Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Часть вторая. ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙГлава IV. ДИССИПАТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯДиссипативные силы. При колебаниях упругих систем происходит рассеяние энергии в окружающую среду, а также в материале упрушх элементов и в узлах сочленения деталей конструкции. Эти потери вызываются силами неупругого сопротивления — диссипативными силами, на преодоление которых непрерывно и необратимо расходуется энергия колебательной системы или возбудителя колебаний. Для описания диссипативных сил используют характеристики, представляющие зависимость диссипативной силы от скорости движения масс колебательной системы или от скорости деформации упругого элемента. Вид характеристики определяется природой сил сопротивления. Наиболее распространенные характеристики диссипативных сил показаны на рис. 1. Вязкое сопротивление (рис. 1, а) характеризуется коэффициентом сопротивления
Такую характеристику имеют диссипативные силы, возникающие при малых колебаниях в вязкой среде (газе или жидкости) а также в ряде гидравлических демпферов. При больших виброскоростях имеет место квадратичная зависимость (рис, 1, б) диссипативной силы от скорости!
Часто в конструкциях демпферов используют элементы сухого трения, характеристика которого (рис. 1, в) имеет вид
где Все приведенные зависимости можно представить единой нелинейной характеристикой
где При Гистерезис. Во многих случаях разделение полной силы на упругую и диссипативную силы является условным, а зачастую и вообще физически неосуществимым. Последнее относится прежде всего к силам внутреннего трения в материале упругого элемента и к силам конструкционного демпфирования, связанного с диссипацией энергии при деформации неподвижных соединений (заклепочных, резьбовых, прессовых и т. д.) [151, 161], Если провести циклическое деформирование упругодиссипативного элемента (рис. 2), например, по закону
то обнаруживается различие линий нагрузки и разгрузки на диаграмме сила—перемещение (рис. 3). Это явление называется гистерезисом.
Рис. 1. Характеристики днссипативиых сил Площадь, ограниченная петлей гистерезиса, выражает энергию рассеянную за один цикл деформирования, и определяет работу диссипативных сил
где
Рис. 2. Упругодиссипатнвный элемент
Рис. 3. Петли гистерезиса Пусть, например, динамическая характеристика упругодиссипативнога элемента имеет вид
где Петля гистерезиса такого элемента с линейной диссипативной силой (1) при деформации по закону (5) имеет вид эллипса (рис. 3, а). Угол а наклона его большой оси характеризует жесткость элемента
На рис. 3, б показана петля гистерезиса элемента с сухим трением (3). Для
Для элемента с диссипативной характеристикой вида (4) рассеянная за период энергия
где
Коэффициент поглощения. Рассеяние энергии при колебаниях упругодиссипативной системы удобно оценивать с помощью коэффициента поглощения, равного отношению потерянной за цикл энергии
коэффициент поглощения
Согласно
амплитуды при сухом трении (3)
амплитуды и частоты в общем случае (4)
Эквивалентная упруговязкая модель При отыскании периодических колебаний вида (5) системы, диссипативные свойства которой заданы одним из изложенных выше способов, исходную динамическую характеристику
Коэффициент
Согласно (12) исходный диссипатчвнын элемент, имеющий коэффициент погло щения
Приравнивая (17) и (18) получаем эквивалентный коэффициент сопротивления
Коэффициент
Для квадратичного трения (2) из (19), (15) и данных на стр 129 при
Учитывая (5), (6), (12), выражению (19) можно придать вид
Полученное выражение совпадает с коэффициентом гармонической линеаризации диссипативных характеристик (см т. 2). Формулой (22) пользуются в том случае, когда диссипативные характеристики заданы соотношениями типа рассеивающая способность задана коэффициентом поглощения Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Уравнение движения массы
Отыскивая решение (5) и проводя линеаризацию (16) нелинейной функции
В результате решения линеаризованного уравнения (24) амплитуда
где С помощью (19) выражению (25) можно придать вид
Величины Для резонансной амплитуды, достигаемой при малом демпфировании на частоте со
Для линейной системы соотношение (27) можно записать в виде (см.
где Из сравнения (28), (29) видно, что
В общем случае величиной Учет внутреннего трения в материалах. Многочисленными экспериментами уста новлено, что поглощающие свойства большинства материалов не зависят от частоты деформирования. Поэтому диссипативные свойства материала удобно характеризо вать с помощью коэффициента поглощения Используя такое представление, реальную характеристику материала заменяют эквивалентной упруговязкой моделью, аналогичной рассмотренной выше При этом в задачах о продольных и изгибных колебаниях нормальные напряжения а связывают с относительной деформацией в равенством
В задачах о крутильных колебаниях касательные напряжения
В (31), (32) обозначено:
— линеаризованный параметр диссипации. Дифференциальные уравнения продольных, крутильных и изгибных вынужденных колебаний стержня с учетом диссипации записывают в виде
где Решения уравнений (4) — (36) подчиняются краевым условиям, аналогичным приведенным в гл. VIII, т. 1, в которых переменные Поскольку коэффициент поглощения
где
Линеаризованный параметр диссипации
Найденные таким путем приведенные величины Пример 1. Рассмотрим продольные колебания стержня (рис.
где
где
Рис. 4. Расчетные схемы Запишем решение уравнения (45), удовлетворяющее граничным условиям (46),
где Полагая коэффициент поглощения о малым и учитывая (41), из (47) при
где После подстановки (48) в (44) находим амплитуду
Если коэффициент поглощения
Если коэффициент поглощения то для нахождения приведенного коэффициента
и из (44) выражаем форму колебаний через амплитуду а свободного конца
Пусть, например,
где Согласно (52)
После подстановки (53) и (54) в (37) и (38) получим
С учетом (53) из (49) получаем уравнение для нахождения амплитуды
При
С учетом (48) получаем выражение для амплитуды амассы
где Форма колебаний определяется соотношением (52), и дальнейший анализ аналогичен приведенному в предыдущем примере. Остановимся на случае, когда частота
где Согласно (52) форма колебаний точно соответствует эпюре статической деформации
и, следовательно, относительная деформация
Резонансная амплитуда определяется при
Различные аспекты теории внутреннего трения изложены в [148, 151, 161] Примеры расчета разнообразных систем можио найти в [10-13, 105, 153, 160-163]
|
1 |
Оглавление
|