§ 10. Процессы с некоррелированными и с ортогональными приращениями

Процесс называется процессом с некоррелированными приращениями, если

и, каковы бы ни были значения параметра приращения — некоррелированы друг с другом, т. е.

С этими процессами тесно связаны процессы с ортогональными приращениями, т. е. процессы, в которых выполнено (10.1), а (10.2) заменено на

Если процесс имеет некоррелированные приращения, то процесс

является одновременно процессом как с некоррелированными, так и с ортогональными приращениями.

Если — процесс с некоррелированными (ортогональными) приращениями, то является частной суммой ряда

из попарно некоррелированных (ортогональных) случайных величин. Обратно, если попарно некоррелированные (ортогональные) случайные величины и произвольная случайная величина, то величины

образуют процесс с некоррелированными (ортогональными) приращениями. Практически название «процессы с некоррелированными (ортогональными) приращениями» применяют лишь в случае непрерывного параметра.

Если приращения процесса, удовлетворяющего (10.1), стационарны в смысле вторых моментов, т. е. если

зависит только от то говорят, что процесс имеет стационарные (в широком смысле) приращения. Элементарные вычисления показывают, что в этом случае математическое ожидание

зависит только от разностей

Если процесс с некоррелированными или с ортогональными приращениями является гауссовским, причем

и если процесс действителен или же если (см. теорему 3.2)

то этот процесс имеет независимые приращения. Таким образом, процессы с некоррелированными и с ортогональными приращениями являются процессами с независимыми в широком смысле приращениями.

Если процесс имеет независимые приращения и если выполнено (10.1), то этот процесс имеет также некоррелированные приращения. Таким образом, процесс брауновского движения и пуассоновский процесс, определенные в § 9, являются процессами с некоррелированными приращениями. Их приращения являются также стационарными (как в широком, так и в узком смысле).

Пусть процесс с ортогональными приращениями. Тогда можно определить функцию так, чтобы

Например, мы можем выбрать некоторое и положить

Функция является монотонно неубывающей функцией и определяется соотношением (10.4) с точностью до постоянного слагаемого. Процесс имеет стационарные (в широком смысле) приращения тогда и только тогда, когда зависит только от В стационарном случае обозначим эту разность через Тогда

Пусть множество разностей где Тогда является монотонно неубывающей функцией, определенной на удовлетворяющей функциональному уравнению

Если интервал, то единственным монотонным решением этого функционального уравнения является

Таким образом, если — интервал, то процесс имеет стационарные (в широком смысле) приращения тогда и только тогда, когда

при некотором

Если процесс с некоррелированными приращениями, то можно определить так, чтобы

тогда процесс будет иметь ортогональные приращения.

Процесс брауновского движения, определенный в § 9, является процессом со стационарными некоррелированными (и ортогональными) приращениями. При подходящем выборе произвольных постоянных слагаемых соответствующие функции равны для него

Пуассоновский процесс, определенный в § 9, является процессом со стационарными некоррелированными (но не ортогональными) приращениями, причем

Процессы с некоррелированными и с ортогональными приращениями являются важным средством для изучения стационарных процессов. Они будут поэтому изучены в гл. IX, раньше стационарных процессов, рассматриваемых в гл. X и XI.

Нам будет иногда удобно записывать (10.4) символически в виде