6. СИНТЕЗ СИСТЕМ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ ПО ЗАДАННОМУ СПЕКТРУ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Методы реализации импеданса и подвижности. Линейную механическую систему с сосредоточенными параметрами можно характеризовать реактивными функциями входного (главного) механического импеданса и обратной импедансу входной (главной) механической подвижности (см. т. 5, гл. 2).

При силовом возбуждении системы без трения входной импеданс

При кинематическом возбуждении

резонансные частоты; — антирезонансные частоты; масштабный коэффициент с размерностью массы; с — масштабный коэффициент с размерностью жесткости.

Резонансные и антирезонансные частоты могут быть как полюсами, так и нулями функций и обратных функций На комплексной плоскости все полюса и нули расположены на оси и чередуются между собой, причем антирезонансные частоты всегда заключены между резонансными частотами.

Имеются два способа получения минимальных по числу элементов механических схем, реализующих цепь, удовлетворяющую заданным частотам резонансов и антирезонансов.

Первый способ заключается в разложении импеданса на простые дроби:

Коэффициенты в числителях дробей определяются как вычеты функций;

В разложении импеданса коэффициент

Дроби под знаком суммы представляют собой импедансы последовательно соединенных пружины и массы; — жесткость пружин; в случае (109) масса

а в случае (111)

Реализация импеданса в виде механической цепи показана на рис. 11, для импеданса

Второй способ заключается в последовательном выделении масс и пружин с помощью разложения импеданса и подвижности в цепную дробь.

Разтожение импеданса происходит по схеме

Разложение подвижности по схеме

Выражения для цепных дробей получаются в рассматриваемых случаях следующим образом. Числитель делится на знаменатель, начиная с высших степеней. После получения первого слагаемого степень числителя станет на два ниже, чем была, и на единицу меньше, чем у знаменателя.

Рис. 11. Механическая система, полученная разложением функции импеданса на простые дроби

Рис. 12. Двухкаскадная система виброизоляции:

Та же операция совершается над дробью, обратной остатку, и продолжается до тех пор, пока деление не закончится. Механическая цепь, показанная на рис. 12, может рассматриваться как реализация импеданса при движении сверху—вниз и подвижности при движении снизу—вверх. Возможность варьирования обеспечивает сочетание обоих способов при выделении пружин и масс, а также неполное выделение полюсов в нуле и бесконечности, т. е. реализацию только части возможной массы, жесткости или податливости. Вследствие этого одному импедансу соответствует бесчисленное множество возможных реализаций, однако число реализаций с минимальным числом элементов ограничено.

Методы реализации передаточных функций систем виброизоляции. Рассмотрим линейную пассивную систему виброизоляции без трения, составленную из сосредоточенных масс и пружин. Если обозначить 1 — точку приложения внешней силы Для силовой виброизоляции, равно как и точку контроля кинематических характеристик движения виброизолируемого объекта для кинематической виброизоляции, жесткое основание, то имеем следующие соотношения для передаточных функций

где главный импеданс со стороны точки 1 при неподвижном основании передаточный импеданс от точки 2 к точке 1 при неподвижной точке 1.

Импедансные характеристики обладают следующими свойствами:

— для пассивных механических систем с сосредоточенными параметрами числители этих функций неотрицательные, причем коэффициенты не превышают соответствующих коэффициентов в

— нули импеданса совпадают с полюсами импедансов (или нулями подвижностей) параллельных ветвей и нулями импедансов (полюсами подвижностей) последовательных ветвей.

На основе этих свойств передаточную функцию и функции можно образовать как отношения полиномов:

где полином, корни которого являются нулями передаточной функции, полином может быть как четным, так и нечетным; полином, корнями которого являются резонансные частоты системы; полином, корни которого являются антирезонансными частотами; в силу того, что системы виброизоляции являются фильтрами низких частот, при это учитывается выбором множителя полинома

Рассмотрим примеры синтеза систем виброизоляции. Предварительно укажем способ нормализации, удобный для использования в расчетах безразмерных величин. Введем следующие нормированные значения исходя из выражения импеданса в форме (107):

где постоянная круговая частота. Переход от получаемых в процессе реализации нормированных значений масс и жесткостей осуществляется по следующим формулам:

В примерах использованы нормированные величины, но индекс и опущен.

Пример 1. Реализовать двухкаскрдную систему виброизоляции с передаточной функцией

Выбираем частоту антнрезоианса Согласно (115) и (116)

Реализуем механическую цепь вторым способом разложения в цепную дробь;

Схема реализации приведена на рис. 12. Пример выполнен для системы виброизоляции лебедки пассажирского лифта; (таким образом подобраны

собственные частоты 5; 27,5 и 28 Гц) Определим размерные значения масс и жесткостей. .

Определим точку минимума кривой передаточной функции вида

в диапазоне

Для рассматриваемого примера

Значение коэффициента передачи в точке

Значения коэффициента передачи на двух кратных частотах гармонического возбуждения

Пример 2. Система виброизоляции с двумя нулями виброизоляции в зарезоиансной области.

Реализовать систему виброизоляции с передаточной функцией

На основании (115) и (116) задаемся и образуем функцию

Начнем реализовывать импеданс (117), реализуя полюс в бесконечности, что соответствует массе объекта Импеданс остатка

Для реализации функции виброизоляции в отличие от первого примера необходимо неполное выделение полюса в бесконечности подвижности а именно

В дальнейшем в зависимости от последовательности выделения нулей возможны два варианта реализации Положив в в первом варианте реализуем сначала иуль

при Подставив это значение в (118), получим Определим подвижность нереализованной части и выделим из импеданса полюс при

Реализованная при этом масса и жесткость равны в соответствии и Образуем подвижность неполностью выделяя полюс в бесконечности у подвижности

Из условия при определим

Рис. 13. Пример реализации системы виброизоляции с двумя нулями передаточной функции. Первый вариант: Второй вариант:

Рис. 14. Реализация передаточной функции системы виброизоляции с нулем. Первый вариант: Второй вариант

Подвижность

Разложим импеданс на простые дроби, откуда окончательно получим

Во втором варианте применяется последовательность выделения нулей Из условия при определяем жесткость ; выделяя полюса из импеданса при найдем Из условия при получим Разлагая импеданс на проотше дроби, определим

Пример 3. Система виброизоляции одним нулем виброизоляции в зарезонансной области

Выбираем

Образуем функцию

Реализацию нуля в отличие от примера 2 проведем, используя инерционные элементы устройствами преобразования движения (см. рис. 8) Для этого выделяют нули импедансов последовательных ветвей.

Параллельные ветви цепи используют для частичного выделения полюса, а последовательные — для полного выделений полюса. В первом варианте реализуем систему разложением на цепную дробь, полностью выделяя полюса в бесконечности;

Подвижность остатка

Выделим из импеданса остатка часть полюса в бесконечнооти и положим при

где

Проотая дробь

реализует параллельное соединение инерционного элемента с механизмом преобразования движения, приведенная масса которого и пружину жесткостью Откуда приведенная масса инерционного элемента, жесткость пружины Реализованная механическая схема представлена на рис. 14, а

Во втором варианте реализации начинаем с неполного выделения полюса на начальном шаге.

Приравняем нулю при

где

Простая дробь

реализует параллельное соединение инерционного элемента с механизмом преобразования движения, приведенная масса которого а жесткость пружины

Подвижность остатка

Импеданс

разложим в цепную дробь, выделяя массу и пружину жесткостью Схема реализации показана на рис. 14, б.