58. Двукратный интеграл.

Для получения приближенного представления площади кривой мы [I, 87] разбивали ее на вертикальные полосы и заменяли площадь каждой из них прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной некоторому среднему

значению ординаты кривой для данной полосы. При увеличении числа полос и стремлении каждой из них к нулю, ошибка , а приближенное выражение в пределе обращается в определенный интеграл, дающий точное выражение для площади.

Аналогичное построение можно проделать и при вычислении объемов. Область (а) (рис. 33) разбиваем на большое число малых элементов произвольной формы, причем через До обозначаем как сами эти малые области, так и их площади. Каждый из таких элементов примем за основание цилиндра, который, будучи продолжен до пересечения с поверхностью вырежет из объема v элементарный объем.

Рис. 33.

Очевидно, что за величину этого объема мы можем приближенно принять объем цилиндра, основание которого тоже , а высота — ордината, т. е. значение любой точки элемента поверхности, который проектируется в виде элемента . Другими словами, взяв на элементе любую точку N и обозначив для краткости через ординату точки М поверхности (S), соответствующую этой точке N, или, что то же, значение функции в этой точке, мы имеем для элементарного объема и

причем суммирование распространяется на все элементарные площади , заполняющие площадь .

Чем меньше будет каждый элемент и тем самым больше число этих элементов, тем точнее будет полученная приближенная формула, и в пределе можно писать

Отвлекаясь от геометрических представлений, мы можем определить написанный предел суммы и независимо от геометрического изображения функции этот предел и называется двойным, или двукратным, интегралом от функции по области (а) и изображается так:

Существование написанного предела наглядно ясно, ибо этот предел, как мы выяснили, должен давать объем v, описанный нами выше. Такое рассуждение не является, конечно, строгим, но можно доказать

и строго аналитически существование упомянутого предела при вольно общих условиях для и области . Два знака интеграла указывают на двумерность области интегрирования (область на плоскости). Подынтегральное выражение чисто условно. Оно напоминает о том, что величина интеграла есть предел указанных выше сумм. Отметим, что мы при этом не вводим на плоскости никакой системы координат, что мы делали в случае формул (5) и (6). Определенный выше интеграл называем, как и в случае одного переменного, интегралом Римана.

Если мы положим то получим выражение площади с области в виде двойного интеграла

Формулируем полностью определение двукратного интеграла: пусть ограниченная плоская область и функция точки в этой области, т. е. функция, принимающая в каждой точке N области определенное значение. Разбиваем область на частей, частичных областей, и пусть Дал — площади этих частей и какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений

Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и беспредельном уменьшении каждой из частичных областей называется двукратным интегралом от функции по области

Замечание. Пусть максимальное расстояние между двумя точками частичной области с площадью (диаметр этой области) и d — наибольшее из чисел Беспредельное уменьшение каждой из частей , о котором говорится в определении, имеет тот смысл, что . Если буквой обозначить величину интеграла, то высказанное выше определение равносильно следующему: при любом заданном положительном числе существует такое положительное число , что

если только В конце настоящей главы при изложении полной теории кратных интегралов мы введем строгое определение площади,

уточним понятие области , по которой можно производить интегрирование, выясним, каким образом ее можно разбивать на частичке области и докажем существование предела упомянутых сумм.