5. ОРГАНИЗАЦИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЗМУЩАЮЩИХ СИЛ В МНОГОПОТОЧНЫХ СИСТЕМАХ

Предварительное сведения. В механизмах и машинах с параллельными потоками мощности, таких как планетарные и переборные зубчатые передачи, гидродинамические машины и др., в местах взаимодействия разделительных и суммирующих звеньев одновременно с несколькими, по числу потоков, сопрягаемыми элементами (см. рис, 18 и 19) возникают возмущающие силы периодического характера, действующие с одинаковой частотой. В зубчатых передачах — это приложенные к центральным колесам механизмов силы, вызываемые процессом пересопряжения зубьев рабочих колес (см. рис. 18), эксцентричностью окружностей их обкатывания и центровки (сателлиты в планетарных передачах) или периодической неравномерностью их жесткостей по углу поворота. В гидродинамических машинах — это подъемные силы (см. рис. 19), действующие на лопасти различных колес. В зависимости от точек приложения, направленности, величины и фазовых характеристик отдельных возмущающих сил их суммарное воздействие на разделительные и суммирующие звенья будет различным. Это позволяет для снижения виброактивности многопоточных механизмов и машин применять наряду с такими универсальными методами, как уменьшение величины возмущающих сил и улучшение виброизолирующих свойств, также метод организации оптимального взаимодействия указанных возмущающих сил. Необходимое взаимодействие этих возмущающих сил достигается определенным выбором ряда параметров суммирующих или разделительных звеньев и сопрягаемых с ними элементов [155]. Так, для снижения виброактивности зубчатых механизмов планетарного и переборного типов на частотах пересопряжения зубьев в ряде случаев достаточно определенным образом подобрать числа зубьев рабочих колес. В других случаях, кроме подбора чисел зубьев, необходимо подобрать и некоторые размеры колес [156]. Для снижения виброактивности гидравлических центробежных насосов на лопастных частотах и их высших гармониках требуется подбор определенных чисел лопастей насосного колеса и направляющего аппарата [89].

Осуществление оптимального взаимодействия возбуждающих сил, действующих с одинаковой частотой, может дать в многопоточных системах большой эффект по снижению виброактивности на режимах работы с установившимся вибрационным процессом. Примерами практического достижения высокой эффективности взаимного уравновешивания возбуждающих сил могут служить широко применяемые в промышленности балансировка вращающихся роторов и взаимное уравновешивание динамических нагрузок в многоцилиндровых поршневых машинах. Теоретическим пределом эффективности этого метода является полная взаимная компенсация возбуждающих сил и устранения из спектра колебаний механизмов и машин составляющих с частотой их действия или некоторых гармоник этой частйты. Практическая возможность достижения теоретического предела эффективности зависит от схемы и конструкции механизма (машины), от стабильности рассматриваемых колебательных процессов, и от степени соответствия расчетных параметров действительным.

Существенной особенностью метода является независимость его эффективности от абсолютной величины возмущающих сил и, следовательно, от точности изготовления деталей механизма, определяющих их значения, поскольку эффективность метода основывается на глубокой локализации результатов действия отдельных возмущающих сил. Поэтому для снижения рассматриваемой виброактивности важны относительные, а не абсолютные значения возмущающих сил.

Общий вид расчетной модели. Для рассматриваемых многопоточных механизмов и машин определение оптимального взаимодействия между возмущающими силами, одновременно действующими на разделительные и суммирующие звенья, в общем виде сводится к решению задачи, в которой к закрепленному в точке О жесткому телу (рис. 16, а) в точках (при параллельных потоках мощности) с координатами приложены периодические возмущающие силы с одинаково» частотой и постоянными линиями действия, расположенными под углами к радиусам Решение задачи заключается в нахождении оптимальных соотношений между параметрами возмущающих сил по критерию нагруженности точки О суммарной поперечной силой (вектором) и суммарным крутящим моментом М. Искомые оптимальные соотношения должны наилучшим образом обеспечивать

удовлетворение требований к суммарным возбуждениям крутильных и поперечных колебаний тела, закрепленного в точке О, с разными гармониками к частоты Преобразование периодических возмущающих сил с частотой в суммы гармонических составляющих осуществляется разложением соответствующих функций в ряды Фурье.

Дальнейшее рассмотрение проводится в применении к гармоникам, при которых колебания имеют длину волны значительно большую, чем геометрические размеры разделительных и суммирующих звеньев.

Рис. 16. Схемы действия возбуждающих сил в многопоточных колебательных системах: а — общий случай; б - геометрически симметричной системе

Главный момент и модуль главного вектора суммарного возбуждения колебаний с частотой соответственно будут

где возмущающая сила, действующая в точке с частотой

Значительно упрощаются расчетная модель и решение задачи для геометрически симметричных систем, которым обычно соответствуют многопоточные механизмы и машины.

Расчетная модель геометрически симметричных систем. Для многопоточных геометрически симметричных механизмов и машин (рис. 16, б), выполненных с достаточной точностью,

где фазовый сдвиг возмущающей силы; число периодов возмущающей силы, соответствующих одному относительному обороту рассматриваемого разделительного или суммирующего звена.

При независимых случайных величинах имеющих нормальное распределение с математическими ожиданиями а и средними квадратическими отклонениями

главный момент и проекции главною вектора являются суммами независимых случайных функций:

где коэффициент, характеризующий несинфазность взаимодействия рассматриваемого звена с одновременно сопрягаемыми элементами — целое неотрицательное число целое неотрицательное число.

Вероятностные характеристики главного момента и главного вектора. Выражения (45) главного момента и проекций главного вектора являются суммами элементарных случайных функций с независимыми случайными величинами Их вероятностными характеристиками [43] будут математические ожидания дисперсии корреляционные функции корреляционный момент составляющих и коэффициент корреляции

Математические ожидания:

Дисперсии:

Корреляционные функции:

Корреляционный момент

Коэффициент корреляции

Математические ожидания (46), дисперсии (47), корреляционный момент (49) и коэффициент корреляции (50) для различных значений приведены в табл. 8. Корреляционные функции (48) преобразовываются к виду

где при при при при при при т.е. является стационарной случайной функцией при а при

При других значениях нестационарные случайные функции.

Классификация многопоточных систем. Все разнообразие рассматриваемых многопоточных систем по параметрам и 7 их разделительных и суммирующих звеньев можно представить шестью типами (см. табл. 8), отличающимися математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффициентами корреляции главного момента и составляющих главного вектора Системы всех типов имеют нормальные законы распределения вероятностей амплитудных значений главных моментов (одномерные законы) и векторов (двумерные законы). Двумерные законы распределения вероятностей главного вектора могут быть четырех видов (рис. 17), отличающихся эллипсами рассеяния. Системам типов VI соответствует круговое распределение вероятностей вектора (рис. 17, б). У систем типов II, IV величины осей симметрии эллипсов рассеяния вектора постоянные, а направление большой оси при совпадает с направлением вращающегося радиус-вектора математического ожидания или при перпендикулярно ему (рис. 17, а, в). Эллипсы рассеяния у систем типа III (рис. 17, г) имеют вращающийся центр и переменные величины осей симметрии, зависящие от значения но их оси при любом остаются соответственно параллельными осям Формулы для определения максимально возможных значений и математических ожиданий их абсолютных величин для различных типов систем приведены в табл. 9.

Значення аргумента функции одномерного нормального закона распределения вероятности интеграла вероятности и аргумента функции двумерного

(см. скан)

нормального закона распределения вероятности необходимые для вычислений по формулам табл. 9, приведены в табл. 10. Формулы табл. 9 позволяют проводить количественные оценки интенсивности суммарного возбуждения колебаний любой многопоточной системы. Минимальная интенсивность суммарного возбуждения в сравнимых условиях будет у систем типа Формулы показывают влияние числа потоков и дисперсии (ширины области рассеяния точности изготовления элементов системы) на интенсивность возбуждения колебаний в системе: при прочих равных условиях с увеличением интенсивность возбуждения колебаний в системе увеличивается. В зависимости от типа системы одинаковое изменение точности изготовления элементов системы может по-разному влиять на суммарное возбуждение: Так, в системах типов IV—VI интенсивность суммарного возбуждения изменяется прямо пропорционально изменению величины В системах остальных типов даже очень существенное изменение величины о может весьма незначительно влиять на интенсивность главного момента или главного вектора суммарного возбуждения.

Рис. 17. Законы распределения вероятности главных векторов суммарных возмущающих сил в многопоточиых колебательных системах разных типов:

Особенностью систем типа III, в отличие от всех остальных типов, является зависимость предельных значений в каждом квадранте координат от величины угла Наибольшие значения будут при углах совпадающих с осями координат (см. рис. 16, б, 17), наименьшие, равные 0,707 от наибольших, при углах, увеличенных на

В многопоточных системах со случайными, но постоянными во времени величинами главные моменты и векторы суммарного возбуждения колебаний будут иметь постоянные значения амплитуд и фаз, определяемые координатами соответствующих точек в областях рассеяния. Для таких систем формулы табл. 8 позволяют оценить возможное рассеяние параметров суммарного возбуждения и его вероятность.

В системах со случайными и переменными во времени величинами значения амплитуд и фаз главных моментов и вектора будут также переменными, т. е. возбуждение колебаний в таких системах не будет установившимся процессом. В этом случае в системах типов IV, V, VI по сравнению с системами остальных типов интенсивность вынужденных колебаний, в том числе и особенно на резонансных режимах, будет меньше не только за счет меньших величин главных моментов и векторов суммарного возбуждения, но и за счет значительно большей нестационарности процесса суммарного возбуждения при одинаковых изменениях

Пример. Определить типы многопоточиых колебательных систем (см. табл. 8, 9), соответствующие центральному колесу планетарной передачи (рис. 18) с числом равномерна расположенных сателлитов при колебаниях, возбуждаемых процессом пересопряжения зубьев. Зацепление эвольвентиое, зубья прямые с одинаковой высотой у всех колес. Число зубьев центрального колеса

Сдвнг по фазе между действующими на солнечную шестерню со стороны сателлитов силами (см. рис. 16, б) возмущения [156]

где остаток от деления числа зубьев центрального колеса на число сателлитов сателлитах может быть любым целым неотрицательным числом до включительно), номер гармоники частоты перссопряжения зубьев, тогда

Типы колебательных систем, соответствующие планетарным передачам с разными значениями для различных к, представлены в табл 11 Другие примеры выбора оптимальных значений параметров планетарных зубчатых передач, влияющих на их виброактивность, приведены в [156].

9. Характеристики суммарных возмущающих сил; при при

(см. скан)

10. Значения аргументов и функций одномерного и двумерного нормальных законов распределения вероятностей

(см. скан)

Пример. Определить типы миогопоточиых колебательных систем, соответствующие корпусам центробежных насосов (рис 19) о числом лопастей направляющего аппарата и числом лопастей насосного колеса при колебаниях с гармониками лопастной частота.

При равномерном расположении лопастей центробежного насоса для гармоники лопастной частоты фазовый сдвиг возмущающей сипы (динамической составляющей подъемной силы на лопасти направляющего аппарата) будет [89]

тогда

Результаты определения типов многопоточных колебательных систем, соответствующих центробежным насосам с рассмотренными параметрами, приведены в табл. 12.

Пример. Определить наибольшие возможные амплитудные значения главного момента и модуля главного вектора суммарного возбуждения для геометрически симметричных многопоточных систем (см. рис. 16.6) различных типов (см. табл. 9), на которые одновременно воздействуют независимых случайных возмущающих сил имеющих нормальное распределение с математическими ожиданиями передними квадратическими отклонениями

Рис. 18. Схема планетарной зубчатой передачи

Рис. 19. Схема приложения возмущающих сил к корпусу центробежного насоса

Практически достоверная область рассеяния сил равна от математического ожидания а.

11. Типы колебательных многопоточных систем (см. табл. 8 и 9), соответствующие колебаниям с гармоникой частоты пересопряження зубьев центральных колес зубчатых планетарных передач с сателлитами

(см. скан)

(см. скан)

Расчеты провэдятся по формулам табл. 9 для с учетом, что где практически достоверная область возможных значений амплитудных величии возмущающих сил долях аргумент функции нормального распределения с вероятностью, соответствующей области

Практически достоверными областями возможных значений случайных величин примем области, соответствующие вероятности, равной 0,95. Результаты выполненных расчетов приведены на рис. 20 Максимальные суммарные силы возбуждающие колебания в миогопоточных механизмах и машинах, при выборе оптимальных параметров снижаются в десятки раз.

Рис. 20. Наибольшие амплитудные значения главных момента и вектора в практически достоверных областях рассеяния

13. Характеристики возбуждения колебаний с гармоникой частоты пересопряження зубьев центральных колес зубчатых планетарных передач с сателлитами при

(см. скан)

(см. скан)

Рекомендации. Для наибольшего снижения виброактивности многопоточного механизма (машины) на частотах, определяемых действием рассмотренных (см. рис. 16, б) возмущающих сил, параметры этого механизма должны обеспечивать его соответствие тому типу (см. табл. 9), при котором наилучшим образом удовлетворяются требования по интенсивности возбуждения крутильных и поперечных колебаний и их спектральному составу. При известных характеристиках возмущающих сил оптимальный тип многопоточного механизма выбирают по табл. 11 и 12 или подобным им, с использованием формул табл. 9 для количественной оценки интенсивности возбуждения крутильных и поперечных колебаний с той или иной гармоникой. Если характеристики действующих возмущающих сил неизвестны, но силы одинаковы, оптимальный тип механизма можно выбирать исходя из качественной оценки возбуждения колебаний. Для этого в формулах табл. 9 следует при нять значення средних квадратических отклонений равными нулю Это будет соответствовать теоретически предельным случаям, при которых крутильные или поперечные колебания с той или иной гармоникой вообще не будут возбуждаться. При этом в таблицах, подобных табл, 11 и 12, вместо типа системы будут обозначения, характеризующие возбуждаются или нет колебания с той или иной гармоникой, а если возбуждаются, то какого вида — крутильные или поперечные [9, 89]. Результаты качественной оценки возбуждения колебаний с гармоникой частоты пересонряжения зубьев для зубчатых планетарных передач с сателлитами приведены в табл. 13, а с гармоникой лопастной частоты для центробежных насосов с разными числами лопастей насосного колеса и направляющего аппарата в табл, 14,