3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Постановка задачи об оптимальном управлении. Рассматривается одномерная задача о силовой виброизоляции абсолютно жесткого основания 1 от динамического ударного воздействия на объект 2, из которого выделяется сосредоточенная масса (рис. 2). Перемещение этой массы относительно основания . К массе приложены внешнее воздействие и неизвестное управление Основное управление для построения оптимального управления имеет вид

Рис. 2. Динамическая схема для задачи оптимального управления

Для кинематической виброизоляции также рассматриваются жесткое основание 1 и точка 2 объекта, но наличие в точке 2 массы необязательно. Относительное перемещение основания 1 и точки абсолютное ускорение точки оно же и является искомым оптимальным уравнением.

Оптимальное управление строится по кинематическому уравнению, аналогичному (19),

Начальные условия для решения (19) и (20) — нулевые, т. е. при Формулировка задачи оптимального управления дается в минимаксной форме (8), но полученное решение справедливо и для альтернативной постановки (9) и (10), Особенность функционала (8) состоит в том, что он не сводится к интегралу от исходной функции. Это исключает возможность отыскания оптимального

управления или с помощью известных методов классического вариационного исчисления [219] принципа максимума или динамического программирования [21, 132]. Однако специфика задачи и вид уравнений (19) и (20) дают возможность предложить удобный в практическом отношении графоаналитический способ построения оптимального управления [69].

Рис. 3. (см. скан) Внешнее импульсное воздействие и оптимальное управление

Оптимальное управление будем искать на пределе ограничений Решение сводится в основном к релейному управлению, и задача состоит в определении точек переключения.

Из (19) и (20) определим относительною скорость

где для общности обозначено для силовой виброизоляции; для кинематической виброизоляции. Здесь абсолютная скорость точки 2 (рис. 2),

Рис. 4. Функции и в задаче оптимального управления

На примере действия импульса или и с обратным фронтом (рис. 3) покажем методику решения. Дадим графическую интерпретацию уравнения (21) на рис. 4.

Если кривая расположена выше прямой тангенс угла наклона которой равен Из (21) следует, что кривая и прямая пересекутся в точке А в момент времени когда Точка А является первой искомой точкой пересечения. Площадь сегмента между кривой 1 и прямой 2 представляет собой минимальное — максимальное перемещение

бщах Любое другое управление или показанное, например, кривой 3, приведет к увеличению так как площадь между кривыми 1 и 3 будет больше, и к увеличению времени движения, так как релейное управление или приводит систему виброизоляции в состояние за минимальное время. Далее задача оптимального управления разделяется на два варианта.

Первый вариант. Система должна быть остановлена без возвращения в исходное положение Назовем завершившуюся фазу движения откатом. В рассматриваемом примере обратным импульсом (рис. 3) тангенс угла наклона производной кривой 1 в точке А оказался по модулю больше поэтому дальнейшее движение к точке В осуществляется по прямой 4 с отрицательным углом наклона, тангенс которого равен (рис. 4). Площадь, заключенная между кривой 1 и кривой 4, — отрицательна и несколько меньше Скорость в точке В дальнейшем относительное движение прекращается посредством реализации управления вследствие чего так как тангенс угла наклона производной в точке оказался по модулю меньше

В точке С внешнее воздействие прекращается, и управление становится равным нулю. Если бы в точке А тангенс угла наклона кривой был меньше по модулю, чем относительное движение могло быть прекращено уже в гочке А обеспечением равенства управления возмущению.

Второй вариант. Система должна буть возвращена в исходное положение. Назовем эту фазу накатом. Кратчайшим по времени (оптимальным по быстродействию) является вариант дальнейшего движения по отрезку 5 (продолжение 2) с переключением в точке на прямую 6, параллельную прямой 4. Относительное движение по прямой 6 происходит до пересечения с кривой 1 в точке где оно прекращается. Чтобы система вернулась в исходное положение, необходимо, чтобы площадь фигуры, заключенной между прямыми 5, 6 и кривой 1, была равна площади сегмента между кривой 1 и прямой 2. Условие равенства площадей определит положение точек на временной оси, соответствующих точкам Если условие оптимального быстродействия на систему не наложено, возможны другие управления. Например, при движении по кривой только на концах участка в точках На внутренних участках управления по модулю меньше ограничения. Кривая 8 от точки до точки обеспечивает в конце движения к точке в других точках В этих случаях также необходимо равенство площадей фигур, заключенных между кривыми 1 и 7 или 1 и 8, площади сегмента между кривыми и 2. Очевидно, что эти варианты неоптимальны по быстродействию.

Из сказанного следует, что отыскание V сводится к определению числа и расположения угловых точек, соответствующих моментам переключения оптимального управления с на или выхода на особые участки, где Общее число моментов переключения оказывается зависящим от числа выбросов на уровень т. е. от числа интервалов времени, где Результаты построения и вычисления минимальных смещений бщах для некоторых видов ударных импульсов простой геометрической формы приведены в табл. 1 на примере силовой виброизоляции; этот случай соответствует максимально быстрой остановке системы без возвращения в исходное положение.

Практически важным оказывается случай интенсивного одностороннего удара малой продолжительности для которого выполняется соотношение

Соответствующая ему минимизирующая функция имеет вид

(см. скан)

Продолжение табл. 1. (см. скан)

где

С учетом (21) и (22) можно получить приближенную формулу для минимаксного перемещения объекта бшах, подвергающемуся интенсивным односторонним ударам

из которой следует независимость бтах от формы импульса. Можно показать также, что для интенсивных ударов, обладающих свойством симметрии, максимальное относительное перемещение совпадает с величиной V, вычисленной для равновеликого по площади прямоугольника импульса той же длительности. Для четырех форм импульсов (см. табл. 1) в случаях, когда воздействие обращается в нуль до окончания относительного движения, рассмотрены также случаи отката и наката (табл. 2). Приведены характеристики оптимального управления.

Реализация оптимального управления силами, зависящими от координат состояния. Определение оптимального управления как известной функции времени позволяет обеспечить требуемый закон движения созданием двух параллельных сил — упругой и диссипативной учитывая, что если

Для силовой виброизоляции можно записать

где -динамическая реакция со стороны части объекта, представленного как механическая система с сосредоточенными параметрами, присоединенная к телу через упругие и демпфирующие связи; учитываются также и внешние силы, приложенные к объекту.

Для кинематической виброизоляции (25) имеет упрощенный вид

Задание характеристики силы определяется требованиями обеспечения необходимой силы в точках в случае наличия двух фаз отката и наката (точки а также на рис. 4).

Закон изменения силы между этими точками может быть произвольным и обеспечиваться как линейной, так и нелинейной упругими характеристиками. Можно воспользоваться, например, винтовой цилиндрической или гидропневматической пружинами.

В результате из (25) и (26) сила определяется как функция времени, а затем как функция Конструктивная реализация такой силы с помощью демпферов (тормозов) представляет собой специальную задачу, которая часто

решается с применением гидравлических устройств Для обеспечения закона движения при откате и накате можно создать в одном агрегате два отдельных устройства; тормоз отката и тормоз наката. Рассмотрим несколька примеров реализации оптимального управления.

2. Программа оптимального движения с возвращением в исходное положение

(см. скан)

Пример 1. Рассмотрим силовую виброизоляцию от мгновенного импульса, действующего на объект с массой При Учитывая, что из (25) получим, что соответствующее оптимальное управление реализуется с помощью демпфера Кулонова треиия

Пример 2. Рассмотрим систему, показанную на рис. 5. Исходные уравнения движения системы

Воспользуемся преобразованием Лапласа для решения системы (28)-(30) Исключаем неизвестную Учитываем, что оптимальное решение для имеет вид

Изображение по Лапласу имеет вид

Выражение для получает вид

где - парциальная частота дополнительной системы. Переходя к оригиналам, с окончательно получим

Пример 3. Рассмотрим задачу примера 1 для кинематической виброизоляции в следующей интерпретации. Тело падая с некоторой высоты, подходит к пружине и демпферу со скоростью Необходимо остановить тело, не превышая ускорения на минимальном пути. Сведем этот случай к задаче кинематической виброиэоляции.

Рис. 5, Учет присоединенной системы

Рис. 6. Оптимальная виброизоляция при торможении падающего тела

Считаем тело в начальный момент времени неподвижным. Оно опирается на пружину и демпфер, соединенные с основанием (рис. 6). Вес не действует. О момента основание движется со скоростью . Сила тяжести не действовавшая до начала движения, ступенчато приложена к телу.

Максимальное относительное перемещение при оптимальном управлении раьно

Жесткооть линейной пружины выбираем исходя из равенства силы пружины

Упругая сила

Из (26) сила

где

Из (31) следует, что при

Пример 4. Рассмотрим силовую вибронзоляцию по позиции 1, табл. 2 для одной массы При и фаза отката заканчивается. Выбираем жесткость линейной

пружины

откуда

Из уравнения (25) определяем учитывая что

Из уравнения (32) следует, что при сила а при она отрицательна.

Закон (32) должен поддерживаться до момента При учитывая, что сила

Оптимальное управление в виброзащитной системе с несколькими степенями свободы. Пусть условия защиты объекта с степенями свободы (для определенности рассматривается случай кинематической виброизоляции) задаются в виде неравенств вида

где вектор обобщенных координат объекта, а качество защиты определяется функционалом

где вектор обобщенных координат движения основания, заданные постоянные векторы соответствующей размерности. Задача об оптимальном управлении объектом защиты может быть сведена к рассмотренной выше аналогичной задаче для простейшей расчетной модели при

При малых колебаниях системы приведенные ниже неравенства (35) можно трактовать как условия ограниченности составляющих ускорения заданных точек объекта, а функционал (34) как максимальное значение относительного перемещения объекта в заданном направлении.

Введем скалярную переменную

Дважды дифференцируя (35) и вводя скалярные функции

приходим к уравнению вида (22). Функцию и которую можно считать заданной, назовем приведенным возмущением, а неизвестную функцию приведенным управлением. Граничные значения приведенного управления получаются из решения вспомогательной задачи линейного программирования: найти максимум (и минимум) линейной формы и множестве, заданном совокупностью линейных ограничений. Поскольку точка является, очевидно, внутренней точкой этого множества, рассматриваемая вспомогательная задача имеет решение. В частном случае, когда основание и объект считаются твердыми телами, к неравенствам типа (33) можно привести условия ограниченности сил в виброизоляторах подвеса, поскольку упомянутые силы в уравнениях движения объекта будут линейно связаны с составляющими вектора