2. УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА УПРУГОМ ПОДВЕСЕ

Уравнения движения твердого тела на нелинейном подвесе. В схемах пространственных подвесов расстояния между виброизоляторами, как правило, значительно превышают их рабочие ходы. Поэтому углы поворота объекта относительно основания остаются малыми и нелинейность его колебаний обусловливается Лишь нелинейностью характеристик подвеса; таким образом, имеют место малые нелинейные колебания объекта.

Рис. 13. Схема определения положения упруго подвешенного тела на подвижном основании неподвижная система отсчета; подвижная система отсчета, жестко связанная с основанием; главные центральные оси инерции несомого тела)

Отнесем движение основания к неподвижным осям (рис. 13). Положение основания зададим координатами полюса О осей жестко связанных с основанием, и углами поворота осей относительно осей Положение объекта зададим относительными (по отношению к подвижным осям) координатами его центра тяжести С и углами поворота его главных центральных осей инерции относительно осей Все три системы осей будем считать совпадающими в момент начала удара,

Тогда, вводя векторы

можно записать дифференциальные уравнения. малых нелинейных колебаний объекта в виде

Здесь вектор обобщенных реакций подвеса; - вектор обобщенных сил инерции; А — диагональная матрица

Аналитическое исследование системы (41) из-за нелинейной зависимости компонентов вектора от обобщенных координат системы оказывается весьма

затруднительным, если только не происходит разделения движений объекта по координатам

В некоторых случаях колебания объекта, связанные по координатам могут оказаться не связанными по другим обобщенным координатам. В частности, для частично виброизолированных объектов (где число деформирующихся упругих элементов совпадает с числом степеней свободы системы) переход к обобщен координатам деформация элемента) может привести к развязке колебаний по этим координатам [105].

Пусть вектор новых обобщенных координат. При малых колебаниях системы

Если неособенная матрица (что имеет место, когда подвес обеспечивает поддержание несомого тела на несущем), дифференциальное уравнение малых колебаний объекта по координатам можно привести к виду

Здесь -мерный вектор реакций упругих элементов подвеса; матрица, обратная символом обозначена операция транспонирования матрицы. Матрица определяется лишь координатами точек крепления виброизоляторов и направляющих косинусов их осей Поэтому при надлежащем размещении виброизоляторов можно привести матрицу к диагональному виду, что обеспечит разделение колебаний объекта по координатам Условия разделения для некоторых схем подвеса приведены в табл. 3.

Малые колебания виброзащитиой системы при ударе. В отдельных случаях, например, при не слишком интенсивных ударах или при ударах, не сопровождающихся изменением скорости, деформации виброизоляторов подвеса могут не выходить за пределы линейности их силовых ударных характеристик. В подобных ситуациях поведение виброзащитной системы может изучаться на основе ее линейной модели.

Дифференциальные уравнения колебаний объекта в координатах можно в этом случае получить из (41), представляя вектор

где С — матрица ударных жесткостей подвеса с элементами вычисляемыми по (10) или гл. VII при ударная жесткость элемента).

Таким образом, приходим к системе дифференциальных уравнений движения несомого тела, записанных в виде

Поскольку -неособенная матрица, уравнение (43) можно также представить в виде

где вектор обобщенных абсолютных ускорений объекта; форма записи (44) удобна для вычисления ускорений отдельных точек тела.

Интегрирование линейной системы (43) осуществляется обычными способами. Так, частное решение (43), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, можно записать в виде

где — весовая матрица системы (43) [176], элемент которой представляет реакцию системы по координате на единичный обобщенный импульс, соответствующий координате

(см. скан)

Анализ движения объекта удобно производить в главных или нормальных координатах [12], вектор которых в случае малых колебаний связан с вектором исходных обобщенных координат соотношением

причем переход к главным координатам сводится к отысканию такой матрицы линейного преобразования (46), в результате которого система (43) распадается на шесть независимых уравнений второго порядка по каждой из главных координат

Каждое из уравнений (47) может быть проинтегрировано одним из рассмотренных выше способов. Отыскание матрицы не проще нахождения весовой матрицы системы или непосредственного построения частного решения линейной системы (43).

Вычисление абсолютных ускорений точек объекта. Пусть дифференциальные уравнения движения объекта проинтегрированы так, что известен закон изменения вектора Тогда можно считать известным и вектор абсолютного ускорения любой точки объекта. Пусть, например, координаты некоторой точки объекта в осях При малых колебаниях системы абсолютное ускорение а точки будет

где абсолютное ускорение центра масс С объекта; вектор его абсолютного углового ускорения; радиус-вектор точки в осях Проектируя (48) на неподвижные оси получим

Как видно из (48) и (49), максимальным перегрузкам подвержены точки объекта, наиболее удаленные от его центра масс.

Вычисление деформаций виброизоляторов подвеса. Связь между вектором 6 динамических составляющих деформаций подвеса и вектором относительных обобщенных координат объекта устанавливается соотношением (42). Для нахождения полных деформаций к 6 необходимо добавить вектор его статических деформаций, определяемых из статического расчета подвеса. Таким образом, вектор полных деформаций виброизоляторов

где элементы матрицы выражаются через координаты точек крепления виброизоляторов к объекту и направляющие косинусы осей упругих элементов. В однонаправленных подвесах наибольшими оказываются деформации виброизоляторов, наиболее удаленных от центра масс объекта.

Пример. Вычислим ускорения точек крепления виброизоляторов к объекту (схема 2 при , табл. 3) и деформации виброизоляторов при ударном воздействии вида

Кинетическая в потенциальная энергия еистемы определяется выражениями

откуда

Дифференциальные уравнения движения системы принимают вид

где

При условии связанными будут лишь колебания по координатам колебания по координате оказываются независимыми от и в связи с тем, что будут возбуждаться (по крайней мере в случае рассматриваемой линейной расчетной модечи [58]) Для определения движения объекта по связанным координатам (предполагается что ) построим весовую матрицу

разыскивая частные решения системы

при начальных условиях Обозначим и собственные частоты, и коэффициенты форм главных колебаний

( — амплитуды соответствующих координат в главном колебании). Тогда

Учитывая, что возмущение действует только по координате , получим

или, принимая во внимание (51),

В рассматриваемом примере виброчзолятор 3 не Деформируется; Динамические состав ляющие деформаций виброизоляторов 1 и 2 равны

Ускорения точек крепления виброизоляторов к объекту вычисляются по (49),

где заданные положительные числа)