4. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ С ОПТИМАЛЬНЫМИ ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Оптимальный синтез одномерных систем виброизоляции. Метод основан на использовании обобщенного критерия вида (6). В качестве составляющих функционалов используются интегральные квадратичные функционалы вида (11)-(13) при действии детерминированных возмущений и дисперсии (14)-(16) при стационарных случайных воздействиях. Для интегрального квадратичного функционала от функции справедлива формула Парсеваля

где изображение функции по Фурье.

Для дисперсии стационарного случайного процесса справедлив частный случай формулы Винера-Хинчина

где автоспектральная плотность процесса

В процессе оптимального синтеза находится оптимальная передаточная функция линейной системы виброизоляции, обеспечивающая наилучшее качество в классе линейных систем по выбранному квадратичному критерию. Оптимальная передаточная функция находится из решения уравнения Винера-Хопфа [120, 144, 235].

Уравнение Винера-Хопфа для определения неизвестной оптимальной передаточной функции может быть получено из условия равенства нулю вариации функционала (6) по Функционалы, входящие в обобщенный критерии (6), линейно связываются для этого с входными воздействиями через передаточные функции. Например, для кинематической виброизоляции при передаче вибрации между двумя точками, когда перемещения точки 1 (входа) обозначены а перемещения точки 2 (выхода) обозначены имеем

— ускорение в точке 2 и

— относительное перемещение между точками

С использованием (37) и (38) образуются выражения для критерия (6). С учетом получим

— для стационарных случайных воздействий;

— для комбинации стационарных случайных и детерминированных воздействий, когда функционалы заданы в виде (13) и (15);

— для детерминированных воздействий, когда функционалы В заданы в виде (12) и (13).

В (41) и (42) - автоспектральная плотность перемещения в точке 1. Формулы (41)-(43) справедливы и для силовой виброизоляции жесткого основания; когда объект представлен массой, необходимо заменить в этих формулах буквы на буквы изображение по Фурье внешней силы приложенной к массе. Обозначим в общем случае

где подынтегральное выражение.

Формально уравнение Винера-Хопфа образуется путем определения частной производной подынтегрального выражения по

где и — дробно-рациональные функции, зависящие от входного воздействия; четная функция произвольная функция, содержащая полюсы только в правой полуплоскости корней. Решение уравнения имеет вид

где т. е. разбивается на два сомножителя; содержит нули и полюсы только в правой полуплоскости; содержит нули и полюсы в левой полуплоскости.

Указанная операция носит название факторизации спектров.

часть выражения содержащая полюсы в левой полуплоскости,

Рассмотрим решение для критерия (41), когда входной спектр представлен в факторизованной форме

Решение для оптимальной передаточной функции представляется в виде

где частота, связанная с множителем Лагранжа. Формула (47) применима и к критерию (43); в ней следует заменить на или

Пример 1. Для входного воздействия типа «белого шума» по ускорению (или силе) входная спектральная плотность

где постоянная с размерностью спектральной плотности ускорения. Выбираем факторизованные значения входного спектра в виде

Выражение в квадратных скобках формулы (47) раскладывается на простые дробн Следующим образом:

Для получения выражения необходимо оставить только два первых члена этого выражения, так как полюсы входящие в относятся к левой полуцчоскости (полюсы входящие в относятся к правой полуплоскости).

Используя для определения вычеты, получим

окончательно

Если объект представляется сосредоточенной массой, оптимальная передаточная функция (50) описывает линейную пассивную систему виброизолядии, содержащую параллельные пружину и демпфер. Величина относительного демпфирования не зависит от собственной частоты Это значение часто рекомендуется как оптимальное демпфирование в различных приложениях теории автоматического регулирования, теории сейсмического подвеса и др.

Пример 2. Для снловой виброизоляции рассмотрим случай (позиция 1 табл 2) с опти мальным управлением и оптимальную передаточную функцию системы виброизоляции по критерию (43) для одного и того же воздействия — импульса силы Сравним результаты при обеспечении равных условий по ограничению Начальные условия — нулевые.

Решение уравнения Винера-Хопфа для функционала (43) приводит к той же передаточной функции (51). что и для случайного процесса типа «белого шума» снлы.

Решение в изображениях и оригиналах имеет вид

Сила максимальная при

Приравняв это значение величине получим

Исследуем на экстремум функцию она максимальна при

и равна

На рис. 7 приведено сравнение оптимальных процессов, полученных двумя различными методами. Кривые соответствуют оптимальному управлению, кривые 2 — системе виброизоляцни с оптимальной передаточной функцией. Максимальное перемещение во втором случае в 1,287 раза больше, чем в первом, а переходные процессы во втором случае в 2,5 раза продолжительнее, чем в первом.

Пример 3. Найти оптимальную передаточную функцию кинематической виброизоляцни по критерию (6), если функционал (12) берется от воздействия

и функционал (13) от воздействия

Обобщенный критерий (6) запишется в виде

Из решения сравнения Винера-Хопфа для критерия (62) получим

Особенность структуры этой оптимальной передаточной функции заключается в том, что она сочетает обеспечение виброизоляцин от гармонического воздействия и ограничение относительных перемещений от ударных импульсных воздействий.

Рис. 7. Сравнение решений для системы с оптимальным управлением и оптимальной передаточной функцией, по оси ординату верхнего графика а у среднего графика

Реализация оптимальных спектральных плотностей при представлении объекта сосредоточенной массой. Можно указать спектральные плотности входных случайных воздействий при синтезе по критерию (41) и сочетание спектральных плотностей случайных воздействий и детерминированных программных движений основания при синтезе по критерию (42), для которых оптимачьными будут передаточные

функции простейших известных пассивных и активных линейных систем виброизоляции.

В табл. 3 приведен ряд систем виброизоляции и выражения их передаточных функций в зависимости от физических параметров. Остановимся на системе, приведенной в позиции 3 табл 3. Это система виброизоляции, содержащая дополнительный инерционный элемент с механизмом преобразования движения. Возможные конструктивные решения показаны на рис. 8 Особенность этих систем заключается в том, что дополнительный инерционный элемент создает силу, пропорциональную относительному ускорению.

В табл. 4 приведены внешние воздействия для кинематической виброизоляции и оптимальные передаточные функции, которые могут быть реализованы средствами, показанными в табт. 3.

Рис. 8 Примеры инерционных элементов с механизмами преобразования движения: а — маятниковым, б - с горизонтально движущимися массами, в — с горизонтально расположенным диском, г - с передачей винт-гайка, д - с реечной передачей, е - с объемным 1 идромотором, ж - маятниковый в двухкаскадной системе виброизоляции

В отношении систем, синтезированных по критерию (42), следует указать, что при «программном движении» со ступенчатой функцией скорости со стороны основания (или дельта-импульсом силы со стороны объекта) оптимальными оказываются пассивные системы, так как при равномерном движении основания установившиеся относительные перемещения отсутствуют.

Для случая «программного движения» со ступенчатой функцией ускорения (ступенчатой функцией силы) оптимальными оказываются активные системы, полученные из пассивных систем введением воздействия по интегралу относительного перемещения для обеспечения нулевого относительного перемещения системы виброизоляции при постоянном ускорении (силе).

Учет динамических свойств объекта. На примере кинематической виброизоляции рассмотрим методы учета динамических свойств объекта и промежуточных элементов. Если функционал определяется не для точки 2, а для точки 3 (рис, 9 а), то

— для стационарного случайною процесса;

(см. скан)

(см. скан)

— для детерминированного процесса, где

— передаточная функция между точками 2 и 3.

Функционал в выражается так же как и в критериях (41) — (43). Далее составляется функциональный критерий (6) и решение производится на основе (44) и (45).

Рассмотрим случай, когда точки и 2 находятся внутри динамической системы, элементы которой имеют динамические жесткости (рис. 9, б). Функционал рассчитывается для точки 2.

Зададим неизвестную оптимальную передаточную функцию от основания к точке 2:

Рис. 9. Схемы учета динамических характеристик: а — объекта при определении оптимальной передаточной функции; промежуточных элементов между источником вибрационного возбуждения и виброизолятором

Дополнительно запишем уравнение равновесия сил в узле

Из (67) и (68) получим

Динамическая жесткость виброизолятора

Выражения функционалов совпадают с аналогичными выражениями в критериях Функционал

— для стационарного случайного процесса;

- для детерминированного процесса,

Полученные выражения включаются в критерий (6); решение выполняется по (44) и (45).

Синтез плоских и пространственных многомерных систем виброзащиты выполняется на основе методов решения задачи квадратичной минимизации для многомерных систем, включающих вывод и решение матричного уравнения Винера— Хопфа [121] и как окончательный результат получение матрицы оптимальных передаточных функций.

При формулировке критериев виброзащиты для пространственных систем учитываются требования к минимизации пространственных вибраций точки или ряда точек объекта наряду с ограничениями на относительные динамические перемещения или статические перемещения систем виброизоляции. Критерии качества для плоских и пространственных многомерных систем задаются в виде (18).

Подробное решение задачи синтеза пространственной системы виброзащиты твердого тела дано в работе [198] на основе методов теории оптимальной фильтрации для многомерных систем. Процедура решения включает составление функционала в форме следа квадратичной матрицы, операции над следом для получения матричного уравнения Винера-Хопфа и решение матричного уравнения Винера—Хопфа [120]. При решении особое место занимает задача факторизации спектральных матриц. Разработаны алгоритмы факторизации и программы на ЦВМ для определенно положительных дробнорациональных функций и методы факторизации спектральных матриц, содержащих члены с чистым запаздыванием и опережением [248].

Особенностью получаемых решений является многосвязное управление отдельными виброизоляторами [198]. Этот результат зависит как от корреляционной связи между входными сигналами, так и от геометрической связанности колебаний точек тела, оценки ускорений и перемещений которых используются в выбранном критерии качества.

Метод синтеза пространственных систем виброзащиты может быть распространен на более сложные пространственные системы с сосредоточенными и распределенными параметрами [146].