Глава III. СНИЖЕНИЕ ВИБРОАКТИВНОСТИ МЕХАНИЗМОВ

При проектировании механизмов задачу снижения виброактивности приходится решать как для устранения аварийных режимов, так и для обеспечения нормальных условий работы машины и ее обслуживания, вытекающих из требований высококачественного и надежного осуществления заданной технологической или транспортной операции и защиты человека-оператора от вредного воздействия вибраций.

Механизмы, с помощью которых в машине преобразуется движение звеньев и осуществляется заданное (программное) перемещение рабочих органов, в колебательной системе являются, с одной стороны, источником возмущения для привода машины, ее основания и несущих конструкций, а с другой — ответственным технологическим объектом, подверженным воздействию вибраций.

Проявление механизма как источника колебаний может быть в известной степени подавлено за счет дополнительных уравновешивающих сил и моментов, при воздействии которых суммарные нагрузки, передаваемые на опоры или привод, уменьшаются либо перераспределяются желательным образом. С этой целью используется рациональное размещение дополнительных масс (противовесов) или специальные разгружающие устройства.

Во многих случаях существенное снижение динамических нагрузок в механизмах может быть достигнуто оптимизацией непосредственно самих программных движений звеньев; при этом должны быть приняты во внимание заданные технологические и компоновочные ограничения.

При рассмотрении механизма как объекта колебаний задача снижения его виброактивности тесно соприкасается с задачей минимизации динамических ошибок, под которыми понимают искажения воспроизводимых программных кинематических характеристик, вызванные колебаниями звеньев. Особенно значительными обычно являются динамические ошибки в ускорениях звеньев, что может иногда привести к многократному возрастанию максимальных динамических нагрузок по сравнению с результатами, полученными без учета колебаний звеньев. Кроме того, минимизация динамических ошибок является необходимой предпосылкой для того, чтобы синтезируемые оптимальные законы движения звеньев оказались практически реализуемыми. С учетом условий формирования динамических ошибок одновременно определенным образом должны корректироваться сами критерии оптимальности, используемые при выборе как кинематических характеристик программного движения, так и параметров механизма. Поэтому вопросы оптимизации механизма с учетом отмеченных факторов, как правило, приходится рассматривать в рамках единой динамической задачи.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРОВНЯ ВИБРОАКТИВНОСТИ МЕХАНИЗМОВ

Динамические модели механизмов. Первый этап решения задачи снижения виброактивностн механизмов состоите отборе одной или нескольких динамических моделей, являющихся идеализированными отображениями рассматриваемых систем.

Динамические модели механизмов имеют отличительную особенность, которая заключается в том, что абсолютная координата при прохождении кинематической цепи преобразуется в соответствии с заданными геометрическими характеристиками механизма. Ниже рассмотрены лишь такие модели, в которых отмеченная особенность при снижении виброактивности механизма оказывается определяющей.

Кинетостатическая модель, являющаяся наиболее простой динамической моделью, рассматриваемой в классической теории механизмов и машин [8,246], представляет собой абстрактный механизм с недеформируемыми звеньями. При рассмотрении подобных моделей обычно решается первая задача динамики, когда при заданном движении определяются возникающие при этом инерционные силы. Анализ кинето-статической модели дает исходное оценочное представление о динамике механизма, которое оказывается достаточно совершенным лишь при характере нагружения, близком и статическому.

Для кинетостатической модели механизма с одной степенью свободы связь между координатами входного и выходного звеньев устанавливается так называемой функцией положения где Функции называют аналогами скорости, ускорения и ускорения второго порядка, или соответственно первой, второй и третьей передаточными функциями звена (штрихом обозначены производные по Эти функции вместе с функцией являются геометрическими характеристиками механизма.

Если угловая координата задается в радианах, то ее размерность совпадает с размерностью Об определении геометрических характеристик механизмов см. [8, 246].

Кинематические характеристики выходного звена — скорость, ускорение и производная функции ускорения по времени, называемая ускорением второго порядка, — связаны с геометрическими характеристиками следующими зависимостями:

В зависимости от того, является ли функция линейной или нелинейной, все механизмы делятся на две группы. При линейной функции положения (например, в зубчатых передачах с постоянным передаточным отношением) Если то в подобных механизмах в рамках кинетостатической модели возникновение инерционных нагрузок возможно только из-за ошибок при изготовлении и сборке или других погрешностей.

При нелинейной функции положения, свойственной так называемым цикловым механизмам — кулачковым, рычажным, шаговым и т. д., динамические условия работы оказываются более напряженными, так как даже при и идеальном изготовлении на выходных звеньях в соответствии с (1) возникают ускорения, причем нередко значительные. При прочих равных условиях сила инерции на выходном звене пропорциональна функции а момент на входном звене, вызванный этой силой, — функции Момент на входном звене, уравновешивающий постоянную силу приложенную к выходному звену, При даже постоянная сила приводит к возникновению переменного возмущающего момента, способного возбуждать колебания привода.

Константы могут быть использованы в качестве простейших динамических критериев, с помощью которых производится сопоставление законов движения, а также синтез новых законов движения, обладающих в определенном смысле оптимальными свойствами.

На рис. 1 приведен ряд типовых динамических моделей механизмов и их приводов. Принятые в этих моделях инерционные характеристики 3, коэффициенты жесткости с и коэффициенты поглощения следует трактовать как приведенные значения. Помимо кинетостатической модели (рис. I, а) могут оказаться эффективными динамические модели при учете податливости ведомой части и абсолютно жесткой ведущей части механизма (рис. 1, б) или при податливой ведущей и абсолютно жесткой ведомой части (рис. 1, в). Эти модели являются частными случаями модели более общего типа (рис. 1, г), которая позволяет описать сложные колебательные явления, возникающие при взаимном влиянии двух подсистем, связанных функцией положения.

Наряду с последовательным соединением элементов во многих случаях возчикает необходимость анализа параллельно-последовательного соединения (рис. 1, д). Подобная модель встречается, например, при анализе колебаний в приводах с распределительным валом, от которого получает движение ряд механизмов. Особый класс механизмов со своими особенностями образуют механизмы, работающие в замкнутой схеме (рис. 1, е).

При схематизации механизмов отдельные звенья иногда целесообразно представлять в виде подсистем с распределенными параметрами.

В приведенных моделях функция положения может быть как линейной, так и нелинейной, а приведенные инерционные, упругие и диссипативные характеристики — постоянными или переменными.

В системах с переменными параметрами определенное упрощение модели иногда достигается использованием усредненных значений параметров. При этом, однако, степень идеализации механизма не должна вступать в противоречие о возможностями принципиального характера при описании с помощью данной модели тех или иных колебательных явлений.

Дифференциальные уравнения для определения динамических ошибок в механизмах. Для ряда типовых динамических моделей в табл. 1 приведены зависимости, устанавливающие связь между динамическими ошибками и решениями соответствующих дифференциальных уравнений; кроме того, даны формулы для определения коэффициентов этих уравнений. Построение решений см. справочник т. 1, а также [54, 56, 93, 102, 222].

Рис. 1. Типовые динамические модели механизмов

Для модели I при условии, что приведенное значение ведомой массы (или момента инерции) и приведенную жесткость с можно считать постоянными, соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид

где деформация упругого элемента; — коэффициент эквивалентного линейного сопротивления 1.

При записи функции (см. табл. 1) угловая скорость входного звена принята постоянной. Частота свободных колебаний с поправкой на диссипацию однако, поскольку в механизмах обычно то

Для модели II и других многомассных моделей с постоянными параметрами при достаточно сложном виде кинематических возмущений и внешних сил целесообразно осуществить переход к нормальным (главным) координатам (см. справочник т. 1). На этапе перехода к нормальным координатам диссипативные силы из-за их малого влияния на собственные частоты и формы колебаний могут быть опущены и учтены позже соответствующими членами дифференциальных уравнений.

Для приведенной двухмассной модели нормальные координаты определяют из следующих дифференциальных уравнений (табл, 1, модель II):

Коэффициенты получены при использовании допущения о том, что между главными формами колебаний не происходит перекачки энергии, обусловленной силами сопротивления [26, 54].

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Модели III, IV, V, VII реализуюгся в механизмах с нелинейной функцией положения при достаточно податливом приводе. Динамическая ошибка в этих моделях зависит от угловой деформации привода, которая для модели III определяется из следующего дифференциального уравнения:

где момент инерции ведущего звена; масса ведомого звена; коэффициент линейного сопротивления; с — коэффициент жесткости привода;

Поскольку обобщенная координата является аргументом нелинейных функций дифференциальное уравнение (4) является нелинейным. Однако с достаточной точностью может быть осуществлена линеаризация в окрестности текущего значения фазового угла [54]. С этой целью выделяют участки по оси внутри которых и по крайней мере несколько первых производных этих функций по не имеют разрывов непрерывности, после чего эти функции представляют в виде двух первых членов в рядах Тейлора по степеням Этим приемом (4) приводят к виду дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

Дифференциальное уравнение (5) при соответствующих значениях коэффициентов (см, табл. 1) отвечает также моделям IV—VI, При этом модель IV отображает привод переменным приведенным моментом инерции; модель V отвечает случаю, когда кинематический аналог механизма расположен между двумя упругодиссипативными элементами, один из которых соответствует приводу а другой — выходному звену В динамической модели VI привод механизма принимается абсолютно жестким, а приведенная жесткость ведомого звена с, является функцией угла Такая ситуация возникает, в частности, при анализе многих рычажных механизмов как плоских, так и пространственных [235].

В модели VII в простейшей форме учтены упругие и диссипативные характеристики ведущей и ведомой частей механизма. Динамические ошибки в этом случае являются функциями угловой деформации в подсистеме привода и деформации в подсистеме ведомого звена Эти координаты входят в систему нелинейных дифференциальных уравнений

где диссипативные силы, соответствующие коэффициентам поглощения и (остальные условные обозначения см. табл. 1).

При решении задач снижения виброактивности систему уравнений (6) удобно линеаризовать в окрестности текущего значения фазового угла Пои атом предварительно находят решение дифференциальных уравнений в квазинормальных координатах

(функции см. табл. 1), после чего определяют обобщенные координаты, входящие в выражения динамических ошибок,

Для всех рассмотренных моделей дополнительная нагрузка, связанная с динамическими ошибками, равна где — инерционный коэффициент (масса, момент инерции); — соответствующая динамическая ошибка функции ускорений.

Оценочные зависимости для определения динамических ошибок. В формировании динамических ошибок моделей постоянными параметрами (модели I, II, табл. 1) наиболее существенное значение обычно принадлежит разрывам непрерывности функций и их производных, Так, например, если для модели I

в момент времени какая-либо из этих функций терпит разрыв, то при этом возбуждаются затухающие свободные колебания с начальной амплитудой называемой скачком,

где Здесь — скачкообразные изменения соответствующих функций в момент времени - частное решение.

Рис. 2. Коэффициент накопления возмущений

Рис. 3. Зависимость

Ниже для модели I приведены оценочные зависимости, определяющие динамические ошибки в режиме установившегося движения механизма:

Здесь частное решение при принято, что одному периоду установившегося движения соответствует участов, внутри которых функции и их производные не имеют разрывов непрерывности. Коэффициент, учитывающий накопление возмущений от скачков предыдущих циклов,

где — логарифмический декремент.

Зависимость приведена на рис, 2, На рисунке нанесены огибающие и , причем

Точка касания кривых и соответствует целому числу а точка касания и — случаю, когда является нечетным числом,

При частное решение

В табл. 2 для ряда типовых случаев приведены частное решение и функции, с помощью которых определяют скачки на границах участка Если возмущение может быть представлено в виде суммы приведенных в таблице эталонных функций, то частное решение и скачкообразные изменения на границах интервала в соответствии в принципом суперпозиции определяются как сумма соответствующих табличных значений.

Пример. Пусть в модели I (см. табл. 1) логарифмический декремент Программное движение массы описывается функцией положения (рис. 3):

причем

Требуется произвести эценку динамических ошибок и вызванной дополнительной динамической нагрузки.

Каждый цнкл делится на два участка: в пределах которых функция и ее производные не имеют разрывов нёпрерывнрсти. Согласно второго участка

Найдем коэффициента и функции, входящие в эти зависимости.

1. Определение Предварительно находят собственную частоту Поскольку целое число, согласно

2. Определение частных решений Предварительно находят функцию (см. табл. I, модель I). В нашем случае при При этом

Здесь

3. Определение скачков В нашем случае согласно

4. Определение коэффициента Для максимальных значений окрестности имеем Принимая во внимание, что получаем Этот результат в 2,76 раза превосходит заданное максимальное ускорение в программном движении, равное Пщахва Максимальная дополнительная динамическая нагрузка, вызванная колебательным процессом,

Медленное изменение параметров, при котором приращение переменных коэффициентов дифференциальных уравнений за период мало по сравнению с их средним значением на этом периоде, характерно для многих механизмов, отображаемых моделями типа II, IV—VII (см. табл. 1), Для моделей III—VI ниже приведены оценочные формулы, определяющие функции

(см. скан)

(см. скан)

где

[ - см. пояснения к (9)].

При определении коэффициента накопления возмущений следует пользоваться (10) и (Ппри параметре найденном исходя из усредненного за цикл значения равного

При

При этом обычно [функцию см. табл. 1].

Общие вопросы, связанные с построением приближенных решений системы неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и их обоснование см. т. 1 справочника, а также [54, 93, 111, 138, 139].