4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ВНУТРЕННИМ ТРЕНИЕМ

При одкочастотных колебаниях по 1-й форме из (52) имеем

тогда коэффициент

где универсальная функция

Применим полученные общие формулы для теоретического анализа некоторых частных случаев, встретившихся в экспериментах.

Результаты исследования консольного длинного тонкостенного трубчатого образца с насаженным на конце массивным диском приведены в [160]. Масса диска значительно превосходит массу образца, так что при колебаниях по первым формам ильных и продольных колебаний в образце реализовалось практически однородное напряженное состояние.

При колебаниях по форме крутильных колебаний а тонкостенном образце наблюдается состояние чистого сдвига с амплитудой касательного напряжения

Подставляя эти значения в (50), (53), (56) и (57), получим следующее выражение декремента крутильных колебаний:

Здесь и ниже принимается, что упругие характеристики постоянны по образцу, тогда как пластические свойства, определяемые функциями и переменны.

При колебаниях по первой форме продольных колебаний в образце реализуется одноосное напряженное состояние с амплитудой нормального напряжения а, так что

По (50), (53), (56) и (57) находим декремент продольных колебаний

Сопоставление выражений (58) и (59) показывает, что при одном и том же значении интенсивности касательных напряжений и декремент продольных колебании составляет 0,87 декремента крутильных, т. е. примерно равенему. Следовательно, приблизительно одно и то же значение декремента может быть при отношении амплитуд касательных и нормальных иапряжеиий равном

Рис. 3. Поперечное сечение призматического образца, подвергаемого изгнбным колебаниям [229]

Эта закономерность более или менее устойчиво подтверждается экспериментами [160]. Сравнение демпфирующей способности материала при чистом сдпше и одноосном напряженном состоянии проведено в [229]. Сопоставлялось затухание крутильных колебаний сплошного круглого образца и изгибных колебаний призматического образца с сечением, показанным на рис. 3 (плоскость изгиба вертикальна). Условия эксперимента были такими, что в обоих случаях напряжения не изменялись по длине образца.

При крутильных колебаниях круглого образца напряжения

причем безразмерный радиус, изменяющийся в интервале [0, 1]; максимальная в пределах образца амплитуда касательного напряжения.

Полагая, что пластические свойства материала образца переменны, но зависят только от радиальной координаты, по (50) получим следующий декремент крутильных колебаний:

При изгибных колебаниях образца с сечением, показанным на рис. 3, напряжения

Здесь — максимальная амплитуда изгибного напряжения; относительная координата, отсчитываемая в вертикальном направлении и изменяющаяся в интервале [-1, 1].

Полагая, что пластические свойства материала зависят только от вертикальной координаты, по (50) получим логарифмический декремент колебаний

В эксперименте [229] обнаружены близкие значения декрементов при выполнении условия (60). Сравнение выражений (60) и (62) показывает, что это возможно, если зависимости вида функции от переменной в первом случае и от во втором одинаковы.

В работе [233] экспериментально сравнивались арифмическии декремент полярно-симметричных колебаний тонкостенной сферической оболочки и декремент колебаний изготовленного из оболочки плоского образца, находящегося в условиях чистого изгиба. При колебаниях в оболочке реализуется двуосное изотропное напряженное состояние. Следовательно,

где — амплитуда нормального напряжения.

Полагая, что пластические свойства материала оболочки переменны по толщине, по (50) получим декремент колебаний

При колебаниях плоского образца в условиях чистого изгиба единственное действующее нормальное напряжение линейно изменяется по толщине, так что

Здесь максимальная по образцу амплитуда нормального напряжения.

Есть все основания полагать, что пластические свойства материала здесь так же изменяются по толщине, как и в оболочке, и тогда по (50) получим логарифмический декремент колебаний

Сравнить значения (63) и (64) в общем случае не представляется возможным. Поэтому рассмотрим крайние случаи. Если пластические свойства материала однородны по толщине и функция линейна, находим

При равных амплитудах напряжения и эти величины приблизительно равны. В другом крайнем случае, когда значения функции отличны от нуля только в тонких слоях толщиной около поверхности, получим

При равных амплитудах напряжений и декремент изгибных колебании полоски примерно в 4,2 раза больше декремента колебаний оболочки. При эксперименте обнаружено различие декрементов примерно в 2 раза. Приведенное сравнение подтверждает общий вывод работы [129] о существенном влиянии поверхностных слоев образца на суммарные потери.

В работе [163] экспериментально исследовались одночастотные изгибно-крутильные колебания в системе, состоящей из консольного круглого стержня с эксцентрично насаженным массивным диском. Построим теорию этого эксперимента. Массой образца пренебрегаем ввиду ее малости по сравнению с массой диска. Тогда в полярной системе координат с осью направленной по оси стержня, распределение экстремальных напряжений следующее

причем амплитуда касательного напряжения на поверхности образца; — максимальная амплитуда нормального напряжения в заделке при изгибе; безразмерный радиус, изменяющийся в промежутке [0, 1]; полярный угол; безразмерная осевая координата с промежутком изменения [0, 1]; остальные напряжения пренебрежимо малы.

Среднеквадратическая интенсивность касательных напряжений и среднее нормальное напряжение соответственно равны:

где отношение

Подставляя (65) в (50), получим логарифмический декремент колебаний

При отсюда находим декремент крутильных колебаний значение которого определяется (61), а при декремент изгибных колебаний

Значения указанных декрементов колебаний могут быть вычислены, если известна зависимость для материала. Часто полагают, что она имеет степенной вид

Часть интегралов в (66) может быть вычислена, и тогда

причем

функция Лежандра первого рода; декремент крутильных колебаний

При получении этих формул было принято, что пластические свойства материала зависят от радиуса, причем так, что

По (67) и (68) при были выполнены вычисления. Их результаты представлены на рис. 4. Увеличение любого из напряжений — нормального или касательного — приводит к росту декремента колебаний. Этот эффект наблюдался экспериментально [163]. На рис. 4, а и б кружками показаны результаты этих экспериментов.

Рис. 4. Зависимость декремента колебаний от нормальных (а) и касательных (б) напряжений при сложном напряженном состоянии

Проанализируем еще одну серию экспериментов по сложным колебаниям. Рассмотрим изгибные и крутильные колебания защемленного по концам сплошного круглого стержня с массивным диском посередине. В первой группе экспериментов диск был насажен на стержень эксцентрично и при колебаниях возбуждалась форма изгнбно-крутильных колебаний [230]. Дадим теоретический анализ этого эксперимента. Экстремальные напряжения распределены следующим образом

Обозначения здесь те же, что и выше, с тем лишь отличием, что теперь безразмерная осевая координата должна изменяться в интервале ; сечение совпадает с плоскостью диска. В этом случае

Подставляя эти выражения в (50) и упрощая результат, придем к выражению декремента колебаний (66). Следовательно, и в этом случае можно использовать рис. 4, а и б.

В экспериментах работы [230] реализовался случай, когда Результаты экспериментов для тех материалов, у которых а да 1, показаны крестиками на рис. 4, а.

В заключение проведем общее исследование декремента одночастотных колебаний. Его явное выражение легко получить подстановкой представлений (53), (56) в (50) и умножением числителя и знаменателя на В результате

где

— среднеквадратическое среднее нормальное напряжение.

Чрезвычайно простая формула для декремента колебаний получается в случае однородного деформирующегося объема и однородного напряженного состояния в нем. После вычисления объемных интегралов получаем

Из (72) следует, что при одном и том же значении максимум декремента колебаний имеет место при в условиях чистого сдвига, причем

Пусть монотонная возрастающая функция; материал однороден, Тшда из (70) легко получить неравенство

где максимальное в пределах тела значение

Оказалось, что декремент колебаний по любой форме не может быть больше декремента чисто сдвиговых колебаний при максимальном для тела значении

Обратимся к экспериментам, описанным в работах [39, 92, 230, 231], где изучались одночастотные колебания диска, концентрично насаженного на защемленный по концам круглый стержень.

Колебания возбуждались по двум формам — первой форме крутильных и пер вой форме изгибных; и в этом случае имеем распределение напряжений (69), но теперь

и

Декременты колебаний по каждой из форм должны находиться по (50) с учетом выражений (75) и (76). Результат таков

Здесь частоты свободных крутильных и нзгнбных колебаний соответственно, а функция определяется уравнением

которое легко сводится к биквадратному.

Вычисления по (77) и (78) могут быть выполнены только с использованием численного интегрирования. При вычислениях принималось, что В этом случае при одночастотных колебаниях получается линейная зависимость декремента колебаний от интенсивности напряжений, часто встречающаяся на практике. При вычислениях принималось, что пластические свойства материала образца изменяются только в функции радиуса, причем по произвольному закону. Результаты вычислений представлены на рис. 5, На рисунке декремент крутильных колебаний при отсутствии изгибных; декремент изгибных при отсутствии крутильных. Числа около кривых дают отношение

В экспериментах [92, 229, 231] реализовался случай, когда отношение частот для всех обследованных материалов было близко к значению 0,5. Результаты экспериментов представ лены на рис. 5, а и б точками [229], крестиками [92], кружочками [231]. Следует констатировать хорошее качественное согласие расчетов и экспериментов.

Рис. 5. Декремент колебании при изгибно-крутильных колебаниях: а — крутильных колебаний, изгибных колебании