Глава XII. ЗАЩИТА ОТ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

1. УДАР В ВИБРОЗАЩИТНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Постановка задачи о защите от ударных воздействий. В механике силовым (или жестким) ударом называют результат воздействия на тело сил бесконечно малой продолжительности, вызывающих мгновенное изменение его скорости на конечную величину. В технике и, в частности, в теории виброзащитных систем понятие удара трактуется более широко. Ударом или ударным воздействием называют силовое или кинематическое возмущение относительно малой продолжительности и относительно большой интенсивности. В качестве эталона интенсивности при этом выбирают нормативную величину, снижение или увеличение которой составляет цель защиты; в качестве эталона длительности принимают период собственных колебаний виброизолируемого объекта. Таким образом, одно и то же воздействие в зависимости от конкретных условий может считаться и ударным, и неударным.

Анализ поведения виброзащитной системы при ударе показывает, что имеется ряд параметров ударного воздействия, в наибольшей степени влияющих на движение виброизолированного объекта. К их числу относятся пиковое значение длительность х и полный импульс ударного воздействия представляющего при кинематическом возмущении закон изменения ускорения основания (рис, 1), Эти величины связаны соотношением х

Рис. 1. Ударный импульс и его параметры

На рис. 2 приведены ударные воздействия, используемые при расчетах.

В реальных условиях длительность всякого удара ограничена; поэтому Считают при Вместе с тем для удобства аналитического описания формы импульса часто используют аппроксимирующие функции, не обращающиеся тождественно в нуль ни при каком конечном При этом иногда вводят понятие о длительности на уровне а, считая этой длительностью промежуток времени где удовлетворяет условию (см. рис. 1).

Если ударное воздействие имеет несколько кратковременных выбросов за уровень целесообразно рассматривать его в виде последовательности нескольких однонаправленных ударов.

По величине полного импульса ударные воздействия подразделяют на удары с приращением (см. рис. 2, а-е) и без приращения скорости.

Импульсы ударов с приращением скорости называют односторонними, если за время удара сохраняет знак. В описании односторонних импульсов различают фронт нарастания и фронт спада (или срез) импульса с длительностями соответственно Так, импульсы, приведенные на рис. 2, а, б, д, имеют вертикальный фронт нарастания для импульса по рис. длительность равна

Уравнение движения виброизолированной системы при ударе. Расчетная модель пассивной виброзащитнон системы с одной степенью свободы состоит из несомого твердого тела, движущегося поступательно в направлении оси X (рис. 3), безынерционного виброизолирующего устройства (виброизолятора), условно изображенного в виде параллельно соединенных пружины и демпфера, и несущего тела или основания. При силовом возмущении, когда несомое тело является источником, к нему приложена внешняя сила направленная по оси X; основание при этом считается неподвижным и является объектом защиты. При кинематическом возмущении основание движется по закону и несомое тело, будучи объектом, подвергается силовому воздействию со стороны виброизолятора, создающего силу

где относительная координата объекта. Таким образом, дифферен циальное уравнение движения несомого тела при силовом возмущении имеет вид

где

В случае кинематического возмущения уравнение движения виброизолированного объекта имеет вид

где что с точностью до обозначений совпадает с (1). Таким образом, результаты исследования (1) могут быть легко интерпретированы в терминах (2), и наоборот.

Рис. 2. Виды ударных импульсов: а — мгновенный, б - прямоугольный; в — треугольный; г - полусинусоидальный; д - экспоненциальный; е - затухающий знакопеременный

Рис. 3. Расчетная схема виброзащитной системы с одной степенью свободы при ударе: а — силовое ударное воздействие; б - кинематическое ударное воздействие

Об ударных характеристиках виброизоляторов. При ударе материал упругого элемента виброизолятора работает в условиях, существенно отличающихся от режима статического нагружения или колебаний, вызванных нагрузкой гармонического типа. Поэтому ударная силовая характеристика виброизолятора, представляющая зависимость его ударной реакции от деформации, отсчитываемой от равновесного положения под статической нагрузкой, может в значительной степени отличаться от соответствующих статической или динамической характеристик. Ударные характеристики, определяемые, как правило, на ударных стендах, приводятся в соответствующей технической документации. Силовые ударные характеристики некоторых серийно выпускаемых виброизоляторов приведены в гл, VII,

Из-за наличия упоров силовые ударные характеристики являются нелинейными функциями деформации упругого элемента; однако при относительно небольших (по сравнению с величиной рабочего хода) деформациях допустима их линейная апроксимация:

где коэффициент с, называемый ударной жесткостью виброизолятора, в неявной форме содержит информацию о параметрах удара, статической нагрузке, внутреннем трении в материале упругого элемента и других параметрах, характеризующих условия ударного нагружения. Если удар сопровождается значительной деформацией, необходимо учитывать нелинейность характеристики в особенности при вычислении максимальной перегрузки объекта.

Силовая характеристика демпфированных виброизоляторов может описываться соотношением вида

где слагаемое учитывает демпфирующую составляющую реакции. Например, для виброизоляторов серий АФД, АПН (см. гл. VII) принимают

где величину И силы сухого трения рекомендуется считать равной от величины статической нагрузки.

Поведение линейной недемпфированной системы при ударном воздействии. Дифференциальное уравнение движения внброизолированного объекта при ударе можно записать в виде

где закон изменения ускорения основания; штрих в обозначении относительной координаты для простоты опущен. Обычно предполагают, что ударное возмущение действует на первоначально покоящийся объект, так что интегрирование (4) производят при нулевых начальных условиях; соответствующее частное решение имеет вид [123]

Если ударное воздействие имеет длительность

то решение (5) принимает вид

причем при происходят свободные колебания объекта. Из (4) и (6) вытекает закон изменения абсолютного ускорения объекта, связанного с координатой х соотношением

Поскольку основная цель расчета на удар состоит в вычислении наибольших значений абсолютного ускорения и относительного смещения объекта, соотношения (7) и (8) удобно представить в виде

где

причем для воздействий вида (6) при всех

В соответствии с (9) — (12) процессы можно рассматривать как модулированные по амплитуде колебания частоты причем функции и играют роль огибающих соответствующих процессов. Следовательно, наибольшее отклонение объекта и его наибольшее ускорение не могут превзойти наибольших значений функций и превращающихся при в прямые параллельные оси

Обозначим через момент достижения наибольшего отклонения обткта относительно основания. Удар, для которого момент есть одновременно момент достижения первого максимума называется коротким; в противном случае удар будет длительным. Отклонения объекта при длительном ударе могут иметь несколько максимумов, причем момент может превышать или не превышать Таким образом, при коротком ударе

В случае длительного удара вычислению полезно предпослать исследование функции поскольку

В частности, если что имеет, например, место при монотонном возрастании на отрезке определяются по (13), В противном случае момент принадлежит множеству корней уравнения:

расположенных в интервале вычисляются по (7) и (8) непосредственной подстановкой в них

Наибольшее отклонение объекта для импульсов с вертикальным фронтом совпадает с первым максимумом отклонения; для подобных импульсов момент совпадает с наименьшим положительным корнем уравнения (15).

В табл. 1 приведены формулы, определяющие закон изменения ускорения объекта при ударах с различными формами импульсов. Для импульсов 1—4 с четко выраженной длительностью наряду с формулами для из которых получается значение при длительном ударе, приводятся выражения для опреде ляющие при коротком ударе. Для импульсов 5—6, не имеющих четкого окончания действия, приведены формулы для

(см. скан)

Продолжение табл. 1 (см. скан)

Отметим связь между функцией фигурирующей в (9) — (12), и спектральными характеристиками воздействия

Спектром Фурье функции о (0, в частности удовлетворяющей условию (6), называют комплексную функцию определяемую выражением

Наряду с (16) можно ввести в рассмотрение текущий спектр Фурье для (227]:

Из (16) и (17) следует

Таким образом, зная текущий амплитудный спектр воздействия и собственную частоту виброизолированиого объекта, можно получить оценку сверху для его наибольшего отклонения х и для максимальной перегрузки при длительном ударе, а также точные значения при коротком ударе.

Пример, Вычислим амплитуды послеударных колебаний объекта при ударе с прямоугольной формой импульса (см рис 2, б).

В соответствии с (17) имеем

Внося и учитывая (18), получим

Из (20) следует, что при совпадает с наибольшим отклонением х объекта, при амплитуда послеударных колебаний меньше в частности, при объект движется только во время удара, а после его окончания — покоится.

Ударные спектры простого осциллятора. Ударным спектром колебательной системы называют [158] зависимость пикового значения ее реакции от частоты системы, периода, отношения периода к длительности ударного импульса или какого-нибудь иного подобного параметра.

Рис. 4. Ударные спектры линейной недемпфированной виброзащитной системы с одной степенью свободы для импульсов различной формы: 1 — полусинусоидальный; 2 — экспоненциальный; 3 — треугольный с вертикальным срезом; 4 — синусоидальный; 5 — прямоугольный

Аналитических выражений пиковых значений реакций даже для простейших динамических систем не существует. Поэтому ударные Спектры обычно изображают в виде графиков или задают таблично. На рис, 4 представлены ударные спектры коэффициента динамичности X, где

для системы с расчетной моделью, изображенной на рис. 3 (при и при различных по форме ударных импульсах полусинусоидального табл. 1) — кривая 1, экспоненциального табл. 1, при кривая 2, треугольного с вертикальным срезом табл. 1 при кривая 5, синусоидального табл, 1) — кривая 4 и прямоугольного (см. рис. 2, б) — кривая 5.

Рис. 5. Ударные спектры линейной демпфированной системы с одной степенью свободы при различных уровнях демпфирования — относительный коэффициент демпфирования; критическое значение относительного коэффициента демпфирования); форма импульса — полусинусоида периода

На рис. 5 изображены ударные спектры коэффициента для той же расчетной модели при различных уровнях демпфирования; форма ударного импульса считается полусинусоидальной с амплитудой и длительностью [270].

Обширный материал по расчету пиковых значений реакции недемпфированной динамической системы с одной степенью свободы содержится в [212], где в качестве входных воздействий рассмотрены комбинации из полусинусоидальиых, косинусоидальных, треугольных и трапецеидальных импульсов с наложенными на них синусоидальными колебаниями, а также произведения указанных импульсов на

затухающие экспоненты. Аналогичные результаты, полученные моделированием на АВМ, содержатся в [85].

Оценки пиковых значений реакции линейного осциллятора. Воздействие малой продолжительности. Преобразуем решение (5) уравнения (4) к виду

где представляет квазистатическое решение, соответствующее смещению объекта в момент от статически приложенной нагрузки то

А. Н. Крыловым указана [115] оценка разности для ударных воздействий с односторонним импульсом, имеющим единственный максимум, равный Обозначим максимальное по модулю значение во фронте нарастания импульса и наибольшее возможное приращение ускорения за полупериод колебания Тогда формуле А. Н. Крылова можно придать следующий вид

Следовательно, для наибольшего отклонения х объекта получается оцёнка

Оценку (23), а также вытекающее из (18) соотношение

используют для анализа поведения системы при длительных ударах.

При коротких ударах и оценка (24) переходит в равенство. При этом для импульсов малой продолжительности значение с большой степенью точности, как это следует, например, из (18), равно площади под кривой в интервале

т. е. совпадает с величиной импульса ударного воздействия.

Согласно (18) величина импульса ударного воздействия а соответствует значению спектральной плотности на частоте Таким образом, пиковые значения смещения и ускорения виброизолированного объекта при ударе малой продолжительности не зависят ни от формы, ни от продолжительности ударного импульса и определяются лишь приращением скорости основания, так что

Практически достаточным условием отнесения ударного воздействия к короткому удару можно считать выполнение условия При зависимость и от длительности удара становится более заметной, тогда как зависимость от его формы остается незначительной. Для вычисления можно использовать (20), полагая

т. е. считая заданное воздействие длительности эквивалентным удару с прямоугольной формой импульса той же длительности: амплитудное значение эквивалентного удара равно при этом среднему за время значению

Графические способы определения наибольших смещений. Дельта-метод. Дельта-метод [154] представляет графоаналитический способ интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка вида

Для (4) этот метод заключается в замене фазовой траектории [интегральной кривой, построенной на фазовой плоскости ] непрерывной линией, состоящей из дуг окружностей радиуса с центрами в точках О расположенных на оси рис. 6). Здесь число интервалов, на которое разбивается промежуток 4 времени при ступенчатой аппроксимации импульса

где значение в интервале Абсцисса центра равна дуге соответствует центральный угол в радиан. При фазовой траекторией будет окружность радиуса с центром в начале координат, причем

В случае нелинейного уравнения (25) оно предварительно преобразуется к виду

где некоторая положительная константа.

Роль в (26) играет при этом значение правой части (27), предполагаемое постоянным в каждом из интервалов

Рис. 6. Схема построения участка фазовой траектории дельта-методом

Рис. 7. Фазовая траектория линейной недемпфированной системы с одной степенью свободы при ударе с формой импульса в виде полной волиы «прямоугольного импульса»:

Пример. Определить наибольшее отклонение объекта при ударном воздействии с формой импульса типа полной волны «прямоугольного синуса»:

На рис. 7, изображен начальный участок фазовой траектории (в безразмерных фазовых координатах где соответствующий двум первым максимальным отклонениям При к отклонения причем достигается в режиме свободных колебаний при В случае наибольшие отклонения

достигаются во время действия импульса В обоих случаях наибольшим будет второе максимальное отклонение Таким образом,

В частном случае нелинейной упругой характеристики, когда (27) имеет вид точность построений можно повысить переходом к фазовой плоскости кусочно-постоянного масштаба [154].

Разобьем фазовую плоскость на вертикальные полосы где — абсцисса вершин ломаной с помощью которой производится кусочно-линейная аппроксимация Масштаб оси ординат в полосе примем равным где угловой коэффициент отрезка в рассматриваемой полосе. Построение отрезка фазовой траектории внутри каждой из полос производится так, как это описано выше; на границах полос при фазовые траектории терпят разрывы 1-го рода; ординаты фазовых точек при переходе из полосу изменяются в раз

Рис. 8. Начальный участок фазовой траектории нелинейной системы, построенный на фазовой плоскости кусочно-постоянного масштаба: а — характеристика; построение фазовой траектории

Рис. 9. Общий вид диаграммы (импульс — время)

Пример. Определить наибольшее отклонение объекта, опирающегося на упругий виброизолятор с нелинейной характеристикой (рис. 8, а) при ударе с прямоугольной формой импульса.

При движение объекта происходит в зоне линейности характеристики Если то фазовая точка попадет в зону начальный участок фазовой траектории, соответствующей этому случаю, изображен на рис. 8, б Искомое значение

где .

Определение наибольших смещений при ударе с помощью диаграммы Н-В.Рассмотрим выражение текущего комплексного спектра Фурье функции которое определяется (27) и (11). Составляя выражение для сопряженного спектра того же воздействия, получим

На комплексной плоскости равенство (30) при определит некоторую кривую называемую диаграммой импульс—время. Свойства диаграммы детально исследованы Рабиновичам, применившим ее [177] к исследованию движения упругих систем при ударе. Укажем важнейшие из этих свойств.

1, Параметрические уравнения кривой имеют вид

Следовательно, при нулевых начальных условиях и для воздействий типа (6) кривая исходит из начала координат и заканчивается в точке с координатами (рис. 9).

2. Касательная к проведенная в текущей ее точке наклонена к оси А под углом угол наклона радиус-вектора точки равен где

3, Длина дуги равна импульсу воздействия за время

В частности, длина полной кривой равна полному импульсу

4. Проекции на натуральные оси где ось касательной, ось главной нормали, направленной в сторону выпуклости в точке равны

Из (31) следует, что максимальным отклонениям системы отвечают те точки диаграммы в которых перпендикулярен касательной.

5. Радиус кривизны кривой в текущей точке

т. е. пропорционален ординате ударного импульса в текущий момент Таким образом, для прямоугольного импульса кривая представляется дугой в сот радиан окружности радиуса центром в точке при так что заканчивается точкой

Мгновенному импульсу приложенному в момент отвечает прямолинейный отрезок длиной наклоненный к оси А под углом

Непосредственным следствием перечисленных свойств является вывод о том, что при удар типа (6) будет коротким независимо от формы импульса, что амплитуды послеударных колебаний системы для импульса или ему симметричного импульса будут равными и т. п.

Таким образом, с помощью диаграммы можно получить достаточно полное представление о поведении упругой системы при ударе и, в частности, определить число ее максимальных отклонений в заданном интервале времени и вычислить наибольшее из них.

Пример. Исследовать движение виброизолированного объекта при ударе с формой импульса (28)

На рис 10, а изображена диаграмма для случая на рис 10, б — для случая В интервале действия удара объект имеет только одно максимальное отклонение (точка см рис 10, , которое не превосходит амплитуды послеударных колебаний (точка При объект имеет два экстремальных отклонения во время удара (точки причем отклонение, которому отвечает точка превосходит амплитуду колебаний объекта после прекращения удара (точка на рис. 10, б),

О колебаниях нелинейных систем при ударе. В стационарных режимах вынужденных колебаний даже «малая» нелинейность характеристики ведет к возникновению специфических нелинейных эффектов, описанных, например в [35, 153]. По-иному обстоит дело при колебаниях нелинейных систем, вызванных ударом. Скоротечность ударных процессов не позволяет развиться нелинейным явлениям, так что различие в поведении нелинейной и соответствующей ей линейной системы носит чисто количественный характер. Например, при коротком ударе наибольшее отклонение объекта слабо зависит от формы ударного импульса.

Рис. 10, Диаграмма для воздействия в виде полной волны «прямоугольного синуса»:

Распространяя этот результат на системы с нелинейной силовой ударной характеристикой, приходим к рассмотрению уравнения

с начальными условиями где полный импульс удара. Из (32) получится следующее уравнение для определения максимального отклонения:

Результаты вычисления х для различных аппроксимаций силовой ударной характеристики приведены в табл. 2. Решение (33) можно получить и графически (рис. 11), в частности, если характеристика задана в виде графика. Наибольшее отклонение X объекта при коротком интенсивном ударе имеет порядок величина рабочего хода). Вместе с тем при объект может получить значительные перегрузки, вызванные посадкой на упор. При этом величина будет в большей степени зависеть от упругих свойств упоров, чем от прочих факторов, определяющих нелинейность В этом смысле ограничительные упоры можно считать основным источником нелинейности виброзащитной системы при ударе. Если односторонний удар является длительным или приближающимся к таковому, его трактовка как мгновенного импульса может привести к существенной погрешности в определении и В подобных случаях более корректной оказывается замена равновеликим по площади прямоугольным импульсом той же длительности. При этом движение объекта в интервале описываемое уравнением

можно представить как свободные нелинейные колебания относительно положения равновесия где которые при непрерывно переходят

(см. скан)

в свободные колебания относительно исходного равновесного положения Максимальное отклонение объекта при длительном ударе будет удовлетворять, вытекающему из (34) уравнению

легко разрешаемому графически (рис. 12). Значения для некоторых видов упругих характеристик приведены в табл. 2.

Отклонение будет в точности совпадать с если момент t где , не превышает т. е. если выполняется неравенство

В противном случае х определяется из рассмотрения движения объекта при

Рис. 11. Графическое решение уравнения (33) (определение наибольшего отклонения нелинейной недемпфированной системы с одной степенью свободы при мгновенном ударе)

Рис. 12. Графическое решение уравнения (35) (определение наибольшего отклонения нелинейной недемпфированной системы с одной степенью свободы при ударе с прямоугольной формой импульса)

Проверка (36) связана с известными затруднениями — невозможностью выражения интеграла через элементарные функции, трудностями применения квадратурных формул из-за обращения в ноль подкоренного выражения на границах интервала В связи с этим при значениях сравнимых с целесообразно перейти к рассмотрению линеаризованного уравнения [105]

где коэффициенты линеаризации и нелинейной характеристики определяются по формулам

Замена исходного нелинейного уравнения (34) линеаризованным уравнением (37) Произведена в предположении, что колебания объекта при могут быть приближенно описаны гармонической функцией

где амплитуда а определяется из уравнения

а частота собственных колебаний — из (39).

В рассматриваемом приближении наибольшее отклонение X при длительном ударе равно 2а, причем момент времени согласно (40) равен Таким образом, при сот удар оказывается длительным, при коротким, В последнем случае

где наименьший положительный корень уравнения