3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ СО СЛАБОЙ ДИССИПАЦИЕЙ

Динамические податливости и динамические жесткости систем со слабой диссипацией обладают некоторыми общими свойствами, для рассмотрения которых целесообразно перейти от обобщенных координат системы к главным (нормальным) координатам 6 с помощью преобразования (см. п. 1 гл, VI)

где главные координаты, -мерные векторы собственных форм, определяемые из системы линейных уравнений

где собственные частоты системы, удовлетворяющие уравнению

Выразим перемещения (3) и (4) через главные координаты.

Вектор называется вектором коэффициентов собственных форм системы в точке в направлении Если один из коэффициентов обращается в нуль, то это означает, что при свободных колебаниях системы с собственной частотой перемещение оказывается равным нулю. В этом случае говорят, что точка является узлом колебаний по форме в направлении

Динамические податливости и динамические жесткости системы со слабой диссипацией обладают следующими свойствами.

1. При т. е. при совпадении частоты воздействия с одной из собственных частот системы, модули всех динамических податливостей оказываются большими величинами. Частоты называются резонансными частотами системы. На резонансных частотах малые по амплитуде вынуждающие силы могут возбуждать колебания большой амплитуды. Исключение составляют те случаи, в которых или в этих случаях приложение силы (или имеющей частоту не вызывает резонансных явлений. Из (6) следует, что на резонансных частотах модули динамических жесткостей являются малыми величинами.

2. Существуют частоты на которых модули динамических податливостей становятся малыми по величине, такие частоты называются антирезонансными. Для различных динамических податливостей антирезонансные частоты, вообще говоря, различны. Количество и расположение антирезонансных частот динамической податливости зависят от количества и расположения перемен знака в ряду чисел

Поскольку векторы собственных форм системы определяются с точностью до произвольного множителя, можно считать первое из чисел (12) положительным. Если все эти числа положительны [число перемен знака в ряде (12) равно нулю], что имеет место, в частности, при совпадении точки с точкой К, а орта с ортом то

динамическая податливость имеет аитирезоиансиых частот, причем они располагаются между собственными частотами системы

Каждой перемене знака в ряду (12) соответствует потеря одной из антирезонансных частот, Так, если числа и имеют противоположные знаки, антирезонансная частота «теряется». В общем случае при переменах знака в ряду (12) динамическая податливость имеет антирезонансных частот.

Рис. 4. Годографы: а — динамической податливости; динамиче» ской жесткости

Рис. 5. Годограф динамической податливости; точка приложения силы совпадает с точкой измерения перемещения

Рис. 6. Годографы для системы с нулевой собственной частотой: а — динамической податливости; дина, мической жесткости

Модули динамических жесткостей на антирезонансных частотах становятся большими величинами.

3. Значения собственных частот системы, количество и расположение перемен знака в ряду (12) определяют форму годографа комплексной динамической податливости.

Годографы динамических податливостей для системы, не обладающей нулевой собственной частотой, начинаются в одной из точек вещественной положительной полуоси и при малых значениях со располагаются в нижней полуплоскости. Резонансным и антирезонансным частотам соответствуют точки, расположенные вблизи мнимой оси. Годограф делает столько полных петель в нижней полуплоскости, сколько имеется положительных чисел в ряду (12) до первой перемены знака. Если, например, при то годограф делает петлю в нижней полуплоскости. Затем годограф пересекает вещественную отрицательную полуось и переходит в верхнюю полуплоскость; частота соответствующая точке пересечения годографа с вещественной осью, расположена между Годограф делает столько петель в верхней полуплоскости,

сколько имеется отрицательных чисел в ряду (12) между первой и второй переменами знака. Затем годограф вновь возвращается в нижнюю полуплоскость.

Примерная форма годографа динамической податливости приведена на рис. 4, а, а соответствующая форма годографа динамической жесткости — на рис. 4, б. При совпадении перемен знака в ряду (12) нет, и годограф динамической податливости полностью располагается в нижней полуплоскости (рис. 5).

Если рассматриваемая система имеет нулевую собственную частоту (указывающую на возможность свободного ее перемещения как твердого тела), годограф динамической податливости несколько изменяет форму. При со в этом случае — (рис. 6, а). Годограф пересекает мнимую ось на первой антирезонансной частоте затем начинает делать петли в нижней полуплоскости. Соответственно изменяется и годограф динамической жесткости (рис. 6, б).