Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Уравнения Фредгольма второго рода.

Начнем с изучения уравнения Фредгольма второго рода, содержащего параметр , в случае одного измерения:

Будем предполагать, что промежуток конечен, непрерывна в нем и ядро непрерывная функция в квадрате определяемом неравенствами: При этих предположениях все те преобразования, которые мы будем делать в дальнейшем, допустимы, и мы будем обращать все внимание на принципиальную сторону вопроса. Функции будем считать комплексными, если не оговорена особо их вещественность:

Решение будем искать в классе непрерывных функций. Затем мы исследуем интегральные уравнения с полярным ядром специального вида. В случае одного независимого переменного это уравнения вида

где непрерывна в будем искать непрерывные решения, считая непрерывной. В двумерном случае

где расстояние между точками Р и Q, принадлежащими В, и интегрирование производится по точке

Аналогичный вид имеют уравнения с полярным ядром в трехмерной области, на поверхности и вообще -мерной области.

После этого, используя интеграл Лебега, мы рассмотрим интегральные уравнения в классе при предположениях, которые будут уточнены в дальнейшем.

Рассмотрим «интегральное преобразование» («интегральный оператор»)

В силу предполагаемой непрерывности всякая непрерывная в промежутке функция преобразуется в непрерывную функцию Из (23) следует:

Считая только, что интеграл от имеет конечное значение и применяя неравенство Буняковского, получим

Второй множитель справа есть число, и из непрерывности вытекает непрерывность т. е. оператор (23) преобразует всякую функцию с указанным выше свойством в непрерывную в функцию Из сказанного следует, что при непрерывности естественно и решение искать в классе непрерывных функций.

Отметим еще, что оператор (23) «линеен», т. е. если — постоянные, то

Если то уравнение (22) называется неоднородным. Напишем соответствующее однородное уравнение:

Оно имеет очевидное решение которое мы назовем нулевым решением. Как мы упоминали в [2], значение при котором уравнение (25) имеет решения, отличные от нулевого, называется характеристическим значением ядра или соответствующего интегрального уравнения, а всякое ненулевое решение уравнения

— собственной функцией, соответствующей характеристическому значению Отметим, что не может быть, очевидно, равно нулю, ибо из следует согласно (25), что . В силу линейности и однородности уравнения (25) относительно искомой функции, если собственные функции, соответствующие одному и тому же характеристическому значению то и функция

где — произвольные постоянные, тоже собственная функция, соответствующая если только формула (27) не дает тождественно по s нуля. Если функции линейно независимы, то только в том случае, если все постоян равны нулю. Как мы покажем дальше, всякому характеристическому значению соответствует конечное число линейно независимых собственных функций так что формула

где — произвольные постоянные, не все равные нулю, дает все собственные функции, соответствующие характеристическому значению Обычно говорят, что функции образуют базис решений однородного уравнения (26). Если совершить линейное преобразование базиса

с определителем отличным от нуля, то образуют другой базис решений однородного уравнения. В частности, к системе функций можно применить процесс ортогонализации и тем самым можно считать, что базис образует конечную ортонормированную систему.

1
Оглавление
email@scask.ru