместо просто

Предположим теперь, что общий случай будет сведен позднее к этому. Пусть С удовлетворяет требованиям леммы 5.4. По лемме 5.1 существуют и целое число такие, что

Далее, так как

то существует целое число для которого Предположение означает, что содержит все достаточно большие целые числа, скажем все числа, большие или равные Отсюда следует, что если и 5 произвольно, то

а это в точности совпадает с предположениями случая б), если отождествить входящее в эти предположения число с числом В соответствии с результатами, полученными выше для случая б), отсюда вытекает, что существует стационарное абсолютное распределение вероятностей и такое, что предельное соотношение

выполняется равномерно по и Приближение к пределу происходит здесь экспоненциально быстро. Далее, если и если о то и Докажем, что в рассматриваемом сейчас случае для всех из условия вытекает, что и Действительно (в силу стационарности),

Но в случае в), если то и положительно при достаточно больших (в действительности по лемме 5.1 эта вероятность даже равномерно стремится к 1 при Поэтому при

Предположим теперь, что и определим как -множество, на котором при некотором целом и Тогда из предположений случая в) следует, что Однако множества не являются обязательно непересекающимися.

Лемма 5.5. Если выполнены условия и то при всех

всюду, за исключением, быть может, множества у-меры 0, и

Действительно, если на множестве положительной -меры, то существуют целые числа тип, для которых неравенства

выполнены одновременно на множестве положительной -меры, а также (мы здесь переходим к другому множеству положительной -меры, вложенному в первоначальное) выполнены, если заменить в правых частях этих неравенств положительным числом. По предположению случая в) существуют множество и число такие, что

Следовательно, если то возможность последовательного перехода из затем в затем в С и, наконец, снова в С показывает, что

Число является делителем обеих сумм слева, а следовательно, и их разности Отсюда следует, что и этим заканчивается доказательство первой части леммы. Чтобы доказать вторую часть, заметим, что если то по предположению случая в) существует чпсло для которого на -множестве положительной -меры, а в соответствии с первой частью леммы это означает, что

Мы воспользуемся теперь следующим методом приведения. Предположим, что что если Тогда, если не пусто, приведенной функцией называется функция рассматриваемая как функция, определенная лишь для Эта приведенная функция является функцией вероятностей перехода на пространстве состояний Еслп система когда-нибудь попадает в то она остается там навсегда, так что

Например, если и если -множество определено условием то отвечает требованиям, наложенным выше на Наконец, заметим, что всегда если функция удовлетворяет гипотезе то и приведенная функция также удовлетворяет гипотезе в частности, если то равномерно по

Первая часть этого утверждения очевидна; вторая следует из леммы 5.1, так как [в силу гипотезы (D)] если то

В соответствии с леммой 5.1 сходимость к будет экспоненциально быстрой.

Если бы множества из леммы 5.5 в действительности не пересекались, то мы имели бы

(здесь под понимается Система пробегала бы циклически через состояния, входящие в Далее, функция была бы функцией вероятностей перехода, обладающей всеми теми свойствами, какие первоначальная функция имеет при Из предыдущих результатов вытекало бы, что предел

существует равномерно по и Хотя в общем случае С - не обязаны не пересекаться, но мы можем применить описанный выше метод приведения для того, чтобы получить приведенную функцию вероятностей перехода, для которой уже не пересекаются. Мы выделим из X множество где строятся по множеству так, как это описано в предыдущем абзаце. В силу леммы 5.5 о Если бы при некотором число было бы положительным, то в силу предположений случая в) нашлась бы точка вероятность перехода из которой в за некоторое чпсло шагов (скажем, за шагов) была бы положительной. Но тогда была бы положительна и вероятность перехода за шагов, а это противоречит лемме 5.5. Таким образом, при всех имеет место равенство откуда следует, что Для приведенной функции вероятностей перехода множества переходят в

ресекающиеся множества

Теперь можно воспользоваться замечаниями, сделанными выше для случая непересекающихся Учитывая тот факт (это было доказано при обсуждении метода приведения), что

равномерно (с экспоненциальной скоростью) по 5, мы находим, что

равномерно по Здесь вероятностная мера на множествах причем

И вообще, так же как и в § 2,

и

Сходимость является равномерной и экспоненциально быстрой. Из последнего соотношения следует, что

Асимптотическое поведение при будет рассмотрено при изучении следующего более общего случая г).

Случай г). Общий случай выполнения гипотезы Множество будет называться последующим множеством, если для некоторого имеет место равенство при всех в этом случае множество будет называться также последующим за состоянием Согласно гипотезе если является последующим множеством, то Множество, являющееся последующим за каждой из входящих в него точек, мы будем называть инвариантным множеством. Таким образом, инвариантное множество или пусто, или имеет у-меру, не меньшую

Если является множеством, последующим за и если -множество точек из для которых то является множеством, последующим за так как иначе было бы положительным при некотором и тогда оказалось бы, что

Таким образом, если множество является последующим, то оно содержит ненулевое инвариантное множество

Если инвариантное множество не содержит никаких (ненулевых) инвариантных подмножеств меньшей у-меры, то оно будет называться минимальным. Каждое последующее множество содержит ненулевое минимальное инвариантное множество, которое может быть получено следующим образом.

Мы можем считать инвариантным множеством (уменьшая, если нужно, первоначально заданное Если не содержит ни одной точки для которой существует последующее за ней множество такое, что то множество минимально. Если же существует такая пара то можно предположить, что инвариантно. Повторяя эти соображения, мы получаем конечную или бесконечную последовательность инвариантных множеств такую, что

Пусть по всем ненулевым инвариантным множествам Мы можем считать, что если не минимально, то выбрано так, чтобы выполнялось неравенство Если последовательность множеств конечна, то последнее из них является искомым минимальным инвариантным множеством; если же она бесконечна, то искомым инвариантным множеством является так как оно является ненулевым, инвариантным множеством и имеет своей -мерой

Если множества инвариантны, то множество тоже должно быть инвариантным. В частности, если минимально, то оказывается инвариантным подмножеством минимального инвариантного множества. Отсюда следует, что или или пустое множество. Следовательно, мы получаем (взяв также минимальным), что два минимальных инвариантных множества или не пересекаются, или отличаются друг от друга самое большее на множество у-меры 0. Пусть последовательность всех существенно различных непересекающихся непустых минимальных инвариантных множеств. Тогда и любое ненулевое минимальное инвариантное множество отличается от некоторого не больше, чем на множество -меры 0. Всего имеется не больше, чем множеств

Для каждого состояния мы имеем так как иначе оказалось бы для последующим множеством и, следовательно, содержало бы ненулевое инвариантное минимальное множество, которое должно было бы совпадать с одним из множеств Таким образом, где бы была система вначале, она в конце концов попадает в одно из множеств попав в она остается там навсегда, так что

Теорема 5.6 (ср. с теоремой 2.3). Для каждого

и, более того, при некотором

равномерно по Следовательно, при любом начальном (с вероятностью 1) система будет оставаться вне множеств лишь в течение конечного числа шагов.

Эта теорема следует сразу из леммы 5.1 и леммы Бореля-Кантелли. При каждом а функция где определяет функцию вероятностей перехода, удовлетворяющую предположениям случая в). Следовательно, если мы временно предположим, что выполнено

условие и если циклические подклассы класса вводимые так же, как и в случае в), но для приведенной функции так что

и

Эта сходимость является равномерной и экспоненциально быстрой. Здесь вероятностная мера на множествах такая, что

Условная вероятность того, что система, находившаяся вначале в попадет в конце концов в равна

где функция не убывает с ростом так как если система попала однажды в то она остается там навсегда. Если то в общем случае в силу теоремы 5.6 Если рассматривать только положения системы после шагов, то условная вероятность того, что система, находившаяся вначале в попадет в конце концов в будет равна

Если Далее,

и так же, как и в § 2, при всех

Здесь и дальше индекс рассматривается по модулю Сходимость является снова равномерной и экспоненциально быстрой. Наконец, из этого предельного соотношения следует, что при всех

где

Определенная таким способом функция является вероятностной мерой на множествах причем

Эти соотношения выполнены при всех и Стремление к пределу во всех этих соотношениях равномерно по и

Результаты основываются пока на предположении, что выполнены как условие так и условие Мы покажем теперь, как получить эти результаты без условия Мы будем называть борелевское поле допустимым, если является измеримой относительно функцией от при всех и если поле удовлетворяет условию более сильному, чем Например, борелевское поле, состоящее только из пустого, множества и множества X, является допустимым. Докажем следующие утверждения.

(I) Если какая-либо конечная или бесконечная последовательность множеств из то существует допустимое борелевское поле такое, что Если какая-либо конечная или бесконечная последовательность допустимых борелевских полей, то существует допустимое борелевское поле такое, что

Второе утверждение следует из первого, так как если верно - то мы можем взять в (II) в качестве все множества из входящие в последовательности множеств, используемые в условии (2), примененном к полям Чтобы доказать определим для любого как счетный класс -множеств вида

Определим теперь как борелевское поле -множеств, порожденное классом множеств где и классы определяются последовательно с помощью соотношения

здесь для любого класса множеств символ обозначает поле, порожденное классом т. е. совокупность конечных сумм конечных пересечений множеств, принадлежащих или являющихся дополнениями к множествам из . Тогда класс множеств является счетным. По определению всегда Пусть класс множеств А из обладающих тем свойством, что как функция от измерима относительно Для того чтобы доказать допустимость класса надо показать, что Класс является полем множеств, так как по определению в входит поле, порожденное классом Далее, так как если то являетея функцией от с, измеримой отйосительно борелевского поля, порожденного классом Наконец, в входят, очевидно, пределы монотонных последовательностей множеств из Следовательно (см. дополнение, теорему 1.2), что и требовалось доказать.

Так как все результаты этого параграфа остаются в силе, если заменить любым допустимым борелевским полем, то мы сможем, используя свойства (I) и (II) допустимых борелевских полей, получить эти результаты и для самого Например, еслп и если удовлетворяет условию то, как мы доказали.

существует равномерно по и по А. Если не удовлетворяет условию

и если то, заменив х допустимым борелевским полем, содержащим А, мы получим, что этот предел существует и притом равномерно по Для того чтобы полностью распространить результаты этого параграфа на общий случай, поступим следующим образом. Мы определили эргодические классы не используя условие Пусть некоторое допустимое борелевское поле -множеств такое, что Такое допустимое борелевское поле существует согласно утверждению (I). Заменяя на мы построим относительно циклические подклассы входящие в Если какое-нибудь другое допустимое борелевское поле, содержащее то при каждом а циклическими подклассами относительно будут или те же самые или множества, получаемые из подклассов дальнейшим, более тонким расщеплением классов причем новое значение будет кратно первоначальному. Так как то для каждого а должно существовать допустимое поле для которого принимает максимальное значение. В силу (II) тогда должно существовать допустимое борелевское поле Для которого максимальны при всех а. Предположим теперь, что любое допустимое борелевское поле -множеств с Тогда циклические подклассы относительно будут теми же самыми, что и относительно теми же самыми будут и все постоянные, чтеризующие скорость сходимости вероятностей к их предельным значениям. Так как может быть выбрано такпм образом, чтобы оно содержало любое наперед заданное множество из то, комбинируя (I) и (II), мы получаем, что все наши результаты включая и результаты о равномерной сходимости, подытоженные в соотношениях (5.9) — (5.15), верны и без гипотезы (2).

Если функция вероятностей перехода удовлетворяет гипотезе для некоторой тройки величин то мы будем называть эту тройку -тройкой (для заданных вероятностей перехода). Если функция вероятностей перехода имеет хотя бы одну -тропку, то она имеет их и бесконечно много. Этот факт вместе с тем обстоятельством, что даже для заданной -тройки полученное выше разбиение пространства X определяется не однозначно, делает несколько неясным значение нашего условия и полученных результатов. Дальнейшее обсуждение проводится для того, чтобы разъяснить вопрос о выборе -тройки и получаемого разбиения пространства

В дальнейшем множество для которого

будет называться несущественным множеством состояний. Предположим, что пространство X разбито на непересекающиеся инвариантные множества и несущественное множество и что каждому соответствует вероятностная мера определенная на множествах такая, что

Тогда множества называются эргодическими классами (или эргодическими множествами). Предположим далее, что можно разбить на непересекающихся множеств таких, что

(где под понимается ), и что каждому соответствует вероятностная мера на множествах из такая, что

и

Тогда множества называются циклическими подклассами эргодического класса Если возможны описанные только что разбиения, то можпо так же, как и раньше, определить и при этом будут выполнены соотношения (5.13), (5.14) и (5.15). Мы доказали, что такие разбиения возможны, если выполнена гипотеза Мы покажем теперь, что еслп разбиение на эргодические классы возможно, то функции множеств определяются однозначно (с точностью до порядка). Для этого предположим, что

— два разбиения пространства X на эргодические и несущественное множества и соответствующие этим разбиениям функции множеств. Ясно, что ни один из классов (соответственно не может целиком содержаться в (соответственно в так как эргодические классы инвариантны, а система, находившаяся вначале в несущественном множестве состояний, переходит в конце концов в его дополнение. Множество должно, следовательно, иметь непустое пересечение с некоторым из скажем с Из (5.14) при тогда следует, что Так как при функции множеств и совпадать не могут, то не может иметь общих точек с каким-нибудь другим Рассуждая и дальше таким же образом, мы, очевидно, придем к тому, что можно занумеровать так, чтобы имели место соотношения

Таким образом, мы доказали, что функции множеств определяются однозначно (с точностью до порядка) и что эргодические классы также определяются однозначно, если пренебречь состояниями, лежащими в несущественных, множествах. Аналогичные соображения показывают, что если имеются циклические подклассы с соответствующими функциями множеств то эти функции множеств определяются однозначно (с точностью до порядка); однозначно определяются также (с точностью до порядка) и сами циклические подклассы, если пренебречь состояниями, лежащими в несущественных множествах. Число эргодических классов в разбиении на эргодические и несущественные множества не зависит поэтому от разбиения. Если это число равно то мы будем говорить просто, что имеется эргодических классов. Аналогично мы будем говорить, что эргодический класс состоит из циклических подклассов, если это число подклассов при любом разбиении этого эргодического класса на подклассы. В дальнейшем мы будем предполагать, что можно разбить пространство X на циклические подклассы и несущественное множество состояний и что классы и подклассы занумерованы фиксированным образом, так что функции множеств определены однозначно. Значенпя функций и также определяются однозначно (т. е. эти значения зависят только от

соответственно). Это следует очевидным образом из определения функций

Можно построить разбиение пространства X на эргодические и несущественное множества, используя только функции множеств

Для этого нужно определить как множество точек для которых

(это множество совпадает с множеством состояний, для которых Аналогично мы можем задать разбиение на циклические подклассы, определив как множество точек для которых

(множество совпадает с множеством состояний, для которых Если мы положим

то множества дадут еще одно новое разбиение на эргодические несущественное множества. Если любое разбиение на эргодические и несущественное множества, то при соответствующем упорядочении эргодических классов

Если -либо подразбиение класса на циклические подклассы, то при соответствующем упорядочении этих подклассов

Предположим теперь, что гипотеза выполнена, так что, как было доказано выше, существуют эргодические и несущественное множества и циклические подклассы Определим равенством

Тогда при соответствующем упорядочении рассматриваемых множеств

Мы можем записать теперь функцию фигурирующую в формулировке гипотезы в виде

где и конечная мера является сингулярной компонентой меры 9 относительно меры 9, так что принимает максимальное значение на некотором множестве -меры 0. Так как всегда и то из следует Поэтому

Другими словами, мера" сосредоточена на Поскольку

то из условия следует, что Следовательно,

и поэтому должно быть положительно на подмножестве положительной -меры каждого подкласса Обратно, если выполнена гипотеза и если — любая неотрицательная функция, измеримая относительно и положительная на некотором имеющем положительную -меру подмножестве каждого подкласса и — любая конечная мера на множествах сингулярная относительно меры о, то положим

Тогда легко проверить, что гипотеза удовлетворяется некоторых для тройки Мы охарактеризовали, таким образом, класс-функций о, входящих в [в предположении, что существует хотя бы одна -тройка]. Проще всего выбрать в качестве о саму функцию 9; для этого надо положить При таком выборе выполняется условие, много более сильное, чем гипотеза Легко показать, используя тесную связь между 9 и вероятностями перехода, что для любого заданного существуют и целое число такие, что если то при всех (Если очень мало, то должно быть очень большим.) На практике, конечно, существование такой функции 9 неизвестно до тех пор, пока не установлено, что существует хотя бы одна -тройка, и функция 9 из этой -тройки оказывается обычно отличной от 9. Тем не менее приведенное замечание показывает, что гипотеза эквивалентна a posteriori много более сильному условию.

Из предыдущих рассмотрений вытекает, что если выбранные двумя разными способами эргодические классы и циклические подклассы, определяемые заданной функцией вероятностей перехода, удовлетворяющей гипотезе то (при соответствующем упорядочении этпх классов и подклассов)

Далее, если — некоторая -тройка, соответствующая этим вероятностям перехода, и если а — минимальные инвариантные множества для этой -тройки, то

Таким образом, если минимальные инвариантные множества для -тройки то отличается от от самое большее на сумму двух множеств: множества -меры и множества -меры 0.

Стационарные абсолютные распределения вероятностей полностью описываются следующей теоремой.

Теорема 5.7. Если выполнена гипотеза то функция определенная как предел (5.14), задает при каждом 5 стационарное абсолютное распределение вероятностей; при не зависит

от и Обратно, каждое стационарное абсолютное распределение вероятностей является линейной комбинацией (с неотрицательными коэффициентами, в сумме равными 1) мер Вообгце, каждое решение уравнения

(где у — конечная вполне аддитивная функция) является линейной комбинацией мер

Доказательство является точно таким же, как в случае стохастической матрицы (теорема 2.4), и мы не станем поэтому его приводить. Из сформулированной теоремы следует, что число эргодических классов зависит только от заданной функции вероятностей перехода и не зависит от -тройня, входящей в условие Мы уже вывелп раньше этот факт другим способом. Можно показать, что стационарные абсолютные распределения вероятностей образуют выпуклое множество в соответствующим образом определенном линейном пространстве, и что являются крайними точками (вершинами) этого множества. Это дает нам описание стационарных абсолютных распределений вероятностей, не зависящее от выбора -тройки.

Важные частные классы функций вероятностей перехода, удовлетворяющих условию могут быть изучены точно темп же способами, как и соответствующие классы стохастических матрпц, и поэтому дальнейшие результаты будут нами даны без доказательств. Во всем дальнейшем предполагается, что существует некоторая -тройка и что эргодические классы, множество несущественных состояний и циклические подклассы выбраны некоторым определенным способом.

Случай д). Предел определяемый соотношением (5.14), не зависит от 5 тогда и только тогда, когда имеется только один эргодический класс..

Случай е). Предел является обычным пределом (а не пределом по Чезаро) тогда и только тогда, когда ни один из эргодических классов не содержит циклических подклассов

Случай ж). Предел положителен при для всех тогда и только тогда, когда имеется лишь один эргодический класс и множество несущественных состояний имеет -меру 0.

Случай з). Если при условии для каждого существуют множества входящие в такие, что для каждой пары при всех то не может существовать циклических подклассов эргодических классов. Это будет верно, например, если X — евклидово пространство, поле борелевских множеств, и плотность непрерывна, причем при всех

Случай и). Если при условии (2) распределение вероятностей абсолютно непрерывно относительно и имеет плотность и если то будет также иметь симметричную плотность. Тогда в каждом из эргодических классов будет содержаться больше двух циклических подклассов и множество несущественных состояний будет иметь -меру 0. Предел будет задаваться симметричной плотностью (см. ниже обсуждение примеров 2.3), удовлетворяющей соотношениям

В частности, если существует только один эргодический класс, то

Случай к). Если

(т. е. если является стационарным абсолютным распределением вероятностей), то а следовательно, и удовлетворяют этому же соотношению. Взяв в предыдущей формуле в качестве множество несущественных состояний получаем, что это множество должно иметь -меру 0. Далее, так как при имеет место равенство

Таким образом, так же, как и в случае и) задается плотностью постоянной при Так как в случае к) могут быть циклические подклассы, то предел по Чезаро в (5.14) нельзя заменить обычным пределом.

Примеры 2 и 3 (продолжение). Предположим, что (I) выполнено, и что функция вероятностей перехода обладает тем свойством, что при некотором некоторой конечной мере о

для всех Как мы уже видели, в этом случае гипотеза удовлетворяется с заданными если Вероятность перехода задается плотностью

и вообще плотность вероятности перехода определяется при всех формулой

Отметим, что хотя определяется функцией неоднозначно, тем не менее функция определяется при каждом однозначно с точностью до -множества -меры 0. Мы можем предположить, что удовлетворяет следующим условиям:

тогда можно однозначно определить приведенной выше формулой, причем будет удовлетворять тем же самым условиям, что и замененным на (как всегда, второй пндекс в берется по модулю Поскольку при также и то пределы должны обращаться в нуль при о так что и абсолютно непрерывны относительно и задаются плотностями. Мы покажем сейчас, что из предельных теорем, доказанных выше для функции множеств, вытекают соответствующие очевидные предельные

теоремы для плотностей. Например, так как

где постоянные, не зависящие от то

Действите

Другие предельные теоремы переносятся на плотности аналогичным образом; оказывается, что плотности приближаются к предельным плотностям равномерно и с той же скоростью, с какой сами распределения приближаются к предельному распределению. Чтобы оправдать только что сформулированный принцип, рассмотрим случай, когда имеется только один эргодический класс, не содержащий циклических подклассов, и докажем, что из неравенства

где (единственное) стационарное абсолютное распределение вероятностей, уже выведенного для этого случая раньше, следует, что при всех

Здесь плотность распределения

Условие, что является плотностью распределения определяет только с точностью до множества -меры 0. Чтобы определить однозначно, поступим следующим образом: так как является стационарным абсолютным распределением вероятностей, то

и отсюда следует, что для почти всех (в смысле меры 9)

Мы можем, следовательно, определить однозначно как левую часть этого соотношения при Тогда последнее соотношение будет выполняться при всех При таком определении мы имеем

что и требовалось доказать. Если отказаться от принятого выше соглашения о выборе эти результаты останутся верными при каждом с точностью до -множества -меры 0.

Наконец, посмотрим, к чему приводит более сильное из двух условий, приведенных в примере 3: для некоторого целого числа и некоторой константы К

при всех Из этого условия вытекает, что

Если положить теперь при некотором то предыдущие рассуждения останутся в силе, и, более того, плотности можно будет опрёделпть так, чтобы выполнялись неравенства

Это значит, что здесь выполнены предположения случая б). (В действительности и без введения плотностей очевидно, что из рассматриваемого условия следует, что должен существовать лишь один эргодическпй класс, не содержащий циклических подклассов.) Этот случай был впервые рассмотрен Колмогоровым, получившим результаты, выведенные нами для случая б), и применявшим по существу тот же метод доказательства (без введения плотностей, совершенно излишних в этом случае).

В заключение мы приведем простой пример, в котором выполнены некоторые из утверждений, доказывавшихся в этом параграфе, но неверна гипотеза

Пример 4. Пусть действительные случайные величины, образующие гауссовский процесс, причем

Здесь действительный параметр, Процесс является стационарным марковским процессом (см. § 8 и гл. X, § 4). Условное распределение величины при заданном значении величины является гауссовским с математическим ожиданием и дисперсией т. е.

Следовательно,

Если конечный интервал, то эта сходимость не равномерна по так как при каждом вероятность можно сделать сколь угодно малоа, взяв достаточно большое Таким образом, в этом чрезвычайно простом примере гипотеза не выполняется. Итерированные вероятности перехода сходятся здесь (но не равномерно) к стационарному абсолютному распределению вероятностей.