4. Уравнения Фредгольма второго рода.

Начнем с изучения уравнения Фредгольма второго рода, содержащего параметр , в случае одного измерения:

Будем предполагать, что промежуток конечен, непрерывна в нем и ядро непрерывная функция в квадрате определяемом неравенствами: При этих предположениях все те преобразования, которые мы будем делать в дальнейшем, допустимы, и мы будем обращать все внимание на принципиальную сторону вопроса. Функции будем считать комплексными, если не оговорена особо их вещественность:

Решение будем искать в классе непрерывных функций. Затем мы исследуем интегральные уравнения с полярным ядром специального вида. В случае одного независимого переменного это уравнения вида

где непрерывна в будем искать непрерывные решения, считая непрерывной. В двумерном случае

где расстояние между точками Р и Q, принадлежащими В, и интегрирование производится по точке

Аналогичный вид имеют уравнения с полярным ядром в трехмерной области, на поверхности и вообще -мерной области.

После этого, используя интеграл Лебега, мы рассмотрим интегральные уравнения в классе при предположениях, которые будут уточнены в дальнейшем.

Рассмотрим «интегральное преобразование» («интегральный оператор»)

В силу предполагаемой непрерывности всякая непрерывная в промежутке функция преобразуется в непрерывную функцию Из (23) следует:

Считая только, что интеграл от имеет конечное значение и применяя неравенство Буняковского, получим

Второй множитель справа есть число, и из непрерывности вытекает непрерывность т. е. оператор (23) преобразует всякую функцию с указанным выше свойством в непрерывную в функцию Из сказанного следует, что при непрерывности естественно и решение искать в классе непрерывных функций.

Отметим еще, что оператор (23) «линеен», т. е. если — постоянные, то

Если то уравнение (22) называется неоднородным. Напишем соответствующее однородное уравнение:

Оно имеет очевидное решение которое мы назовем нулевым решением. Как мы упоминали в [2], значение при котором уравнение (25) имеет решения, отличные от нулевого, называется характеристическим значением ядра или соответствующего интегрального уравнения, а всякое ненулевое решение уравнения

— собственной функцией, соответствующей характеристическому значению Отметим, что не может быть, очевидно, равно нулю, ибо из следует согласно (25), что . В силу линейности и однородности уравнения (25) относительно искомой функции, если собственные функции, соответствующие одному и тому же характеристическому значению то и функция

где — произвольные постоянные, тоже собственная функция, соответствующая если только формула (27) не дает тождественно по s нуля. Если функции линейно независимы, то только в том случае, если все постоян равны нулю. Как мы покажем дальше, всякому характеристическому значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций так что формула

где — произвольные постоянные, не все равные нулю, дает все собственные функции, соответствующие характеристическому значению Обычно говорят, что функции образуют базис решений однородного уравнения (26). Если совершить линейное преобразование базиса

с определителем отличным от нуля, то образуют другой базис решений однородного уравнения. В частности, к системе функций можно применить процесс ортогонализации и тем самым можно считать, что базис образует конечную ортонормированную систему.