2. МНОГОМЕРНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ГАСИТЕЛЬ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

Более общая схема динамического гашения колебаний состоит в присоединения к демпфируемому объекту в различных точках нескольких динамических гасителей, которые могут быть как независимыми динамическими системами, так и связанными между собой.

Пусть прикрепление гасителей к объекту осуществляется в точках (рис. 2). Обозначим вектор вибрационного перемещения этих точек при отсутствии гасителей; вектор колебаний тех же точек при установке гасителей; — вектор реакций гасителей, воспринимаемых объектом; и матрицы операторов динамической податливости объекта и гасителя в точках крепления»

В силу линейности рассматриваемых систем аналогично (1) — (2) имеем

Исключая из этих уравнений найдем

Матричный оператор

размерности характеризует эффективность многомерного динамического гашения.

При моногармонических колебаниях объекта компоненты вектора имеют вид В резульгаге колебания произвольной точки крепления после установки гасителей будут определяться соотношением

где элементы матрицы Согласно (14) для амплитуд колебаний этих точек справедлива следующая оценка:

Осуществляя в (15) суммирование по индексу к, найдем

Следовательно, если для всех

то в соответствии с (16)

в результате установки гасителей сумма амплитуд колебаний точек их крепления будет уменьшена.

Рис. 2. Схема многомерного намического гашения гармонических колебаний

Таким образом, показателем эффективности гашения колебаний объекта группой динамических гасителей может быть выбрана максимальная величина суммы модулей элементов столбцов матрицы

Выполнение условия гарантирует Понижение общего уровня вибрации объекта, не Устраняя возможности увеличения колебаний в отдельных из рассматриваемых точек. Согласно (15) уменьшение колебаний в каждой точке достигается при выполнении более жестких требований.

В соответствии с (13) удовлетворение всем указанным требованиям может быть осуществлена при уменьшении величии элементов матрицы Это достигается 83 резонансных частотах колебаний гасителей, возбуждаемых

перемещениями точек крепления Кроме того, и в многомерном случае благоприятными частотами, на которых осуществление динамического гашения оказывается эффективным, являются резонансные частоты объекта, поскольку на этих частотах элементы матрицы существенно возрастают, что также приводит к уменьшению элементов матрицы Аналогично одномерному случаю, физически это соответствует изменению резонансных частот системы в результате присоединения гасителей.

Важным обстоятельством является правильный выбор мест крепления гасителей. Наиболее эффективной является их установка в местах приложения вибрационных воздействий, либо в пучностях соответствующих форм колебаний. Достигаемый этими двумя способами установки гасителей демпфирующий эффект оказывается существенно различным.

Рис. 3. Варианты установки динамических гасителей: а — подавление источника возмущений; демпфирование заданной точки конструкции

В качестве примера рассмотрим два способа установки одномассного пружниного гасителя, представленных на рис. 3. Настраивая гаситель на частоту внешнего возбуждения получим, что в обоих случаях при удается стабилизировать массу к которой осуществляется прикрепление гасителя. Действительно, уравнение равновесия сил для массы в периодическом режиме частоты будет следующим:

где и — силы, приложенные к этой массе сверху и снизу; реакция динамического гасителя. С учетом (9), (8) имеем

Подставляя это выражение в (18), получим

Таким образом, прикрепление к телу массой динамического гасителя може) трактоваться как изменение его массы до величины

При модуль эквивалентной массы становится равным

В результате при эквивалентная масса неограниченно увеличивается, что соответствует остановке тела. В реальной ситуации при это достигается практически при

Обращаясь к рис. 3, убеждаемся, что в первом случае (рис. 3, а) стабилизация тела массой приведет к успокоению всей системы, а во втором (рис. 3, 6) только части системы, расположенной ниже фиксированного тела с массой Верхняя часть будет осуществлять колебания под действием приложенного возмущения соответствующие условиям закрепления тела массой

Рис. 4. Схема группового динамического гашения

Таким образом, прикрепление динамических гасителей в точках приложения вибрационного возмущения подавляет его действие на систему. Прикрепление вне этих точек дает локальный эффект успокоения точек крепления гасителей и связанных с ними элементов. В тех случаях, когда вибрационная нагрузка существенно распределена по системе, например при ее установке на вибрирующем основании, метод динамического гашения позволяет достичь лишь локальных эффектов.

На практике часто используется групповое динамическое гашение отдельных тел, либо рассматриваемого в качестве твердого тела объекта в целом (рис. 4). Для оценки эффективности гашения в этом случае можно использовать критерии вида (4), заменив в нем величину суммарной динамической податливостью группы гасителей:

где динамическая податливость гасителя; динамическая податливость демпфируемой массы.

В рассматриваемой ситуации важным является влияние расстроек отдельных гасителей. Действительно, с учетом при считая массы гасителей одинаковыми, имеем

Здесь произведение не содержит сомножителя; число гасителей; — собственная частота гасителя.

Если расстройки отдельных гасителей имеют противоположные знакц, т. е. часть гасителей имеет собственные частоты больше частоты возбуждения, а часть — меньше, то происходит взаимная компенсация их действия и динамическая податливость группы гасителей возрастает. Это нейтрализует эффект гашения. Таким образом, в рассматриваемом случае необходимо обеспечивать одинаковый знак всех расстроек.