4. АНАЛИЗ ДЕЙСТВИЯ ВИБРАЦИИ

Характер нарушений условий функционирования объектов под действием вибрации определяется видом механических воздействий и свойствами объекта. Анализ возможных нарушений связан с построением модели объекта, изучением его реакции на заданное воздействие, формированием критерия качества и сравнением по Данному критерию результирующих показателей с допустимыми величинами. Рассмотрим последовательные этапы указанного анализа.

Модели объектов виброзащиты и их частотные характеристики.

Модель объекта Должна отражать основные черты реальной системы, влияющие на оценку ее динамической реакции, и вместе с тем быть удобной для анализа и интерпретации результатов. Наиболее приемлемой этих условиях является линейная модель, достаточно хорошо передающая свойства широкого класса конструкций при малых колебаниях (см. т. 1). Удобной формой описания свойств линейного объекта в условиях вибрационных воздействий являются операторы динамической податливости связывающие силу приложенную в заданном направлении в точке В объекта

с проекцией перемещения точки А на некоторое направление Обратные операторы называются операторами динамической жесткости, Характеристики связывающие силу, приложенную в точке А, с проекцией перемещения той же точки на направление действия силы, называются операторами динамической податливости и динамической жесткости в точке А.

Выражения операторов совпадают с отношением преобразований Лапласа для преобразуемых операторами функций.

Например:

Здесь оператор преобразования Лапласа; комплексное число.

В силу свойств преобразования Лапласа

где импульсная переходная функция, являющаяся реакцией системы в точке А на приложение в точке В воздействия в виде -функции.

Функция связана с оператором формулами преобразования Лапласа:

где абсцисса сходимости, выбираемая так, чтобы удовлетворялось условие

Для механических систем, у которых любое движение сопровождается рассеянием энергии, можно принять В этом случае преобразование Лапласа при переходит в преобразование Фурье, а операторы динамической податливости и жесткости становятся частотными характеристиками объекта называемыми соответственно динамической податливостью и динамической жесткостью. Модуль этих выражений равен отношению амплитуд гармонических переменных на «входе» и «выходе» объекта на частоте о, а аргумент характеризует величину фазового искажения при передаче гармонического воздействия на этой частоте.

Создавая нормированное гармоническое воздействие и измеряя соответствующую установившуюся реакцию экспериментально снимают частотные характеристики объекта:

Выражение для оператора динамической податливости может быть представлено в виде (см. гл. VIII)

Здесь — собственные частоты консервативной системы; нормированные коэффициенты формы кодебаний в точках безразмерный коэффициент линейного демпфирования на форме колебаний.

При опуская малые величины второго порядка, имеем частотную характеристику объекта

Таким образом, динамическая податливость объекта с степеням» свободы представлена в виде суммы податливостей систем с одной степенью свободы, имеющих собственные частоты консервативной системы. На этих частотах динамическая податливость возрастает по модулю ввиду появления в знаменателе слагаемого малого члена С увеличением номера формы колебаний величина «амплитуды» такого возрастания уменьшается. На рис. 6 показан примерный вид зависимости модуля динамической податливости от частоты.

Рис. 6. Зависимость модуля динамической податливости от частоты

Рис. 7. Модели объектов виброзащиты

К виду, аналогичному (49), могут быть приведены выражения операторов динамических податливостей ряда типовых моделей объектов с распределенными параметрами, например упругих стержней, совершающих продольные, крутильные или поперечные колебания, балок, совершающих изгибные колебания, и т. п. [12]. Число форм колебаний при этом неограниченно увеличивается, а коэффициенты форм становятся функциями непрерывной координаты у, характеризующей положение рассматриваемого сечения. Обозначая их соответственно имеем при передаче воздействия в сечение от сосредоточенной нагрузки, приложенной к сечению

При рассмотрении указанных систем механизм диссипации энергии обычно учитывают в форме внутреннего трения в материале, выражаемого через коэффициент поглощения (см. гл. IV). В этом случае и выражение для динамической податливости принимает вид

Практическое значение имеют лишь несколько начальных форм колебаний.

При рассмотрении математических моделей конкретных линейных систем выражения для динамических податливостей могут быть вычислены непосредственно путем отыскания установившегося решения от действия гармонической силы единичной амплитудой (см., например, стр. 133).

Во многих случаях допустимо пренебрежение всеми формами колебаний, за исключением одной преобладающей, Такие объекты обычно моделируются системами с одной степенью свободы (рис, 7), имеющими массу коэффициент упругости с

и коэффициент вязкого трения При возбуждении системы силой (рис. 7, а) модуль динамической податливости имеет следующий вид

Аналогичный вид имеет частотная характеристика реакции системы на кинематическое возбуждение основания с ускорением [рис. 7, б; при этом в (51) отсутствует]. Зависимость (51) формально следует из (49) при Выражения динамических податливостей для некоторых наиболее распространенных линейных механических моделей объектов виброзащиты приведены в гл. VIII Более сложные модели, учитывающие пластические свойства конструкционных материалов, рассмотрены в гл.

Реакция объекта на механическое воздействие.

Вычисление реакции объекта на заданное механическое воздействие может осуществляться как во временных, так и в частотных представлениях. Первое производят по (47) и выполняют в тех случаях, когда закон изменения механического воздействия во времени имеет существенное значение. Как правило, его применяют при рассмотрении ударных воздействий, длительность которых соизмерима с периодами собственных колебаний объекта (см. гл. XII).

Реакцию системы на вибрационное воздействие удобнее вычислять в частотных представлениях. Для гармонических и полигармонических воздействий вычисления амплитудных и фазовых искажений осуществляют для каждой гармонической компоненты процесса по (48). В силу линейности объекта эффект от действия нескольких гармонических компонент равен сумме воздействий от каждой из них.

Для стационарных случайных воздействий, характеризуемых, как правило, спектральной плотностью спектральная плотность реакции [206]

С помощью (22) находят среднеквадратичное значение реакции

Для системы, показанной на рис. 7, а, предполагая спектральную плотность воздействия достаточно плавной функцией, имеем, например

Дисперсия напряжений в упругом элементе

Качество объектов виброзащиты.

Критерии качества объекта, испытывающего вибрацию, формулируются в виде величин, характеризующих реакцию объекта или его элементов на данное механическое воздействие. В тех случаях, когда необходимо обеспечить ограниченные перемещения, в качестве критерия принимают максимальное отклонение от положения равновесия. Прочность конструкции или ее элементов характеризуется максимальными напряжениями.

Вычисление максимальных отклонений, деформаций и напряжений при случайных воздействиях осуществляется лишь в вероятностном смысле, т. е. с той или иной надежностью [28]. Задавшись допустимыми максимальными величинами, параметры системы выбирают тавдм образом, чтобы вероятность превышения допустимых значений была достаточно мала. В большинстве случаев закон распределения вероятности допустимо принимать нормальным, что позволяет ограничиться для его

формирования вычислением величины дисперсии соответствующего процесса по формулам типа (53). В результате надежность обеспечения системой заданного качества

Характерным видом разрушения конструкции под действием вибрации является усталость, представляющая собой эффект накопления малых повреждений при большом числе циклов переменного напряжения. Для выбора допустимых норм испытания на усталость проводят обычно на специальных образцах, подвергаемых многоцикловой деформации по гармоническому закону до разрушения.

Рис. 8. Кривые усталости

Результаты испытаний изображают в виде кривых усталости (рис. 8), зависимостей амплитуды напряжений от числа циклов, приводящего к повреждению, строящихся обычно в логарифмическом масштабе. Асимптота соответствующей кривой определяет предел выносливости материала Вводится также понятие об ограниченном по числу циклов пределе выносливости

Разрушение при усталости происходит в результате развития трещины; при этом с повышением напряжений скорость этого процесса быстро возрастает. Закон изменения глубины трещины принимают обычно в следующем виде:

где постоянные; а — амплитуда напряжения; уменьшенное на единицу число циклов изменения напряжений; — величина, определяемая из опытов.

Обозначая глубину трещины, соответствующую разрушению после логарифмирования имеем

где число циклов до разрушения.

Отсюда следует, что а есть наклон кривых усталости, построенных в логарифмическом масштабе.

Вычисление несущей способности конструкции, напряжения которой меняются по сложному закону, на основании кривых усталости осуществляется обычно с помощью так называемого линейного закона. Этот закон определяет показатель повреждения

Здесь число циклов напряжений с амплитудой предельное число циклов при амплитуде по кривой усталости.

Полагая и умножая обе части равенства (58) на С, с учетом (57) находим

приведенная амплитуда напряжения, соответствующая разрушению образца через Циклов согласно кривой усталости:

В тех случаях, когда вибрация осуществляется по случайному закону, величину в можно рассматривать как вероятность осуществления циклов напряжений с амплитудами от до Характерным режимом стохастических колебаний объекта с преобладающей собственной частотой является узкополосная случайная вибрация. Если процесс является нормальным, распределение амплитудных значений напряжений в такм режиме колебаний некоторой точки А конструкции описывается рэлеевским законом с плотностью распределения

С учетом этого выражение (59) для узкополосного случайного процесса примет вид

Вычисляя этот интеграл через гамма-функцию, получаем после ряда упрощений, учитывающих малость величины

Определяя с помощью соотношений типа (55) величину о, с помощью (60) по кривой усталости находят число циклов узкополосной случайной вибрации, приводящей к разрушению образца. Существуют предложения по модификации формул (59), (60), придающей большее значение напряжениям высокого уровня. Более подробно вопросы прочности конструкций при переменных напряжениях рассмотрены в (см. также [100]).

Рис. 9. Модель одностороннего ударного взаимодействия упругих систем

Защита от виброударных режимов.

Расчет надежности работы объекта в условиях вибрации на основе описанных линейных представлений не исключает возможности нарушения условий функционирования из-за действия нелинейных факторов. Наиболее опасным является возможность выхода объекта или его элементов на ограничительные упоры и возникновение виброударных режимов, характеризующихся систематическими соударениями об упоры. Возбуждение виброударных режимов может произойти под влиянием дополнительного запускающего импульса («жесткого возбуждения») при тех же значениях параметров, при которых осуществляются расчетные малые колебания (см. т. 2, гл. V). Пусть две линейные системы (рис. 9) имеют элементы с массами установленные с зазором (отрицательное соответствует натягу) и способные совершать одномерные движения с соударениями под действием приложенных к системам периодических вынуждающих сил частоты Обозначим динамические податливости соударяющихся элементов. Наиболее интенсивными являются установившиеся виброударные режимы срдним соударением за период движения который может быть равен или кратен периоду возмущения. При реализации одноударных режимов с учетом линейности взаимодействующих систем имеем

Здесь колебания элементов при пренебрежении ударным взаимодействием; величина ударного импульса; импульсная функция, Для относительной координаты получим

где — установившаяся реакция линейной системы на периодическую последовательность -функций;

Для линейных операторов вида

ряд (62) сворачивается в выражение

где простые корни уравнения причем штрйх означает дифференцирование по аргументу;

Одноударные режимы носят резонансный характер [131] причем частоты, на которых они осуществляются, отличаются от собственных частот линейной системы. По этой причине первый член в правой части (61) существенно меньше второго, и приближенное решение для резонансных виброудариых режимов может отыскиваться в виде Для определения значения импульса воспользуемся условием удара при Используя его, находим и, следовательно,

Условия существования такого режима определяются из баланса энергии за период движения Потери энергии при ударе находим по теореме Карно:

коэффициент восстановления скорости при ударе. Работа диссипативных сил, действующих в линейных системах 1 и 2 (рис, 9),

с учетом (62) примет вид

Работа вынуждающих сил

зависит от фазы периодического процесса по отношению к моменту удара. Пусть, например, тогда с учетом (62)

В результате уравнение баланса энергии будет следующим:

Отсюда находим значение установочного зазора (натяга) при котором описываемые режимы не реализуются:

Рис. 10. Модель двустороннего ударного взаимодействия упругих систем

Рис. 11. Модель объекта виброзащиты при учете ограничителей хода

При симметричных двусторонних взаимодействиях элементов ударнъй пары (рис, 10) с одним ударом за период о каждый ограничитель аналогичное условие для величины одностороннего зазора примет вид

где

Для операторов вида (63) этот ряд сворачивается так

где

Пусть, например, система, показанная на рис, 11, возбуждается силой и имеет жесткие симметричные упоры, установленные с зазором

Подставляя в (68) выражение (51), заметим, что при малом в нем можно пренебречь вторым слагаемым, а при и членом Суммируя соответствующие ряды,

имеем

Здесь .

При случайном характере вибрационных воздействий виброударные режимы как правило не носят установившегося характера и после серии соударений срываются на безударный режим. Инженерный анализ подобных движений связан с определением условий, при которых стук на упорах был бы сведен к минимуму. Пусть в системе, показанной на рис. 9, приведенное внешнее воздействие представляет собой стационарный нормальный эргодический случайный процесс с нулевым средним значением. Допустим, что в результате случайного толчка в системе возник виброударный режим с частотой При низком уровне возбуждения (по сравнению с амплитудами инерционных и упругих сил) такой режим может осуществляться только по резонансным законам, и, следовательно, колебания по относительной координате соударяющихся элементов можно аппроксимировать соотношением (64). Найдем условие поддержания этого режима с помощью случайного воздействия Обозначая мощность на движении через имеем

где — время наблюдения.

Определим математическое ожидание и дисперсию

Здесь угловые скобки означают операцию статистического усреднення; автокорреляционная функция процесса Учитывая периодичность и стационарность имеем

Величина имеет нормальный закон распределения:

Отсюда вероятность срыва виброударного режима (надежность)

где мощность диссипативных сил.

В тех случаях, когда процесс не содержит периодических составляющих следовательно, с ростом времени наблюдения величина

убывает. В результате с наперед заданной вероятностью можно найти время То, в течение которого установится соотношение

Пусть белый шум с корреляционной функцией Из (69) находим

Положив, например, надежность имеем с учетом свойств нормального закона распределения Отсюда с вероятностью

или с учетом (62), (64) — (66) получим окончательно

Для систем с двусторонним симметричным ограничением (см, рис, 11) имеем аналогично

Скорость соударения элементов в исследуемых режимах

Максимальные величины относительной деформации х контактной силы и времени удара могут быть найдены по формулам Герца

где модуль упругости; V — коэффициент Пуассона; радиусы соударяющихся элементов.

Для полного устранения виброударных режимов частоты необходимо обеспечить на этой частоте условие

Пусть узкополосный случайный процесс с корреляционной функцией Подставляя это выражение в (69), получим с учетом (62)

При величина по мере увеличения следовательно, установившийся режим на частоте невозможен. При из (70) имеем

В результате из условия получим с надежностью величину обеспечивающую отсутствие виброудариого режима:

Для симметричной системы (см. рис. 10) аналогичное выражение имеет следующий вид:

Анализ вибрационного состояния объекта позволяет сформулировать требования к выбору типа и характеристики внброзащитного устройства.