Глава V. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ УПРУГИХ ТЕЛ

1. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ В МАТЕРИАЛАХ И ТЕОРИЯ МИКРОПЛАСТИЧНОСТИ

Под внутренним трением материала понимается способность его рассеивать энергию механических колебаний. Из всех материалов только идеально упругие при постоянной температуре такой способностью не обладают. Всем без исключения реальным материалам присуще рассеяние энергии. Для их теоретического описания и исследования должна быть привлечена теория неупругих материалов. Эти теории соответствуют разнообразным физическим процессам, протекающим в материале.

Из большого числа вариантов теорий «неупругости» наилучшее совпадение с наблюдаемыми в экспериментах вибрационными явлениями обнаруживает теория пластических деформаций. На основе проведенных экспериментальных работ [73] была выдвинута гипотеза, в соответствии с которой внутреннее трение при значительных напряжениях представляет эффект микропластических деформаций. Имеется указание о том, что внутреннее трение должно изучаться с использованием уравнений теории пластичности Мизеса-Генки. Однако эта рациональная идея была реализована только для случая циклического деформирования в условиях одноосного напряженного состояния и при частном виде кривой нагружения материала. В результате была предложена формула гистерезисной петли, по которой потери энергии в материале за цикл колебаний зависят по степенному закону от амплитуды деформации или напряжения.

Указанный взгляд на основополагающую роль теории пластичности для прикладной теории рассеяния энергии явно или неявно разделяется многими современными авторами. Так, формула Н. Н. Давиденкова [73] и ее обобщения интенсивно используются в исследованиях [161, 231, 232]. Эта же формула явилась основой для создания более простых прикладных теорий внутреннего трения, из которых наибольшее распространение имеет теория Я. Г. Пановко [151].

Уравнения теории пластичности были использованы для анализа внутреннего трения в условиях одноосного напряженного состояния и для гармонического деформированая Е. С. Сорокиным [207]. Таким образом, в основе получения наиболее популярных в настоящее время формул теории рассеяния энергии при интенсивных напряжениях лежат представления теории пластичности.

Плодотворность этого подхода проявляется и в том, что попутно удается однозначно решить еще две важные для прикладной теории рассеяния энергии задачи — обобщение на случай сложного напряженного состояния и обобщение на случай полигармонических и случайных колебаний [148].

В настоящем справочнике изложение строится на использовании простейшей из теорий микропластичности — теории упругопластического материала А. Ю. Ишлинского. Применение теории микропластичности обусловлено тем, что последняя допускает существование пластических деформаций (а значит, и рассеяния энергии) при любом уровне напряжений, в том числе и при напряжениях, меньших макроскопического предела текучести материала.

Запишем определяющие уравнения микропластического материала А. Ю. Ишлинского [148]. Речь идет о материале со следующими свойствами:

Рис. 1. Реологическая модель упругопластического материала

а. Объемная деформация пропорциональна среднему нормальному напряжению:

где коэффициент объемного сжатия.

б. Связь между девиатором напряжений и девиатором деформаций задается реологической моделью А. Ю. Ишлинского, изображенной на рис. 1.

Найдем соответствующую указанной модели аналитическую зависимость между Реологическая модель содержит бесконечное число плеч. Каждое плечо соответствует модели упругопластического материала Прандтля. В нем упругий элемент жесткости соединен последовательно с идеально пластическим элементом с пределом текучести Сила, развивающаяся в каждом отдельно взятом плече, определяется через деформацию упругого элемента

где — деформация пластического элемента.

Суммируя силы во всех плечах в соответствии с вероятностью встретить то или иное значение А, найдем общую силу

Подставляя выражение по (2) и учитывая свойство плотности вероятности

получим окончательно

Перейдем к определению пластической деформации в плече Если пластическая деформация в нем развивается, то она определяется уравнением

а если не развивается, то уравнением

положительный множитель, для определения которого служит условие текучести Мизеса

где произведение в скобках — двойное скалярное произведение. Уравнения (6), (7), (8) естественны для теории течения Прандтля-Рейсса.

Исключая из (6) с помощью (8) и подставляя результат в (2), получим

где обозначено

Таким образом, для определения развивающейся пластической деформации в плече служит уравнение (9). Если оно не имеет решения, то это значит, что пластическая деформация не развивается, и тогда следует пользоваться уравнением (7).