2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ МЕХАНИЗМОВ

Динамнческие модели с постоянными параметрами. Снижение уровня виброактивности в таких моделях обычно связано с ограничением коэффициента накопления возмущений значения скачков и частного решения .

Условие где допускаемое значение коэффициента может быть представлено в виде

Неравенство (16) при заданном значении логарифмического декремента О следует решить относительно частотного критерия

Если принять (см. рис. 3), то свободные сопровождающие колебания, возбужденные на предыдущих циклах движения, не приводят к увеличению амплитудного уровня на рассматриваемом цикле. В этом случае

Если неравенство (17) удовлетворяется при и при где целое число. В другом предельном случае, когда

Приведенная частотная настройка практически оказывается достаточно эффективной лишь при малых значениях так как с ростом существенно

возрастает чувствительность результата к отклонениям от принятых расчетных значений. Поэтому при значениях целесообразно ориентироваться на максимальное значение При этом

Здесь причем

Пример. При исходных данных механизма, соответствующих примеру на стр. 91, требуется выбрать новое значение коэффициента жесткости с, при котором коэффициент накопления возмущений не превысит значения 1,05.

По формуле Отсюда с

Для ограничения скачков при можно воспользоваться зависимостями для геометрическая сумма которых образует

Здесь — скачкообразное изменение функции в момент времени остальные обозначения см. (8),

При можно ограничиться несколькими членами ряда. При этом

Наиболее существенный эффект от скачка проявляется в ускорениях

Максимальная дополнительная динамическая нагрузка, вызванная скачком равна по абсолютной величине поэтому минимизация скачков играет существенную роль при снижении общего уровня виброактивности механизма.

Обычно функций и являются непрерывными. В этом случае и снижение может быть осуществлено соответствующим увеличением собственной частоты. Иногда разрывы функции х возникают при изменении динамической структуры механизма, например, при установке рабочего органа на упор, фиксации звеньев и т. п. Тогда причем основной динамический эффект, как правило, определяется именно этим членом.

В форме скачка в первом приближении может быть также учтен динамический эффект, связанный с наличием зазоров в кинематических парах в соответствии со следующими зависимостями 1

Здесь предельное значение зазора в окрестности

Средством снижения уровня виброактивности в подобных случаях является уменьшение собственной частоты При этом, однако, под контролем должен находиться коэффициент максимальное значение которого при уменьшении возрастает.

Встречаются случаи, когда функция резко изменяется за конечный, хотя и достаточно малый промежуток времени Динамическое последействие от такого изменения может быть оценено по (9) с помощью эквивалентного скачка определяемого следующей зависимостью:

где — перепад функции на отрезке времени коэффициент, меньший единицы, который показывает, во сколько раз максимальная амплитуда колебаний при меньше, чем при и зависит от характера нагружения на рассматриваемом отрезке.

В табл. 3 приведены расчетные зависимости для типовых случаев резкого изменения функции соответствующие зависимости даны на рис. 4. При фиксированном значении динамический эффект от резкого и скачкообразного изменения при практически идентичен независимо от вида функции поэтому на данном интервале значений наблюдается повышенная виброактивность механизма.

Рис. 4. Зависимость и

Если в целях снижения виброактивности задаться условием где допускаемое значение этого коэффициента, то с помощью рис. 4 или по формулам табл. 3 следует определить параметр Пользуясь соотношением можно при заданном найти требуемое значение собственной частоты либо при заданном значении определить отрезок времени

Убывание максимумов может быть оценено с помощью формулы При значение х с учетом демпфирования независимо от не превышает 0,10.

Помимо отмеченных факторов в формировании скачков большую роль играют выбранные функции перемещения звеньев и законы нагружения (см. параграф 3).

Согласно (12) уровень зависит от степени гладкости функции и значения собственной частоты

Для многомассных систем с постоянными параметрами помимо перечисленных факторов виброактивность также зависит от степени связанности отдельных колебательных подсистем, которая может быть оценена с помощью коэффициентов формы. При прочих равных условиях для снижения виброактивности следует исключить возможность появления близких значений парциальных частот.

Динамические модели с медленно меняющимися параметрами. Для снижения виброактивности механизмов, отображаемых моделями с медленно меняющимися параметрами, в первом приближении могут быть использованы ограничения и рекомендации, приведенные выше, если под собственной частотой понимать соответствующее значение функции Например, параметр в (17), (18) и (21) соответствует усреднению за период а параметр в (21) — усреднению за время

В данных моделях помимо приведенных в параграфе 1 существуют некоторые дополнительные источники виброактивности механизмов, связанные с переменностью параметров, для подавления которой должны быть приняты меры, рассмотренные ниже.

Согласно (13) при возможно нарастание амплитуд колебаний, связанное с локальными нарушениями условий динамической устойчивости. При медленном периодическом изменении параметров такое условие возможно лишь на ограниченном отрезке времени, поэтому зона раскачки сменяется зоной затухания; при этом

наблюдается амплитудная модуляция, напоминающая режим биений. Интенсивный рост амплитуд исключается, если

8. Коэффициент для типовых случаев нагружения

(см. скан)

Это условие приводится к виду

Аналогичные условия могут быть записаны для виброскоростей и для виброускорений что эквивалентно Последнее неравенство обычно является наиболее сильным, Для ряда

динамических моделей с переменными параметрами, приведенных в табл. 1, это условие может быть представлено как функция , приведена ниже.

Модель III

Штрихом обозначена производная по углу логарифмический декремент; остальные условные обозначения см. табл. 1.

При нарушении условия следует увеличить параметр за счет увеличения усредненной собственной частоты или понижения угловой скорости

Рис. 5. Отношение

Существенное уменьшение значении функций является нежелательным по следующим причинам. Во-первых, при этом возрастает амплитуда дополнительных ускорений в зонах резкого изменения функции из-за уменьшения параметра во-вторых, уменьшается среднее за цикл значение функции что, в свою очередь приводит к возрастанию коэффициента накопления возмущений в-третьих, при значительном перепаде значений функции возрастает вероятность резкого изменения этой функции, что может привести к дополнительному возбуждению системы.

Для динамических моделей III—VI (см. табл. 1) ограничение вида может быть реализовано с помощью зависимостей табл. 1. Для динамической модели см. табл, 1) отношения и приведены на рис. 5. При прочих равных условиях зона резкого понижения рассматриваемых функций отвечает что должно быть учтено при синтезе параметров системы. Ограничение перепада экстремальных значений низшей частоты приводит к следующим условиям: при

при

(условные обозначения см. табл. 1),

Значение параметра целесообразно выбирать те ниже

Пример. Для динамически модели VII табл. дано, Требуется яайти момент янерций ведущего звене

Определив параметр и задавшись получаем

Отсюда, принимая с запасом .

Дополнительные ускорения выходного звена могут вызываться крутильными колебаниями входного звена. Относительная динамическая ошибка выходного звена

Если задаться некоторым допускаемым значением параметра то для динамической модели V в первом приближении должно обеспечиваться неравенство где штрихом отмечена производная по

Для механизмов с силовым замыканием при преобладании динамических нагрузок над прочими

где коэффициент запаса силового замыкания; максимальное идеальное значение силы инерции выходного звена без учета упругости привода, т. е. при (при угловых перемещениях выходного звена соответствует моменту инерционных сил).

Если принять то при равенстве максимальных ускорений программного движения на разбеге и выбеге

Пример. Рассматривается механизм с параметрами, заданными в примере на стр. 91. Требуется найтн коэффициент жесткости привода (см. табл. 1, модель VII). Предварительно определяем Пщах и максимальную силу инерции в программном движении: Отсюда, принимая находим кгс-м.

В инженерной практике встречаются случаи, когда параметры динамической модели механизма в целом изменяются медленно, за исключением некоторых незначительных зон, где такое предположение оказывается неправомерным. В этих случаях периодичность резких параметрических возмущений имеет второстепенное значение, так как колебания в течение одного кинематического цикла оказываются сильно задемпфированными; в то же время локальные возмущения системы в отмеченных зонах могут быть весьма значительными.

Снижение виброактивности механизмов в зонах параметрического резонанса. Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенного момента инерции или приведенной жесткости), в ряде случаев может служить не только источником нарушений нормального функционирования механизмов, но и приводить к серьезным авариям, угрожающим безопасности обслуживающего персонала. Периодические изменения приведенных упругих и инерционных характеристик механизмов в основном вызываются переменностью первой передаточной функции звеньев (см. параграф 1), которая для цикловых механизмов является периодической функцией угла поворота ведущего звена.

Для многих цикловых механизмов динамические нагрузки и уровень искажений заданных кинематических характеристик оказываются недопустимо большими еще на достаточно большом удалении от основных зон параметрического резонанса. Однако имеется класс механизмов, работающих на повышенных скоростях, достигающих,

а иногда и перекрывающих критические значения. К этому классу можно отнести механизмы, у которых функции положения звеньев обладают повышенной гладкостью, т. е. не имеют существенных скачков и быстрых изменений производных достаточно высокого порядка. Последнее характерно для эксцентриковых и некоторых рычажных механизмов.

Для одномассных моделей, описываемых дифференциальным уравнением вида

параметрические резонансы имеют место в окрестности частот, определяемых выражением

где номер гармоники при представлении периодических коэффициентов в виде рядов Фурье; свободные члены соответствующих рядов Фурье . В формуле (24) учтено характерное для механизмов пренебрежимо малое влияние функции на усредненную собственную частоту.

Для динамических моделей механизмов при установившихся режимах коэффициенты дифференциального уравнения (23) в общем случае можно представить в виде следующих рядов Фурье:

При должно быть удовлетворено условие

где — логарифмический декремент; Здесь принято, что равны составляющим соответствующих коэффициентов Фурье и не зависящим от индекс при коэффициентах отвечает В частности, для динамических моделей III, IV (см. табл. 1) При

Здесь, в дополнение к ранее введенным обозначениям: где составляющие коэффициентов Фурье при не зависящие от Для динамических моделей III, Для многих механизмов либо Тогда

При целых значениях определенное влияние оказывают не только гармоники но и однако, если члены, отвечающие этим гармоникам, имеют одинаковый порядок малости, то определяющую роль в зависимостях (24), (25) играют члены с индексом В то же время при решении задач динамики механизмов не исключены случаи, когда члены с индексом существенно больше членов с индексом

Обширный класс механизмов, который в связи с возможностью параметрического возбуждения представляет особый интерес, описывается функцией положения бигармонического вида:

Для механизма с бигармонической функцией положения, отображаемого моделью III (см. табл. 1), в табл. 4 приведены зависимости, определяющие коэффициенты рядов Фурье функций при В этом случае Наиболее существенное влияние на уровень параметрического возмущения оказывает параметр

где при линейном перемещении ведомого звена и при угловом момент инерции ведомого звена). Параметр объединяет свойства кинематической и динамической характеристик: он стремится к нулю либо при бесконечном уменьшении хода ведомого звена либо при неограниченном росте соотношения между моментом инерции привода и массой (моментом инерции) ведомой части механизма — Наиболее значительны в полученных рядах члены, отвечающие гармонике Амплитуда пульсации параметрического возмущения, соответствующая первой и третьей гармоникам, в основном пропорциональна четвертая гармоника зависит уже от поэтому, если имеется ограничение эта гармоника выражена уже гораздо слабее, Последующие члены ряда обычно практического интереса не представляют.

4. Коэффициенты Фурье для механизмов с бигармонической функцией положения

(см. скан)

Для режимов графики критических значений приведены на рис. 6.

В качестве ориентировочного соотношения, определяющего критический уровень пульсации при коэффициенте поглощения и некотором запасе устойчивости, можно воспользоваться условием, согласно которому параметр не должен превышать значения 0,5. При этом для динамической модели III (см. табл. 1) для динамической модели где соответственно среднее значение приведенного момента инерции и его максимальное отклонение от этого значения; для динамической модели

В качестве приближенного критерия в более сложных условиях может быть также использовано условие (22), обеспечивающее достаточное (но не необходимое) условие динамической устойчивости.

В механизмах периодического действия зоны параметрического резонанса при Целых как правило, совпадают с зонами силового резонанса, вызванного

соответствующей гармоникой функции Резонансная амплитуда в числе прочих факторов существенно зависит от сдвига фаз между возмущающей силой и гармонической пульсацией параметра. При этом может оказаться как больше, так и меньше значения, определенного при отсутствии параметрического возмущения, т. е. при При наиболее неблагоприятных соотношениях для сильных гармоник справедлива следующая оценочная зависимость:

Согласно формуле (27) введение определенного запаса динамической устойчивости одновременно снижает максимально возможную резонансную амплитуду для наиболее существенных гармоник силового возмущения.

Рис. 6. Зависимость равное

Для многомассных моделей при медленном изменении форм колебаний вопрос о подавлении параметрических резонансов в первом приближении может быть решен аналогичным образом на основании анализа уравнений, записанных в квазинормальных координатах. Помимо критических режимов, вытекающих из этого анализа, также могут иметь место комбинационные резоиансы. Однако обычно в механизмах эти режимы оказываются подавленными за счет имеющегося конструкционного демпфирования в кинематических парах. Учет нелинейных факторов при колебаниях механизмов в околорезонансных зонах см. [13, 54, 114].