5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ

Основные положения. Применение аналитических безмашинных методов расчета к проектированию сложных систем виброизоляции реальных машин, функционирующих в условиях действия случайных возмущений, в частности к проектированию оптимальных нелинейных систем вибронзоляции наземных машин, не дало удовлетворительных результатов в связи с большими трудностями вычисления. Поэтому практически невозможно реализовать многие известные методы аналитического конструирования линейных систем виброизоляции машин, не говоря уже о нелинейных системах или об условиях неполной информации. Методы численной оптимизации могут быть сформулированы и развиты для широкого класса задач проектирования сложных систем виброизоляции с учетом реальных условий их функционирования и проектирования.

Совокупность алгоритмов для ЭВМ, позволяющих решать задачи построения оптимальных в определенном смысле систем виброизоляции, будем называть алгоритмическим конструированием систем виброизоляции, а совокупность программ, обеспечивающих прямое получение оптимальных проектно-конструкторских решений — системой математического обеспечения задач алгоритмического конструирования.

Из процедур алгоритмического конструирования наиболее простыми являются процедуры параметрической оптимизации, позволяющие определить оптимальные параметры систем виброизоляции при выбранной (или заданной) их структуре и наличии полной информации об объекте и возмущениях, действующих на него. К наиболее сложным, самым совершенным с точки зрения функциональных возможностей, можно отнести процедуры, позволяющие осуществить выбор принципа действия, а затем структурный и параметрический синтез стохастических систем виброизоляции при неполной информации как о самом объекте, так и об условиях его функци онирования.

К задачам оптимального проектирования систем виброизоляции относятся параметрическая оптимизация при выбранной структуре; структурная оптимизация при выбранном принципе действия; поиск принципиально новых проектно-конструкторских решений, основанных на новых идеях и принципах действия. В общем случае необходимо одновременно оптимизировать принцип работы, структуру и параметры систем.

Задачу синтеза оптимальных структур систем виброизоляции можно в принципе преобразовать и сформулировать как расширенную задачу параметрической оптимизации. В этом случае в математической модели системы виброизоляции оптимизируемые параметры и ограничения будут переменными для различных структур. К структурной оптимизации систем виброизоляции наземных машин можно отнести, например, выбор числа опор и вида связи (механическая, гидравлическая или пневматическая) между подвесками опор. Оптимизацией степени связи между подвесками можно выбрать наилучшую структуру. В задаче оптимизации параметров систем виброизоляции задаются структура системы и статистические характеристики входных возмущений. Требуется определить значения параметров, при которых достигается экстремум принятого критерия эффективности. В наиболее часто встречающихся на практике задачах оптимизации структуру систем виброизоляции выбирают исходя из функционального назначения системы и имеющихся реальных элементов. Кроме того, расширением пространства варьируемых параметров можно получить эффект вариации структуры системы. Если имеется ряд конкурирующих структур, производится параметрическая оптимизация каждой из них и после сравнения отбирается наиболее рациональная.

Оптимизация детерминированных систем виброизоляции. Решение многих теоретических и практических задач виброизоляции сводится к отысканию таких значений а некоторых параметров которые обеспечивают максимизацию или минимизацию заданной функции называемой критерием эффективности (функцией качества, целевой функцией, критериальной функцией и В конкретной ситуации требуется обеспечить минимум либо максимум критерия либо где Задачи отыскания минимума и максимул а с точки зрения оптимизации эквивалентны, так как

Поэтому, не снижая общности, ниже будем искать минимум

Задачу отыскания значений параметров обеспечивающих минимум функционалу С, запишем в виде

Параметры а будем называть оптимальными. Смысл условия (73) очевиден при минимизации критерия по параметрам его значение при оптимальных параметрах должно быть меньше, чем значение вычисленное при любых других значениях параметров.

На оптимизируемые параметры А накладываются конструктивные и другие ограничения вида

Которые записываются в виде

где допустимая область вариации параметров; символ принадлежности.

В реальных задачах на некоторые функции, характеризующие качество оптимизируемого объекта, могут быть наложены ограничения

и (или)

де некоторые заданные функции; число ограничений.

Вид критерия С и функций (74) и (75) для конкретной задачи выбирается либо задается. Для того чтобы учесть ограничения (74) типа «равно», можно сформировать новую критериальную функцию, включающую ограничения:

или

где константа,

Ограничения (74) типа «не равно» можно также ввести в исходную целевую функцию. Для этого ограничения типа (75) приводятся к виду (74). Описанный выше подход, заключающийся в сведении задачи с ограничениями к задаче оптимизации без ограничений, называют методом штрафных функций. Введем новую функцию

где -положительная константа, которая в процессе поиска непрерывно уменьшается по закону

константа, если требуемая точность не достигнута. Когда величина становится достаточно малой, функция приближается к исходной С.

Для ограничений типа (74) построим из первоначальной целевой функции и ограничений функцию вида

где — константы. Значения определяются из системы уравнений

Величину В выбирают экспериментально. Авторы метода рекомендуют Когда сходимость достигнута,

Таким образом, включением ограничений в критерий эффективности задача оптимизации сводится к задаче на безусловный экстремум: требуется определить такое значение вектора параметров чтобы

где А — допустимая область вектора А.

Для минимизации могут использоваться различные алгоритмы оптимизации, например итеративные алгоритмы градиентного типа

где в общем случае пересчетная матрица, определяемая по-разному для различных методов:

Значение определяет очередной шаг и зависит в общем случае от вектора А, значений градиента целевой функции и от номера шага При выполнении

соответствующих условий сходимости для начального выбора оказывается, что

Структура детерминированных алгоритмов едина. Выбирая соответствующим образом мы приходим к известным алгоритмам.

Сведение задачи оптимального управления к задаче параметрической оптимизации. К сформулированной выше задаче многопараметрической оптимизации могут быть сведены и другие задачи: аппроксимации, идентификации и оптимального управления колебаниями объектов с активными системами виброизоляции. Покажем это.

Пусть объект описывается векторным дифференциальным уравнением

с начальными условиями при где N-мерные векторы; вектор-функция управления. Для простоты изложения рассмотрим случай скаляр; мерный вектор параметров системы; время наблюдения.

Пусть критерий эффективности активной системы виброизоляции следует минимизировать выбором оптимальной функции и которая должна удовлетворять некоторым условиям: ограниченности, гладкости, непрерывности и т. д. Представим искомую функцию управления и в виде конечного ряда

где ортогональная на интервале система координатных функций.

Теперь задача оптимального управления сводится к определению оптимального вектора параметров При конечном получим приближенное решение задачи. Критерий эффективности имеет вид

или, введя -мерный вектор можно записать

Таким образом, задача оптимального управления сводится к решению на каждом шаге оптимизации системы (78) и минимизации критерия (79). Введением нового вектора А мы объединили параметры подлежащие оптимизации, и параметры управлений Как видно, в приведенной формулировке задачи производится одновременная оптимизация параметров системы и управления

Если принять то рассматривается только оптимальное управление, и оценкой точности получаемых решений может служить сходимость последовательностей полученных при различных .

Когда на функцию управления накладываются условие гладкости и требование малости высших производных, управление можно задать в виде степенного ряда

Искомую функцию управления можно аппроксимировать и интерполировать с использованием интерполяционных формул, например формулы Лагранжа для параболической интерполяции:

где

В этом случае параметрами, определяющими будут значения в узловых точках отрезка и

Таким образом, задача оптимального управления сводится к применению методов прямого поиска. Если имеются граничные условия, то, применяя метод штрафных функций, решение можно свести к решению обычной задачи поисковой оптимизации.

Для решения сформулированной задачи оптимизации могут быть использованы регулярные итеративные алгоритмы, если оценка критерия является неслучайной величиной, и вероятностные итеративные алгоритмы, если опенка критерия случайная.

Оптимизация стохастических колебательных систем. При рассмотрении нелинейных и сложных систем виброизоляции чаще всего критерий эффективности и ограничения, наложенные на переменные, характеризующие функционирование системы, либо функционалы от них, в явной форме неизвестны; информацию о них мы получаем при численных расчетах на ЦВМ математической модели. При случайных возмущениях, действующих на систему виброизоляции, случайных начальных условиях и учете случайных отклонений параметров от расчетных значений критерии эффективности и ограничения получаются в виде реализации случайных чисел или процессов. Для решения задач оптимизации при недостатке априорной информации применяется адаптивный подход, при котором в отличие от обычною подхода для пополнения недостающей информации активно используется текущая информация.

Пусть динамика многомерной стохастической системы виброизоляции описывается векторным дифференциальным уравнением (78). Введем критерий

где заданный функционал; символ математического ожидания,

В общем случае в задаче присутствуют ограничения в виде равенств

и неравенств

где и вектор-функции; причем вид функций и неизвестен, а известны лишь реализации вектор-функции и

К выражению (80) сводится ряд различных по своей форме показателей эффективности. Так, показатель, определяющий вероятность того, что функционал находится в заданных пределах

введением характеристической функции

либо

приводится к виду

Вид критерия (80) в каждом конкретном случае определяется назначением системы виброизоляции. К критерию (80) сводится также и критерий надежности. Пусть случайный вектор, описывающий эволюцию колебательной системы в момент времени Выделим в фачовом пространстве допустимую область изменения вектора Если выходит из обласш

будем считать, что произошел отказ системы. Введем характеристическую функцию надежности системы виброизоляции для интервала времени вида (83). Тогда вероятность безотказной работы системы в интервале времени определится как математическое ожидание характеристической функции:

Если принять, что функционал равен длительности промежутка времени до первого попадания траектории вектора в область то математическое ожидание

определяет среднее время безотказной работы системы.

Ограничения на оптимизируемые параметры задаются в виде неравенств

где — допустимая область вариации параметров.

С учетом ограничений на фазовые координаты (81), (82) и оптимизируемые параметры (85) вместо критерия (80) запишем

где константы;

С введением критерия (86) задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный экстремум.

Исследование условия оптимальности вектора сводится к анализу условия экстремальности функционала Если дифференцируем, то он достигает экстремума при таких значениях А, для которых градиент функционала обращается в нуль, т. е.

где

представляет по

Для отыскания вектора удовлетворяющего условию (87), используются алгоритмы, называемые вероятностными итеративными алгоритмами. Применяемые в стохастических задачах оптимизации, когда значение критерия эффективности является случайной величиной, вероятностные итеративные алгоритмы можно разбить на три основные группы. 1) использующие детерминированный поиск; 2) использующие случайный поиск; 3) комбинированного типа, использующие детерминированный и случайный поиск.

Рассмотрим некоторые из них.

Вероятностные итеративные алгоритмы. Одним из первых алгоритмов типа стохастической аппроксимации является алгоритм для отыскания корня уравнения Регрессии в обстановке помех:

где некоторый член последовательности положительных чисел, удовлетворяющих условиям

Кифер и Вольфовиц предложили вместо ввести угловой коэффициент

где на изменение наложены те же условия, что и в методе Робинса-Монро, а на изменение условия

Алгоритмы (88) и (90) могут быть представлены в нормализованных вариантах, в которых используется только знак функции

и

где при условии

В идеальной схеме стохастической аппроксимации поиск вдали от вершины должен вестись большими шагами, а вблизи — малыми. Кестен для ускорения сходимости предложил уменьшать длину шага лишь при изменении направления поиска.

Блюм и Сакс распространили описанные подходы на многомерный случай. Введем обозначение векторов, компонентами которых являются функции при измененных значениях векторов А:

где — скаляр; базисные векторы. В простейшем случае вектор, все компоненты которого одинаковы.

Градиент можно приближенно оценивать с помощью разделенных разностей:

При вычислении или вместо двух шагов производится один. При этих обозначениях метод Блюма можно записать в виде

Для улучшения сходимости метода предложена симметричная процедура

Вернемся к рассмотрению уравнения (78), описывающего динамику стохастической системы виброизоляции. В общем случае существенно нелинейной многомерной динамической системы плотность вероятности случайного вектора фазовых координат X априорно неизвестна, и нам доступны для измерения лишь реализации критерия эффективности полученные при расчетах на ЭВМ. Задача оптимизации стохастических колебательных систем виброизоляции сводится к нахождению оптимального значения А вектора А, при котором достигается экстремальное значение критерия эффективноеги:

В общем случае оптимальное значение параметров А определяется из рекуррентного соотношения

где оператор, определяющий метод поиска; реализация критерия эффективности, получаемая при расчетах на ЭВМ.

Рассмотрим один из алгоритмов градиентного типа, аналогичный детерминированному итеративному алгоритму градиентного поиска. В общем случае градиент реализации невозможно получить, но сами реализации могут быть получены, В этом случае на помощь приходят поисковые алгоритмы. Введем обозначения:

Градиент можно оценить с помощью разделенных разностей:

или

которые зависят от случайного процесса

С учетом выражения (92) поисковый алгоритм оптимизации в рекуррентной форме можно записать в виде

Как видно из выражения (92), оценка градиента V, входящая в алгоритм (93), может быть получена с помощью специальных поисковых шагов по каждому из оптимизируемых параметров и требует вычисления реализации Если использовать оценки или требуется вычислений функции

Для уменьшения числа пробных шагов, необходимых для определения оценки градиента в качестве оценки можно использовать некоторый вектор, имеющий случайное направление и модуль, равный производной по направлению случайного вектора. В этом случае алгоритм поиска запишется в виде

где случайный вектор, равномерно распределенный в интервале [0, 1].

Для сходимости алгоритма (94) необходимо, чтобы величина с ростом уменьшалось быстрее, чем кроме того, последовательности и должны удовлетворять условиям сходимости алгоритмов типа стохастической аппроксимации.

Описанный выше подход достаточно подробно изложен в [226] для систем виброизоляции в общем случае нелинейных и описываемых уравнениями высоких порядков. В качестве входных воздействий используются детерминированные и случайные возмущения любых видов. Решение проводится численными методами и рассматривается как вычислительный эксперимент.

Автоматизация проектирования систем виброизоляции. Поиск конструктивных путей проектирования реальных систем виброизоляции приводит к проблеме их машинного проектирования. При использовании ЭВМ представляется возможным формулировать и решать задачу выбора оптимальных решений в общем виде, учитывая все ограничения на фазовые координаты и оптимизируемые параметры.

В настоящее время сокращение сроков, стоимости и улучшение качества проектирования реальных виброзащитных систем может быть достигнуто путем создания автоматизированных систем проектирования на основе использования системного подхода и электронных вычислительных машин и систем. Для автоматизации проектирования систем виброизоляции необходимо:

1) разработать достаточно универсальные математические модели (банк моделей), из которых путем незначительных преобразований можно получить широкий спектр моделей реальных систем виброизоляции, являющихся сложными, стохастическими, в общем случае существенно нелинейными;

2) разработать систему удобного представления всей исходной информации о системе в упорядоченном виде, удобном для ввода в ЭВМ (банк данных);

3) создать комплекс алгоритмов и программ автоматизированного проектирования (банк прикладных программ оптимизации), моделирующих процессы функционирования реальных систем виброизоляции и принятия решения о степени их эффективности;

4) разработать единое математическое обеспечение проектирования оптимальных систем виброизоляции на основе пп. 1—3;

5) разработать систему декодирования выходной информации, т. е. решить вопросы преобразования результатов проектирования на ЭВМ оптимальных систем виброизоляции в форму проектно-конструкторской и технологической документации.

При проектировании систем виброизоляции можно выделить следующие модели:

— функционально-структурную, определяющую состав элементов системы и логику их соединений;

— математическую, описывающую количественные соотношения между параметрами и характеристиками системы;

— топологическую, определяющую конструктивные расположения элементов с учетом технологии их изготовления;

— рабочую, включающую рабочую документацию на изготовление системы.

Проблема автоматизации проектирования и технической подготовки производства оптимальных систем виброизоляции включает создание математического обеспечения: 1) для автоматического выбора оптимального принципа работы, структуры и параметров систем виброизоляции; 2) для автоматизации конструирования систем виброизоляции с оптимальными структурой и параметрами; этот этап завершается разработкой чертежей, выдаваемых на графопостроители, магнитные диски и ленты, перфоленты и перфокарты для последующего ввода в ЭВМ, 3) для автоматизации изготовления узлов оптимальных систем виброизоляции на станках с числовым программным управлением.

Задача оптимального проектирования систем виброизоляции включает, в свою очередь:

— разработку и обоснование расчетных систем и математических моделей широкого класса систем виброизоляции, разработку требований по критериям и ограничениям на фазовые координаты и оптимизируемые параметры;

- разработку системы тестовых моделей и задач для сравнения эффективности алгоритмов проектирования оптимальных систем виброизоляции;

— сведение реальных задач к тестовым и отработку алгоритмов оптимальною проектирования для различных выбранных критериев останова, классов стохастических возмущений;

— выбор наиболее эффективных алгоритмов проектирования систем виброизоляции, оптимальных по заданным критериям;

— проектирование реальных систем виброизоляции различных объектов.

Диалоговые системы автоматизированного проектирования виброзащитных систем. Пакеты прикладных программ оптимизации не всегда обеспечивают эффективное решение задачи выбора оптимальной структуры и параметров системы виброизоляции, требуя иногда значительных затрат машинного времени. Наиболее эффективными являются диалоговые «человеко-машинные» системы автоматизированного проектирования, включающие банки моделей, банки данных, пакеты программ оптимизации и средства диалога и направленного имитационного моделирования. Такие системы позволяют получать приемлемую точность решения за сравнительно небольшое число итераций в результате удачного управления параметрами модели и алгоритмов в процессе вычислений.

При автоматизированном проектировании систем виброизоляции диалоговая система допускает возможность оперативного контроля и коррекции структуры и параметров оптимизированной модели на любом этапе счета; запоминание предыстории процесса; возможность диалогового формирования вектор-аргумента задачи оптимизации из числа варьируемых параметров модели; документирование различных промежуточных и окончательных результатов; простоту общения с системой при использовании в качестве терминального устройства графического дисплея со световым пером и реализации гибкой логики диалога; наглядность выводимой информации о ходе процесса минимизации и о свойствах минимизируемой функции в текущей точке в виде графиков и таблиц.

Примеры параметрической оптимизации систем виброизоляции. Пример 1. Рассмотрим простейшии случай, когда критерий эффективности виброизоляции задается в явиой форме от отимпзируемых параметров Пусть объект виброзащиты с массой опирается на пружину жесткостью с, параллельно с которой расположен демпфер с коэффициентом сопротивления Основание испытывает моногармонические колебания с частотой со и амплитудой ускорения Дополнительно действует импульс силы интенсивностью Задача оптимизации ставится в сиде условий (5) Требуется подобрать параметры таким образом, чтобы при ограничении на функционал от действия импульса силы амплитуда ускорений действия моногармонических колебаний была минимальной.

Для моногармопических колебаний с частотой а квадрат амплитуды ускорений для рассматриваемой системы

где относительное демпфирование; — собственная частота.

Функционал (13) выразим в алгебраической форме, воспользовавшись специальными таблицами несобственных интегралов [144]

Далее решаем задачу следующим об азом Положим и определим из (96)

Подставив полученный результат в получим

где

Приравнивая нулю производную в (97) и решая о помощью ЭВМ полученное алгебраическое уравнение относительно определим зависимости от Далее найдем

а также и При ограничении по (рис. 10) отношение должно быть не меньше найдеиион величины Так как слабо зависит от безразмерной комбинации то отношение частот не может быть выбрано очень малым.

Пример 2. Проведем параметрическую оптимизацию линейной системы, рассмотренном в примере На основание действует виброускорение, представляющее собой стационарный случайный процесс типа «белого шума» со спектральной плотностью Задачу оптимизации ставим для условий (4). В качестве ограничиваемого и минимизируемого функционалов выбраны дисперсии (16) и (15) при При расчете дисперсий воспользуемся таблицами [144] для записи выражения передаточной функции

Положим и определим из (100):

Выражение (101) подставим в (99) и получим

Приравняем нулю производную откуда получим 6 окончательно имеем

Таким образом, решение задачи параметрической оптимизации привело к тем же результатам, что и синтез оптимальной передаточной функции (51), так как для данного воздействия система виброизоляцни «пружина — демпфер» является наилучшей в классе линейных систем.

Пример 3. Рассмотрим задачу оптимизации нелинейной характеристики демпферов, установленных на всех колесах восьмиколесной машины типа с торсионной подвеской. Оптимизация производится для грунтовой дороги с дисперсией Корреляционные функции и спектральные плотности возмущений, соответствующие различным скоростям движения по этой дороге, а также принятые при расчетах параметры машины приведены в работе [226].

Рис. 10. Зависимость отношения частот от параметра

При многопараметрической оптимизации характеристики демпфера наземных машин в качестве критериев могут быть использованы для разных постановок задачи следующие выражения.

1. Вероятностный критерий минимума уровней х и Авероятности выбросов за которые ускорений и динамических ходов не должны превышать заданных (допустимых) значений

где значения и в выражениях

полное время работы системы; весовые коэффициенты; с — коэффициенты штрафа; константа -заданные вероятности невыбросов соответственно ускорений и деформаций за допустимые границы. Вероятности выбросов определяются из соотношении

Вероятности вычисляются как математические ожидания функций невыбросов Для мобнльиых машин положительные и отрицательные перегрузки можно принять одинаковыми, Динамические ходы сжатия и отбоя а также допустимые вероятности невыбросов за эти пределы задаются, как правило, при выдаче заказа на проектирование. В этом случае нет надобности введения весовых множителей, и оптимизация ведется по критерию

где — константа, а — такое ограничение что

вероятность иевыбросов

2. Критерии максимума скорости движения машины по заданному реальному профилю

станты

3. Критерий минимума дисперсий ускорений подрессоренного объекта может быть представлен в виде

Для ряда частных ситуаций может использоваться критерий максимума вероятности невыбросов

Возможны и другие формулировки задачи оптимизации параметров систем внброизоляции.

Представим характеристики демпферов в виде выражения если

где

Рассмотрим случай, когда В этом случае оптимизируй мыми являются параметры и

Результаты оптимизации нелинейной характеристики демпфера многоопориой машины по критерию (105) максимума скорости движения по товой дороге с дисперсией при вероятностях невыбросов приведены в табл 5. Для первоначально принятых параметров демпфера и скорости нарушаются ограничения, которые не удовлетворяются также и на первом удачиом по сравнению с нулевым приближением шаге поиска. На шестом удачном шаге получены оптимальные значения параметров нелинейной характеристики для которых обеспечивается максимальная скорость движении Дальнейшее увеличение скорости движения лимитируется ограничением, наложен на вероятность отрыва колеса третьей опоры.

5. Оптимизация по критерию максимума скорости движения

(см. скан)

6. С птимизация по критерию минимума уровня ускорений

(см. скан)

7. Оптимизация по критерию максимума скорости при допустимой вероятности неотрывов

(см. скан)

Оптимизация по критерию (103) минимума уровня ускорений в точке для полученной по критерию (105) скорости при несколько менее жестких ограничениях на вероятность отсутствия пробоев привела на втором удачном шаге к оптимальным значениям параметров демпфера (пересчитано для малых колебаний подрессоренной массы) и уровню (табл. 6).

В результате оптимизации по критерию максимума скорости при допустимой вероятности иеотрывов получена максимальная скорость (табл. 7) по сравнению при (табл. 8).

8. Оптимизация по критерию максимума скорости при допустимой вероятности неотрывов

(см. скан)

Оптимизация по критерию минимума дисперсий ускорений подрессоренного объекта на корме с учетом допустимых вероятностей невыбросов на рассчитанной по критерию (23) скорости привела на четвертом удачном шаге к Дисперсия ускорений при этом равна (см. табл. 4). Хотя в рассмотренных примерах оптимальные нелинейные характеристики различаются сравнительно мало, в критериях и (106) скорость движения машины является параметром, который выбирается перед началом оптимизации Поэтому более предпочтительным из рассмотренных является критерий (105).

В рассмотренном примере точность оптимизации, выполненной методом случайного поиска с самообучением, с целью экономии машинного времени задавалась достаточно грубо, благодаря этому район экстремума достигался за сравнительно небольшое число шагов поиска (см. табл. 5—8).