Глава VII. УПРУГИЙ ПОДВЕС ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. СХЕМЫ УПРУГИХ ПОДВЕСОВ И ИХ РАСЧЕТ

Общие положения. Внброизоляцию как принцип защиты оборудования, чувствительного к динамическим нагрузкам, широко применяют в различных областях техники. При этом в одних случаях системы виброизоляции можно конструировать в комплексе с защищаемым объектом в качестве его неотъемлемой части (например, подвески железнодорожных вагонов и автомобилей, корабельных дизельных установок и т. п.); в других случаях, например при защите от вибрации радиоэлектронной аппаратуры, где одни и те же приборы и оборудование в зависимости от мест установки подвергаются совершенно различным по форме или интенсивности возбуждениям, проектирование виброзащитных систем носит индивидуальный характер и выполняют его по результатам статического и динамического расчетов.

6. К расчету эффективности инерционных виброизолирующих систем

(см. скан)

В простейшей модели виброзащитной системы, позволяющей изучить пространственное движение источника и объекта, оба эти тела считаются абсолютно твердыми. Совокупность соединяющих их вибронзоляторов образует упругий подвес несомого тела. Подвесы различаются схемами, т. е. числом виброизоляторов, ориентировкой их осей, расположением точек крепления к источнику и объекту. В зависимости от расположения осей вибронзоляторов, воспринимающих статическую нагрузку, подвесы делят на однонаправленные, в которых оси виброизоляторов параллельныстатической нагрузке (схемы а-д, табл. 1), и пространственные (схемы е-з).

Расчет подвеса обычно состоит из двух частей: статического, который заключается в вычислении статических реакций и статических деформаций виброизоляторов, и динамического, заключающегося в определении собственных частот упруго-подвешенного несомого тела и вычислении характерных параметров его движения.

Статические и динамические реакции виброизоляторов. Характеристикой виброизолятора называется зависимость его реакции от деформации упругого элемента. Если деформация обусловлена действием статических сил, то соответствующая характеристика будет статической. В случае динамических нагрузок различают динамические и ударные характеристики.

Рис. 1. Схема крепления виброизолятора: 1 - объект; 2 — виброизолятор; 3 — источник

Рис. 2. Расчетная схема подвеса

Всякий виброизолятор обладает тремя взаимно ортогональными главными осями жесткости и, причем ось проходит через точки крепления виброизолятора к источнику и объекту и обычно совпадает с линией действия статической нагрузки (рис. 1). Свойство главных осей состоит в том, что сила, направленная по одной из них, вызывает деформацию только по той же оси. В соответствии с этим подвес из виброизоляторов можно считать эквивалентным подвесу из упругих элементов каждый из которых реагирует лишь на сжатие-растяжение. Нумерацию этих элементов удобно вводить следующим образом: номерами от I до обозначать элементы, описывающие упругие свойства виброизоляторов в осевых направлениях а номера от до присвоить элементам, характеризующим работу виброизоляторов в поперечных направлениях

Динамическая реакция упругого элемента зависит от его деформации и скорости деформации таким образом, уравнение динамической характеристики имеет вид [105]

Для металлических (пружинных) и резииометаллических виброизоляторов статические характеристики могут быть получены из (1) при

В частном случае линейных характеристик имеют место соотношения

где коэффициенты жесткости и демпфирования упругого элемента; его статическая жесткость, которую в отмеченных выше случаях допустимо отождествлять с динамической жесткостью

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Уравнения статики виброзащитных систем. Выберем неподвижную систему координат совпадающую с главными центральными осями инерции тела при равновесии последнего. Тогда уравнения статики пространственного подвеса (рис. 2) примут вид

Здесь — статическая реакция упругого элемента; направляющие косинусы его оси; координаты точки крепления виброизолятора к несомому телу; проекции на оси главного вектора и главного момента сил, образующих статическую нагрузку.

Уравнения статики однонаправленного подвеса в случае, когда статической нагрузкой является сила тяжести тела, а плоскость расположена горизонтально, получаются из (3) при и имеют вид

Статический расчет подвеса. Определение расчетных статических реакций. При фиксированных точках крепления виброизоляторов к телу неизвестными в уравнениях статики будут статические реакции число которых обычно превышает число уравнений (3) или (4). Соответствующие подвесы называются статически неопределимыми. Статическая определимость подвеса имеет место лишь в случае (пространственная схема), (плоская однонаправленная схема) и (пространственная однонаправленная схема).

Реакции статически определимого подвеса вычисляют непосредственно из уравнений статики. Если подвес статически неопределим, к уравнениям статики добавляют не противоречащие им условия распределения статической нагрузки в числе, необходимом для однозначного определения всех Как правило, дополнительные условия имеют вид линейных уравнений относительно Реакции подвеса, удовлетворяющие уравнениям статики и дополнительным условиям распределения статической нагрузки, называются расчетными статическими реакциями,

Пример 1. В уравнения статики подвеса, соответствующего схеме табл 1,

входят четыре неизвестные реакции Подвес статически неопределим В качестве дополнительного условия примем равенство

не противоречащее (5) В результате получим следующие значения расчетных статических Реакций

Выдерживание расчетных статических нагрузок. Выравнивание виброизоляторов монтаже. Определение расчетных статических реакций является лишь первым

этапом проектирования подвеса. Поскольку на практике виброизоляторы подби рают по величине приходящейся на каждый из них статической нагрузки, результатом выполнения первого этапа расчета подвеса будет определение статических характеристик всех виброизоляторов. Однако при реальном подвешивании несомого тела фактические значения статических реакций не будут совпадать с расчетными (если только подвес не является статически определимым); кроме того, независимо от статической определимости подвеса от расчетного будет отличаться и фактическое равновесное положение несомого тела на несущем. В связи с этим возникает задача выдерживания расчетных нагрузок статически неопределимого подвеса и устранение перекосов несомого тела относительно несущего. Обе эти задачи решаются путем выравнивания виброизоляторов с помощью ком пенсирующих прокладок.

Рис. 3. Схема выравнивания упругого элемента

Выравнивание виброизоляторов заключается в определении толщин компенсирующих про кладок из условий (рис. 3)

где расстояние между точками крепления упругого элемента к несущему и несомому телам в расчетном равновесном положении; — осевой размер недеформированного упругого мента; деформация упругого тела под нагрузкой Для простых элементов, описы вающих упругие свойства виброизоляторов в осевом направлении, т. е. для величины определяют как расстояния между точками крепления недеформированных виброизоляторов к несущему и несомому телам; для величины I, можно считать равными нулю. Деформации считаются положительными, если соответствующие упругие элементы сжаты. Если для некоторого окажется то необходимо увеличить соответствующую величину настолько, чтобы получить

Выполнение условий (7) автоматически исключает перекос и смещение несомого тела относительно несущего (по отношению к их расчетному или установочному положению), а для статически неопределимых подвесов обеспечивает, кроме того, совпадение фактических нагрузок на виброизоляторы с их расчетными значениями.

Пример 2. Для подвеса со схемой табл. I, где опорные плоскости несомого и несу щего тел в установочном положении считаются горизонтальными статические реакции удовлетворяют двум уравнениям статики:

Принимая дополнительное условие распределения втагической нагрузки в виде получим следующие значения расчетных статических реакций:

По найденным значениям подберем виброизоляторы, определив таким образом осевые жесткости осевые размеры статические деформации разности ) Последние могут оказаться неодинаковыми, так что потребуется выравнивание виброизоляторов о помощью прокладок, толщины которых определим из условия

Пусть Тогда, полагая найдем

Использование компенсирующих прокладок эквивалентно изменению координат точек крепления виброизоляторов к телу.

Основные требования к динамическим свойствам подвеса. Рационально спроектированный подвес должен прежде всего исключать возможность возникновения резонансных колебаний системы. По аналогии с выводами, полученными для виброзашитных систем с простейшей расчетной моделью (см. гл. VI), необходимо, чтобы при относительно низком уровне демпфирования частоты доминирующих гармоник внешнего возмущения превышали наибольшую из собственных частот системы. Подвесы, реализующие эти условия, называют мягкими. Мягкие подвесы обеспечивают эффективную защиту не только от установившихся, но и от некоторых нестационарных воздействий, в том числе от интенсивных ударов, не относящихся к типу ско постных (см. гл. XII).

Качество виброзащиты в значительной степени зависит также от взаимной близости собственных частот системы. Проектируя подвесы на основе принципа «сближения) собственных частот (в идеале — до их полного совпадения), можно не только повысить степень отстройки от резонансов, но и сделать несомое тело менее чувствительным (по перемещению) к изменению направления статической нагрузки.

Существенной характеристикой подвеса является степень связанности собственных колебаний системы. При прочих равных условиях более предпочтительны подвесы с полной развязкой частот, когда возмущение по любой из обобщенных координат вызывает колебания лишь по этой обобщенной координате; при невозможности полной развязки следует стремиться к развязке частичной.

Собственные частоты виброзащитной системы. Собственные частоты несомого тела на пространственном подвесе с линейными характеристиками виброизоляторов определяются как кории частотного уравнения, записанного в виде определителя шестого порядка,

Выражения для коэффициентов жесткости имеют вид

В формулах (10) суммирование проводится по всем значениям индекса от

Если оси простых элементов в равновесном положении системы параллельны осям выражения коэффициентов примут вид

Здесь главные жесткости виброизолятора в направлении осей и соответственно.

Суммирование в (11) осуществляется по индексу от до

Соотношения (9) — (11) отвечают выбору в качестве обобщенных координат системы малых смещений центра масс С несомого тела относительно осей и его малых поворотов относительно осей и соответственно.

Для рассматриваемой расчетной модели частотное уравнение (9) представляет алгебраическое уравнение шестого порядка относительно корни этого уравнения, т. е. квадраты собственных частот, оказываются положительными и разыскиваются любым из известных методов, изложенных, например, в [12].

Условия разделения собственных колебаний несомого тела. В частных случаях частотный определитель (9) может распадаться на произведение нескольких определителей более низкого порядка, что отвечает разделению собственных колебаний на группы независимых колебаний по соответствующим координатам. Условием такого разделения является обращение в ноль тех или иных недиагональных элементов частотного определителя. Необходимые условия выделения одно-, двух- и трехсвязных колебаний несомого тела приведены в табл, 2. Условия обращения в ноль соответствующих элементов с определителя (9) в отдельных случаях могут совпадать с уравнениями статики или иметь вид дополнительных условий распределения статической нагрузки: в других случаях развязка колебаний может быть следствием симметрии подвеса. Условия полного или частичного разделения колебаний тела на подвесе с осями виброизоляторов, ориентированных параллельно осям приведены в табл. 3.

2. Условия выделения одно-, двух- и трехсвязных колебаний

(см. скан)

3. Условия разделения колебаний тела на однонаправленном подвесе

(см. скан)

Вынужденные колебания при гармоническом возбуждении. Дифференциальные уравнения малых колебаний несомого тела при гармоническом возбуждении имеют вид

Здесь С — матрица коэффициентов жесткости подвеса ; А — диагональная матрица инерции несомого тела где В — матрица коэффициентов демпфирования вектор комплексных амплитуд обобщенных возмущающих сил; — частота возбуждения.

В случае силового возбуждения обобщенные координаты представляют абсолютные координаты несомого тела, а обобщенные силы соответствуют приложенным к телу активным возмущающим силам. При кинематическом возбуждении удобно рассматривать как относительные координаты несомого тела, определяющие его текущее положение относительно движущегося основания; обобщенные силы соответствуют силам инерции несомого тела.

Обозначим через вектор-столбец обобщенных координат основания где координаты полюса О, совпадающего с О в равновесном положении системы, углы поворота вокруг осей и Пусть вектор комплексных амплитуд колебаний основания по координатам Тогда

Цель расчета вынужденных колебаний виброзащитной системы при гармоническом возбуждении состоит в вычислении комплексных амплитуд проекций относительных перемещений и абсолютных ускорений фиксированных точек весомого тела на заданные направления, определяемые направляющими косинусами

Формулы для имеют вид

где координаты точки комплексные амплитуды колебаний несомого тела по координатам Величины предполагаются заданными, причем обычно полагаются равными нулю. Для подвеса с осями виброизоляторов, параллельными осям амплитуды удовлетворяют системе уравнений

Решение системы (15) можно записать помощью формул Крамера

где определитель системы (15); определитель, полученный из заменой 6-го столбца столбцом свободных членов.

В случае зарезонансных колебаний (частота вынуждающих сил по крайней мере в раз превышает наибольшую из собственных частот системы) демпфирование слабо влияет на амплитуды которые в этом случае можно вычислять по (16) при Наоборот, амплитуды резонансных колебаний существенным образом зависят от демпфирования.

Демпфирование является причиной связности вынужденных колебаний даже тогда, когда соответствующие собственные колебания разделены. Исключение составляет частный случай пропорциональности коэффициентов демпфирования коэффициентам жесткости для каждого из упругих элементов подвеса

Соотношения (17) могут выполняться для виброизоляторов, демпфирующие силы которых возникают вследствие внутреннего трения в материале упругого элемента, описываемого гипотезой Е. С. Сорокина [151, 207].

Пример 3. Вычислим комплексные амплитуды при двухсвязных колебаниях по координатам

Вынужденные колебания несомого тела по координатам будут независимыми от колебаний остальным координатам, если независимы соответствующие собственные колебания (см табл. 2) и если, кроме того, выполняются условия

Выражения для комплексных амплитуд имеют вид

В режиме зарезонансиых колебаний модули комплексных амплитуд могут быть вычислены по приближенным формулам

В резонансном режиме частота возмущения а близка к одной из собственных частот

При имеем