Часть вторая. ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Глава IV. ДИССИПАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Диссипативные силы. При колебаниях упругих систем происходит рассеяние энергии в окружающую среду, а также в материале упрушх элементов и в узлах сочленения деталей конструкции. Эти потери вызываются силами неупругого сопротивления — диссипативными силами, на преодоление которых непрерывно и необратимо расходуется энергия колебательной системы или возбудителя колебаний. Для описания диссипативных сил используют характеристики, представляющие зависимость диссипативной силы от скорости движения масс колебательной системы или от скорости деформации упругого элемента. Вид характеристики определяется природой сил сопротивления. Наиболее распространенные характеристики диссипативных сил показаны на рис. 1.

Вязкое сопротивление (рис. 1, а) характеризуется коэффициентом сопротивления и описывается выражением

Такую характеристику имеют диссипативные силы, возникающие при малых колебаниях в вязкой среде (газе или жидкости) а также в ряде гидравлических демпферов.

При больших виброскоростях имеет место квадратичная зависимость (рис, 1, б) диссипативной силы от скорости!

Часто в конструкциях демпферов используют элементы сухого трения, характеристика которого (рис. 1, в) имеет вид

где сила сухого трения.

Все приведенные зависимости можно представить единой нелинейной характеристикой

где постоянные.

При равном 1, 2 и 0, соответственно получаются характеристики

Гистерезис. Во многих случаях разделение полной силы на упругую и диссипативную силы является условным, а зачастую и вообще физически неосуществимым. Последнее относится прежде всего к силам внутреннего трения в материале упругого элемента и к силам конструкционного демпфирования, связанного с диссипацией энергии при деформации неподвижных соединений (заклепочных, резьбовых, прессовых и т. д.) [151, 161],

Если провести циклическое деформирование упругодиссипативного элемента (рис. 2), например, по закону

то обнаруживается различие линий нагрузки и разгрузки на диаграмме сила—перемещение (рис. 3). Это явление называется гистерезисом.

Рис. 1. Характеристики днссипативиых сил

Площадь, ограниченная петлей гистерезиса, выражает энергию рассеянную за один цикл деформирования, и определяет работу диссипативных сил

где период деформирования.

Рис. 2. Упругодиссипатнвный элемент

Рис. 3. Петли гистерезиса

Пусть, например, динамическая характеристика упругодиссипативнога элемента имеет вид

где линейная упругая составляющая.

Петля гистерезиса такого элемента с линейной диссипативной силой (1) при деформации по закону (5) имеет вид эллипса (рис. 3, а). Угол а наклона его большой оси характеризует жесткость элемента Рассеянная за цикл энергия (6)

На рис. 3, б показана петля гистерезиса элемента с сухим трением (3). Для рассеянная энергия

Для элемента с диссипативной характеристикой вида (4) рассеянная за период энергия

где Некоторые значения приведены ниже.

Коэффициент поглощения. Рассеяние энергии при колебаниях упругодиссипативной системы удобно оценивать с помощью коэффициента поглощения, равного отношению потерянной за цикл энергии к наибольшему значению потенциальной энергии упругого элемента. При упругой линейной характеристике

коэффициент поглощения

Согласно в зависимости вида характеристики диссипативной силы коэффициент поглощения является функцией частоты при вязком демпфировании

амплитуды при сухом трении (3)

амплитуды и частоты в общем случае (4)

Эквивалентная упруговязкая модель При отыскании периодических колебаний вида (5) системы, диссипативные свойства которой заданы одним из изложенных выше способов, исходную динамическую характеристику заменяют эвивалентной упруговязкой моделью

Коэффициент эквивалентное: демпфирования подбирают так, чтобы исходная и заменяющая схемы обладали одинаковой поглощающей способностью Энергия (8), рассеянная линейным эквивалентным демпфером,

Согласно (12) исходный диссипатчвнын элемент, имеющий коэффициент погло щения рассеивает энергию

Приравнивая (17) и (18) получаем эквивалентный коэффициент сопротивления

Коэффициент зависит не только от характеристик диссипативных сил, но и от параметров процесса Так, для силы сухого трения с учетом (14) находим

Для квадратичного трения (2) из (19), (15) и данных на стр 129 при имеем

Учитывая (5), (6), (12), выражению (19) можно придать вид

Полученное выражение совпадает с коэффициентом гармонической линеаризации диссипативных характеристик (см т. 2). Формулой (22) пользуются в том случае, когда диссипативные характеристики заданы соотношениями типа либо кон фигурацией петли гистерезиса, Зависимость (19) удобно использовать, если

рассеивающая способность задана коэффициентом поглощения при этом можно не инте ресоваться ни исходной характеристикой, ни формой петли гистерезиса, а использовать известные, например, из эксперимента зависимости величины от параметров процесса Здесь, однако, весьма существенно, чтобы условия эксперимента максимально приближались к условиям работы рассчитываемой системы.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение движения массы записывается в виде

Отыскивая решение (5) и проводя линеаризацию (16) нелинейной функции вместо (23) получим

В результате решения линеаризованного уравнения (24) амплитуда

где собственная частота системы

С помощью (19) выражению (25) можно придать вид

Величины в (25), (26) являются функциями амплитуды и частоты, т. е. Поэтому эти соотношения в общем случае представляют со бой уравнения, решение которых и определяет искомую амплитуду

Для резонансной амплитуды, достигаемой при малом демпфировании на частоте со имеем

Для линейной системы соотношение (27) можно записать в виде (см.

где логарифмический декремент колебаний, коэффици демпфирования

Из сравнения (28), (29) видно, что

В общем случае величиной можно пользоваться только для отыскания резо нансной амплитуды, так как логарифмический декремент характеризует темп зату хання собственных колебаний частоты Однако в тех случаях, когда поглощающие свойства системы не зависят от частоты, т. е. величины и 6 оказы ваются равноправными, и с помощью (26), (30) можно отыскивать амплитуду на любой частоте

Учет внутреннего трения в материалах. Многочисленными экспериментами уста новлено, что поглощающие свойства большинства материалов не зависят от частоты деформирования. Поэтому диссипативные свойства материала удобно характеризо вать с помощью коэффициента поглощения или связанного с ним равенством (30) логарифмического декремента колебаний Эти величины, определяемые, как пра вило, экспериментально, представляют в виде зависимостей от амплитуд относительных деформаций, нормальных или касательных напряжений (см параграф 2) 1

Используя такое представление, реальную характеристику материала заменяют эквивалентной упруговязкой моделью, аналогичной рассмотренной выше При этом

в задачах о продольных и изгибных колебаниях нормальные напряжения а связывают с относительной деформацией в равенством

В задачах о крутильных колебаниях касательные напряжения

В (31), (32) обозначено: модуль упругости; модуль сдвига; у — сдвиг;

— линеаризованный параметр диссипации.

Дифференциальные уравнения продольных, крутильных и изгибных вынужденных колебаний стержня с учетом диссипации записывают в виде

где и перемещение сечений стержня; угол поворота сечений стержня; площадь поперечного сечения; полярный момент инерции сечения и момент инерции при кручении; момент инерции относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости изгиба (геометрические характеристики поперечных сечений (см. т. 1, гл. VIII); плотность материала; интенсивность распределенной вынуждающей силы.

Решения уравнений (4) — (36) подчиняются краевым условиям, аналогичным приведенным в гл. VIII, т. 1, в которых переменные следует умножить на оператор

Поскольку коэффициент поглощения зависит от амплитуды относительной деформаций или напряжения и, следовательно, является переменной вдоль стержня величиной, ее заменяют постоянным приведенным значением подбираемым из условия неизменности рассеиваемой энергии. Приведенный коэффициент поглощения

где максимальная потенциальная энергия деформации, определяемая при известной форме продольных, крутильных и изгибных колебаний соотношениями:

Линеаризованный параметр диссипации вычисляют затем помощью (33)

Найденные таким путем приведенные величины и зависят не только от диссипативных характеристик материала, но и от параметров колебательного процесса, формы колебаний и геометрических характеристик рассчитываемой системы. При отыскании форм колебаний можно использовать разнообразные приближенные приемы, в частности, пренебрегать диссипацией, полагая, что форма колебаний мало чувствительна к слабому демпфированию.

Пример 1. Рассмотрим продольные колебания стержня (рис. возбуждаемого силой Уравнение движения (34) и краевые условия запишем в виде

где скорость распространения продольной волны в стержне. Отыскивая решение (4 2) в виде

где - динамическая податливость, связывающая перемещение сечеиия х с силой, действующей в сечении вместо (42), (43) получим

Рис. 4. Расчетные схемы

Запишем решение уравнения (45), удовлетворяющее граничным условиям (46),

где

Полагая коэффициент поглощения о малым и учитывая (41), из (47) при с точностью до величин первого порядка малости получим

где

После подстановки (48) в (44) находим амплитуду крайнего сечения

Если коэффициент поглощения формула (49) сразу определяет амплитуду на любой частоте Для резонансных амплитуд, достигаемых на частотах , имеем

Если коэффициент поглощения то для нахождения приведенного коэффициента необходимо использовать (37), (38). Положив в имеем

и из (44) выражаем форму колебаний через амплитуду а свободного конца

Пусть, например,

где постоянные.

Согласно (52)

После подстановки (53) и (54) в (37) и (38) получим

С учетом (53) из (49) получаем уравнение для нахождения амплитуды Пример 2. Рассмотрим продольные колебания стержня с присоединенной к его концу массой (рис. 4, б) Отыскивая движения сечений стержня вида и запишем с помощью оператора динамической податливости

При находим

С учетом (48) получаем выражение для амплитуды амассы

где

Форма колебаний определяется соотношением (52), и дальнейший анализ аналогичен приведенному в предыдущем примере.

Остановимся на случае, когда частота Ограничивая в (56) разложения величин, содержащих членами первого порядка малости, и учитывая принятые обозначения, получаем выражение, совпадающее с (26)

где статическая жесткость стержня;

Согласно (52) форма колебаний точно соответствует эпюре статической деформации

и, следовательно, относительная деформация При этом из (37), (38), (53) находим и для амплитуды а имеем следующее уравнение.

Резонансная амплитуда определяется при

Различные аспекты теории внутреннего трения изложены в [148, 151, 161] Примеры расчета разнообразных систем можио найти в [10-13, 105, 153, 160-163]