3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

При произвольном динамическом воздействии уравнение движения систем, показанных на рис. 3, может быть записано в форме

где Рассмотрим некоторые особенности поведения этой системы при стационарном воздействии периодическом, полигармоническом или случайном.

Пусть периодическая функция времени периода

Тогда установившееся движение системы (37) также является периодическим (периода или ). В периодическом решении периода обычно преобладает первая гармоника, которая может определяться изложенными выше приближенными методами. Высшие гармоники имеют существенное значение лишь в тех случаях, когда могут вызвать резонансные явления. При совпадении частоты гармоники вынуждающей силы с частотой гармоники свободных колебаний в системе могут

возникнуть резонансы порядка Резонансы порядка совпадают с рассмотренными выше субгармоническими резонансами; резонансы порядка называются супергармоническими В виброизолирующнх системах супергармонические резонансы обычно не встречаются, поскольку не обеспечиваются энергетические условия их существования.

Пусть полнгармоническая функция времени

Тогда в первом приближении установившееся движение системы (37) может разыскиваться как полигармоническнй процесс вида

Определение этого решения может производиться различными методами; наиболее простым оказывается метод эквивалентной линеаризации нелинейной функции по функции распределения процесса (40). Этот метод подробно изложен в гл V т. 2.

Уравнение (37) может иметь несколько приближенных решений вида (40), наибольшее их число достигает Одно из этих решений соответствует малым колебаниям системы, при которых обеспечивается выполнение условий виброизоляции. Остальные решения носят резонансный характер, они соответствуют резонансу одной из гармоник вынуждающей силы, в каждом из этих решений одна из амплитуд преобладает над остальными Нормальное функционирование виброзащитной системы обеспечивается только при исключении возможности возникновения любого из резонансных режимов, что достигается такими же способами, как и в случае гармонического воздействия (увеличение области линейности и усиление диссипации).

Пусть стационарный нормальный случайный процесс с заданным математическим ожиданием и спектральной плотностью Тогда приближенное решение уравнения может разыскиваться в виде стационарного случайного процесса, также обладающего нормальным распределением [159]. При этом можно пользоваться методом статистической линеаризации нелинейной функции В соответствии с этим методом функция заменяется линейной функцией.

где математическое ожидание искомого решения, а коэффициенты линеаризации выражаются через и дисперсию решения следующим образом: со

Заменяя в по (40) получаем «линейное» уравнение. Решая его, выражаем спектральную плотность, дисперсию и математическое ожидание решения через коэффициенты линеаризации

Уравнения (41), (42), (44) и (45) образуют систему, из которой определяются неизвестные Затем по формуле (43) определяется спектральная плотность решения.

Для виброизолятора, характеристика которого представлена на рис. 2, б, выражения (41) и (42) принимают форму

где функция Крампа,

Выражения (46) и (47) позволяют рассчитывать случайные колебания в системе с ограничительными упорами и, в частности, при нормальном стационарном воздействии оценивать среднюю частоту соударений подвижного элемента виброизолятора. На эту оценку существенное влияние оказывает отличие действительных законов распределения динамического воздействия и решения от нормального (гауссова) закона, поэтому полученная оценка должна рассматриваться как сугубо ориентировочная.

Пример На систему с симметрично расположенными упорами действует стационарная случайная вынуждающая сила при этом («белый шум») Определить дисперсию процесса Вследствие симметрии системы и поскольку должно быть При этом из (46) и (47) находим

По (44), используя таблицы интегралов от дробио рациональных четных функций (см, например, [270]), находим

Дисперсия определяется из уравнений (48) и (49), которые могут решаться, например, графическим методом