2. ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ПРИ ДЕФОРМИРОВАНИИ МАТЕРИАЛА ПО СЛУЧАЙНОМУ ЗАКОНУ

Допустим, что девиатор деформации стационарная случайная функция времени. Положим для простоты, что математическое ожидание равно нулю. Пусть требуется выяснить поведение материала при таком законе деформирования. Прямое использование уравнений (5) — (10) для этой цели наталкивается на значительные трудности в силу нелинейности этих уравнений. Поэтому целесообразно применить приближенные методы. Одним из наиболее простых и эффективных методов анализа нелинейных систем является метод статистической линеаризации [192]. Ниже этот метод используется в задаче анализа поведения упругопластического материала при случайном законе деформирования.

Единственной нелинейной функцией в уравнениях параграфа 1 является тензорная функция В соответствии с методом статистической линеаризации аппроксимируем эту нелинейность линейной функцией:

где постоянная называемая коэффициентом линеаризации,

Коэффициент находим из условия минимума среднеквадратичной ошибки аппроксимации (11):

где угловые скобки — символ операции математического ожидания Используя (10) для условие (12) можно упростить

Реализуя требование минимума по параметру получаем

В это выражение входят математическое ожидание и его средний квадрат. Для их вычисления достаточно знать одномерный закон распределения но этот закон до решения задачи в целом остается неизвестным. В методе статистической линеаризации вид этого закона обычно задают. Поскольку неотрицательная случайная величина, приемлемой аппроксимацией ее одномерного закона распределения является распределение Рэлея:

где средний квадрат

Коэффициент линеаризации по формуле (13)

Рассмотрим функцию распределения

Это закон распределения абсолютных значений гармоники фиксированной амплитуды со случайной фазой, имеющей равномерное распределение. В этом случае получаем

близкое к (14). Проведенное сравнение свидетельствует о слабой чувствительности к выбору того или иного закона распределения среди разумно допустимых. В результате проведенной линеаризации (9) принимает вид

Его линейность, а также линейность остальных уравнений параграфа 1 делает возможным использование методов спектральной теории стационарных случайных функций в комплексной форме. Зададим девиатор деформации его спектральным представлением

где тензор коррелированных белых шумов.

Средний квадрат интенсивности касательных деформаций, определенный равенством

в силу представления (16) имеет выражение

При выводе этой формулы использовано соотношение

где звездочкой отмечена комплексно-сопряженная величина; — дельта-функция Дирака; неслучайная функция, называемая ниже условно спектральной плотностью деформации.

Внося представление (16) в уравнение (15) и вычисляя стационарное решение, найдем

Определяя средний квадрат в силу получим

Это равенство следует рассматривать как уравнение относительно Неизвестная входит в его левую часть непосредственно, а в правую — через коэффициент линеаризации Нетрудно убедиться, что уравнение (19) не всегда имеет решение. Действительно, отбрасывая единицу в знаменателе подынтегрального выражения (20), придем к неравенству

Последнее при не может выполняться при Следовательно, при уравнение (20), а значит и (15), (19) не имеют решения, и нужно обратиться к уравнению (7), из которого при нулевом начальном условии имеем

Внося (19), (22) в (5), получаем

где комплексный модуль сдвига

Решение поставленной задачи определяется формулами (23), (24). Возможна их простая интерпретация в терминах теории линейной вязкоупругости: мнимая часть комплексного модуля сдвига характеризует демпфирующую способность материала, тогда как интегральная добавка к вещественной части определяет так называемый дефект модуля.

Соотношение (23) можно записать также в условной форме

истолковывая его как равенство для каждой гармонической составляющей в отдельности.

Выясним структуру комплексной жесткости (24). Для этого обратимся сначала к (20). Умножая числитель и знаменатель правой части на и затем добавляя в числителе единицу, преобразуем его к следующему виду:

Отсюда хорошо видна структура решения

Вводя эти переменные, перепишем (26)

и выражение комплексного модуля сдвига

в более удобной форме.

Формула (28) показывает, что комплексный модуль сдвига зависит от частоты и от среднего квадрата интенсивности касательных деформаций.

Рассмотрим вопрос о плотности распределения Для теории внутреннего трения первостепенный интерес представляет знание в области малых значений безразмерного предела текучести Для функции распределения в этой области целесообразно принять выражение

поскольку подобные выражения используются в теориях усталостного и хрупкого разрушения в качестве функций распределения дефектов [28]. Дифференцируя находим

Подставляя его в (28), получим

Эти формулы представляют обобщение на случай негармонических колебаний известной в теории внутреннего трения закономерности о степенной зависимости демпфирующих свойств материала от амплитуды деформации [149, 207]. Однако в рассматриваемом случае сохраняется частотная зависимость: различные гармонические составляющие имеют различное демпфирование.

Рассмотрим некоторые простейшие виды деформирования. При полигармоническом деформировании с частотами гармонических составляющих и статистически независимыми фазами, имеющими равномерное распределение в промежутке уравнение (27) принимает вид

причем характеризуют соотношения между интеисивностями гармонических составляющих, так что равно среднему квадрату интенсивности касательных деформаций составляющей частоты

В случае моиогармонического деформирования решение уравнения (32) приводит к следующему выражению комплексного модуля сдвига на частоте деформирования

или

Он не зависит от частоты, а зависит только от амплитудного значения интенсивности касательных деформаций Как известно, независимость от частоты и зависимость от амплитуды деформации является характерным свойством внутреннего трения в металлах при больших напряжениях [149, 207].

При распределении (29) интеграл в (33) вычисляется, и если представить результат в форме (30), то можно записать

Здесь — бета-функция Эйлера. Тогда (30) предписывает степенную зависимость комплексного модуля сдвига от амплитуды деформации.

Степенная зависимость эффекта внутреннего трения от амплитуды деформации для одномерного напряженного состояния широко используется в литературе по теории внутреннего трения. Формула (30) обобщает эту зависимость для случая сложного напряженного состояния.

Для бигармонического деформирования с частотами решение (32) следующее:

где отношение частот

Ввиду сложности (34) дальнейший анализ с помощью (28) возможен только с использованием численного интегрирования даже при простейших распределениях (29). Однако структура выражений позволяет сделать важный вывод: значения комплексного модуля сдвига для гармонических составляющих с частотами и зависят не от индивидуальных частот, а только от их отношения

Некоторый интерес представляет случай сильно разнящихся частот. Пусть, например, Тогда мало, и вычисление асимптотических значений в (34) приводит к следующему результату:

Найденные по (35) выражения на частотах гармонических составляющих таковы:

Заменяя в последнем выражении переменную на получим

Это в точности совпадает с выражением комплексного модуля сдвига (3) для моногармонического деформирования интенсивностью равной интенсивности высокочастотной составляющей деформации в бигармоническом процессе. Таким образом, наличие очень низкочастотной составляющей в законе деформирования не влияет на демпфирующие свойства материала по высокочастотной составляющей. Мнимая часть отлична от нуля. Следовательно, наличие высокочастотной составляющей не подавляет способность материала демпфировать колебания на очень низкой частоте.

Рис. 2, Зависимость действительной и мнимой частей комплексного модуля сдвига от частоты: а — при при

Рассмотрим, наконец, широкополосное случайное деформирование со спектральной плотностью

Уравнение (27) принимает вид

и, следовательно,

где безразмерная частота

При плотности распределения (29) интеграл сводится к комбинации гипергеометрических функций. Особенно простые результаты получаются при целых значениях а. Если комплексный модуль сдвига представить в виде (30) и (31), то

при

при

Результаты вычислений по этим формулам представлены на рис. 2, а к сплош» ными линиями, а штриховыми линиями — значения для гармонического деформирования с интенсивностью Зависимости определяют демпфирующую способность материала. В той части спектра, где заключена основная энергия случайного процесса, демпфирующие свойства материала не слишком сильно зависят от частоты и близки к их значениям для гармонического деформирования той же интенсивности, хотя и несколько меньше последних по величине.