2. ОДНОМЕРНЫЕ ВИБРОЗАЩИТНЫЕ СИСТЕМЫ

Матрицы переноса. Повышение эффективности виброизоляции в ряде случаев (например, при динамическом гашеини колебаний) связано с использованием инерционных свойств виброизолирующего устройства. Учет этих свойств в линейных динамических моделях, в частности в рассматриваемых ниже одномерных виброзащитных системах, особенно просто осуществляется с помощью метода матриц переноса.

Рис. 10. Принципиальная схема одномерной линейной колебательной системы

При использовании метода матриц переноса [12, 270] рассматриваемая одномерная линейная система (рис. 10) с помощью нормальных к ее оси сечений разделяется на и частей, которым присваиваются номера от 1 до Динамическое состояние участка характеризуется абсолютными смещениями и хего граничных сечений и продольными силами возникающими в этих сечениях. Для определенности будем считать, что представляют силы, с которыми на сечения участка действуют соответственно участки; смещения и будем отсчитывать от Равновесных положений соответствующих сечений; положительные направления изображены на рис. 10.

Вследствие линейности системы величины связзны соотношениями

эквивалентными матричному равенству

где

Матрица называется матрицей переноса участка от сечения к сечению матрица переноса того же участка с противоположным направлением переноса — от сечения к сечению будет обратной матрице

Элементы матрицы отображают динамические свойства участка и являются функциями оператора дифференцирования В этом смысле соотношения (32) или (33) фактически представляют операторную запись дифференциальных уравнений движения участка. Дифференциальные уравнения движения системы в целом представляют при этом совокупность равенств вида (33), составленных для всей системы или отдельных ее частей, и граничных условий, задающих закон движения граничных сечений (случай кинематического возбуждения) или определяющих действующие в этих сечениях внешние силы (силовое возбуждение).

5. Матрицы переноса элементов виброизолирующих устройств

(см. скан)

В табл. 5 приведены матрицы переноса простейших элементов, из которых обычно мнонуются расчетные модели виброзащигных систем, трактуемых как системы Сосредоточенными параметрами. Определители матриц переноса каждого из рассматриваемых элементов равны единице:

что построение матриц, обратных ярргла возможно (для приведенных в табл. 5 элементов

Рис. 11. Схема последовательного соединения участков одномерной системы

Матрица переноса совокупности последовательно соединенных участков. При последовательном соединении участков имеем уравнений типа (33)

откуда

Таким образом, матрица переноса участка, образованного последовательным соединением участков (рис. 11) с матрицами переноса равна их произведению, выполняемому в порядке, противоположном нумерации соединенных участков

Пример. Вычислим матрицы переноса последовательного соединения безынерционных пругодемппрованпых вибронзоляторов. Согласно габл 5

Следовательно

Если соединяемые виброизоляторы одинаковы то рассматриваемое соединение эквивалентно одному безынерционному виброизолятору с эквивалентными коэффициентами жесткости и демпфирования

поскольку в случае

Приведение последовательно соединенных виброизоляторов к одному эквивалентному возможно и в том случае, когда

Действительно, при лом

Эквивалентные жесткость и демпфирование определяются по формулам

Если условия (37) не выполняются, замена последовательного соединения виброизо торов одним эквивалентным невозможна

Матрица переноса совокупности параллельно соединенных участков. Пусть участок, ограниченный сечениями образован параллельным соединением участков с матрицами переноса (рис 12) Такое соединение эквивалентно одному участку с матрицей переноса элементы которой выражаются элементы матриц переноса соединяемых час нов по формулам

где

причем через обозначены элементы матрицы из соединяемых участков.

Рис. 12 Схема параллельного соединения участков одномерной системы

Пример Вычислим матрицы переноса парачжлтио соединенных безынерционных виброизоляторов

Для безынерционного виброизолятора в соответствии с табл 5 имеем

Подставляя данные в (39). получим

Следовательно согласно (38), будем иметь

где

Таким образом, параллельное соединение безынерционных вибронзолягоров эквива леитно (при любых соотношениях межу их параметрами) одному безынерционному вибро изолятору с коэффициентами жесткости и демпфирования, вычистяемыми по формулам

Установившиеся колебания при гармоническом возмущении. В лниейной демпфированной системе, подверженной гармоническому возмущеншо частоты возникает режим установившихся вынужденных гармонических колебаний той же частоты По гармоническому закону будут изменяться также смещения и силы во всех сече ниях системы При этом процессы удобно представить в комплексной форме

амплитуды; фазовые сдвиги, обычно отсчитываемые от фазы возмущения, комплексные амплитуды процессов Комплексные амплитуды определяются из выражений

матрица переноса участка, в выражение элементов которой подставлено - столбцовые матрицы комплексных амгпнтуд смешений и сил в сечениях

Соотношения (41) представляют алсебраическую систему уравнений относительно комплексных амплитуд смещений и сил в заданных сечениях модели, после присое соответствующих граничных условии рассматриваемая система становится определенной.

Рис. 13. Расчетная модель виброзащитной системы, состоящей из двух последовательно соединенных участков а — кинематическое возму щение силовое возмущение

Динамическое состояние элементов модели можно юывать и другими величинами, например, вместо смещений вводить скорости ускорения и т. п. Однако это не вносит принципа оьныч изменении в определение комплексных амплитуд указанных величин, поскольку комплексные амплитуды скорости и ускорения сечеиня связаны с зависимостями

Для производной порядка гармонического процесса имеем

Поэтому из решения (41) легко получить выражения для амплитуд скоростей и ускорений во всех сечениях модели.

Пример Вычислим характерное параметры движения для модели на рис 13, а при кинематическом возбуждении

Рассмотрим участки (внброизолятор) и 2 (объект) с матрицами переноса

Граничные условия для той схемы имеют вид

причем неличину считать вещественной

В соответствии с матрица переноса последовательно соединенных участков 1 и 2 имеет вид

Используя граничные условия (42) поручим

Выражения комплексных амплитуд икорения и деформации виброизолятора имеют вид

Пример. Вычислим характерные параметры движения для модели на рис 13, б при силовом возбуждении

I раннчные условия в имеют вид

тогда

Величина является для рассматриваемого возмущения одним из характерных параметров движения, другим важным параметром будет деформация вибронзолятора

Эффективность виброзащитной системы с инерционным виброизолятором при гармоническом возбуждении. Будем считать основной целью виброизоляцни снижение перегрузки объекта при кинематическом возмущении и ослабление силы передаваемой на объект, при силовом. Как и в случае безынерционного виброизолн тора, отношение амплитуд ускорения объекта и источника при кинематическо возбуждении и отношение амплитуд сил, приложенных к источнику и объекту пр силовом возбуждении, оказываются совпадающими с коэффициентом виброизоляции , величина которого для рассматриваемой расчетной модели определяете зависимостью

Условие эффективности виброзащиты по критерию имеет вид

где величина определяет требуемую степень защиты. При заданной динамической модели виброизолирующего устройства неравенство (46) определяет частотный диапазон, при котором рассматриваемое устройство эффективно. При (безынерционный упругодемпфированный виброизолятор) выражение (45) непосредственно переходит в (12).

Аналогичным образом вводятся коэффициенты эффективности коэффициенты в случае инерционного виброизолятора

где значения элементов при Условия эффективности определяют частотные диапазоны, при которых виброизоляция эффективна по соответствующим критериям.

Пример. Рассмотрим виброзащитную систему с промежуточной массой в виброизо лнрующеч устройстве (рис. 14) Демпфирование в внброизоляторе не учитывается

Рис. 14. Расчетная модель виброзащитной системы с промежуточной массой в виброизолирующем устройстве

В соответствии с (36) матрица переноса впброизолятора имеет вид

где

Таким образом,

Подставляя (49) в (46)-(48), получим

Наличие сосредоточенной масса в внброизолнрующем устройстве существенно изменяет виброзащитные свойства системы по сравнению с отсутствием такой массы В частности, при имеет место эффект, аналогичный динамическому гашению (см гл. XIV) относительных (иа чаатоте и абсолютных (на частоте колебаний объекта, где

поскольку на указанных частотах обращаются в ноль соответственно и Минимальное значение отлично от нуля и достигается при где

Вместе с тем на частотах где

значения получаются бесконечно бэльшнмн, что соответствует резонансным колебаниям виброзащитной системы на этих частотах. Общий вид зависимостей представляющих соответствующие амплитудно-частотные характеристики виброзащитной системы с промежуточной массой в виброизолирующем устройстве, изображен на рис 15.

Рис. 15. Зависимости коэффициентов эффективности от расстройки

Промежуточная масса, как правило, значительно меньше массы объекта, так что в реальных ситуациях параметр является малым. При этом из следует

Как видно из соотношений (54) антиреэвнансныс частоты гц и оказываются бликими к резонансной частоте пазтому эффективность динамического гашення весьма чувствительна к изменению частоты воздействия, так что получение эффекта динамического ащеиия требует тщательной настройки системы на антирезонансные частоты гц или

В табл, 6 приведены выражения для элементов матрицы переноса инерционного виброизолирующего устройства для различных сочетаний упругих и демпфирующих элементов. Подставляя значения в (45), (47) и (48), получим выражения соответствующих коэффициентов эффективности как функций пара метров виброзащитной системы.