3. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

Переходя к рассмотрению краевых задач, воспользуемся вариационным уравнением механики сплошной среды:

Здесь интегрирование распространено по всему объему рассматриваемого тела: — плотность материала; — вектор перемещения; -интенсивность массовой силы; тензор напряжений; вектор возможных перемещений, соответствующая ему деформация. В специальном учете поверхностной нагрузки в (36) нет необходимости, так как она может быть включена в массовую путем введения обобщенных функций.

Разложим нагрузку К и искомый вектор перемещения в ряд по формам свободных колебаний упругого тела построенным без учета пластических свойств его материала:

где функции одного только времени.

Формы упругих колебаний удовлетворяют известным условиям ортогональности

где объемная деформация для 1-й формы колебаний; — девиатор тензора деформаций 8; этой формы; коэффициент объемного сжатия и модуль сдвига; символ Кронекера.

Рассматривая в (36) только те вариации, которые принадлежат к классу функций (37) и учитывая произвольность вариаций получим с помощью условий (38) систему уравнений для определения неизвестных:

Она нелинейна, так как связь напряжений с деформациями дается нелинейными соотношениями параграфа 1. Предполагая стационарность случайных функций

а также проводя статистическую линеаризацию соотношении параграфа 1 еще до вычисления объемного интеграла в (39), получим из уравнений (39)

Разумеется, коэффициенты комплексны и зависят от частоты, так что запись в форме уравнений (40) в той же мере условна, что и в (25).

Эффект пластических деформаций учитывается в (40) членами с Полагая ниже везде этот эффект малым и разыскивая только асимптотически главную часть решения, найдем, что она дается уравнениями (при разных

С помощью спектральных представлений случайных функций

где коррелированные белые шумы, найдем стационарное решение системы (41), а вместе с ним и спектральное представление девиатора деформации

Первое выражение является спектральным представлением обобщенной координаты. С его помощью по стандартной методике спектральной теории находятся вероятностные характеристики интересующих величин [192]. Детали вычислений зависят от спектральных свойств нагрузки. Следует, однако, иметь в виду, что на этом вычисления не заканчиваются, поскольку в выражение а значит, и также входят некоторые вероятностные характеристики движения Для их определения должны быть составлены надлежащие уравнения. Ниже этот вопрос рассматривается на примерах.

Значительный интерес представляет тот случай, когда нагрузки (42) широкополосны, т. е. имеют место плавные спектральные и взаимные спектральные плотности. Тогда, вычисляя с помощью (43), (17) асимптотические значения интегралов (17), (27) при малых в соответствии с общей методикой [27], получим

Здесь собственные частоты упругого тела значения спектральных плотностей нагрузок на соответствующих собственных частотах интенсивность касательных деформаций для формы колебаний; значения на частотах мнимых частей которые по (40) (28) имеют выражение

Уравнения (44), (45) образуют искомую замкнутую систему для определения неизвестных элементов задачи Уравнение (44) для определения имеет ту

же структуру, что и уравнение (32) для полигармонического деформирования. Этот факт, конечно, неслучаен, а отражает то очевидное обстоятельство, что при широкополосной нагрузке и слабом демпфировании результирующие колебания тела представляют комбинацию узкополосных колебаний со средними частотами, близкими к его собственным частотам

Для практики лабораторного экспериментирования некоторый интерес представляет случай действия на тело нескольких гармонических составляющих, настроенных в резонанс с колебаниями тела нескольким формам колебаний и имеющих случайные и независимые фазы. Полагая что фазы равномерно распределены в промежутке из (17), (27) получим

Здесь

В этих равенствах представляют соответственно амплитуды гармонических составляющих частоты в выражении обобщенной координаты и обобщенной силы

Уравнения (46) вместе с (45) образуют в этом случае систему для определения

Рассмотрим случай одночастотной внешней нагрузки, имеющей частоту близкую к 1-й собственной частоте. В этом случае в спектральном представлении (37) достаточно учесть лишь одно 1-е слагаемое, поскольку здесь условия близки к резонансу.

Тогда

причем

Значение должно быть взято на частоте Уравнения (40), (48), (49) образуют замкнутую систему для

Уравнения (41) могут быть использованы и для анализа медленно затухающих свободных колебаний упругопластического тела. Полагая и разыскивая их решение в виде

получаем с помощью метода медленно меняющихся коэффициентов уравнения для амплитуды и фазы

Отсюда легко найти логарифмические декременты медленно затухающих колебаний по каждой из форм колебаний:

Уравнения (17), (27) для данного случая найдем, предполагая, что начальные значения фаз независимы в вероятностном смысле и имеют равномерное распределение, В результате придем к (46),

В ряде случаев более удобны соотношения, в которых фигурируют характеристики напряженного, а не деформированного состояния. С достаточным приближением из (1) и (25) следуют формулы

где средний квадрат интенсивности касательных напряжений; соответственно интенсивность касательных напряжений и среднее нормальное напряжение для I-й формы упругих колебаний. В новых переменных (46) принимают вид

Приведем явные выражения через величин, попавших в результирующие формулы:

где коэффициент Пуассона.

Приведенные формулы применимы к анализу колебаний как однородных, так и неоднородных тел, причем в последнем случае модуль сдвига коэффициент Пуассона вид функции зависят от координат точек тела.