Глава XXII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Установившееся движение потока

233. Для того чтобы пояснить происхождение и смысл понятия интегральных инвариантов, я полагаю полезным начать с изучения частного примера, заимствованного из одного физического приложения.

Рассмотрим какой-нибудь поток, и пусть три компоненты скорости молекулы, имеющей в момент координаты х, у, z.

Мы будем считать функциями от t, х, у, z и предположим, что эти функции заданы.

Если не зависят от и зависят только от х, у, z, то говорят, что движение потока установившееся. Мы предположим, что это условие выполнено.

Тогда траектория любой молекулы потока является кривой, определенной дифференциальными уравнениями

Если бы мы умели интегрировать эти уравнения, то нашли бы с их помощью

так что были бы выражены в функции времени и их начальных значении

Зная начальное положение молекулы, мы определили бы с их помощью таким образом положение этой же молекулы в момент

Рассмотрим молекулы жидкости, множество которых образует в начальный момент некоторую фигуру когда эти молекулы сместятся, их множество образует новую фигуру, которая будет деформироваться непрерывным образом, и в момент множество рассматриваемых молекул образует новую фигуру F.

Мы предположим, что движение потока непрерывно, т. е. что непрерывные функции от х, у, z; тогда между фигурами существуют некоторые соотношения, очевидность которых следует из непрерывности.

Если фигура является непрерывной кривой или поверхностью, то фигура F будет непрерывной кривой или поверхностью.

Если фигура представляет собой односвязный объем, то фигура F будет односвязным объемом.

Если фигура замкнутая кривая или поверхность, то такой же будет фигура F.

Исследуем, в частности, случай жидкости; именно тот случай, когда жидкость несжимаема, т. е. когда объем жидкой массы не изменяется.

Предположим тогда, что фигура объем; по истечении времени жидкая масса, которая заполняла этот объем, займет другой объем, который будет не чем иным, как фигурой F.

Объем жидкой массы не должен был измениться; следовательно, имеют один и тот же объем, что можно записать так:

первый интеграл распространен на объем F, а второй — на объем Мы скажем тогда, что интеграл

есть интегральный инвариант.

Известно, что условие несжимаемости может быть выражено уравнением

Оба уравнения (2) и (3), следовательно, эквивалентны

Обратимся к случаю газа, т. е. к случаю, когда объем текучей массы переменен; тогда неизменной остается масса, так что если через обозначить плотность газа, будем иметь

Первый интеграл распространен на объем F, второй — на объем Другими словами, интеграл

есть интегральный инвариант,

В этом случае, так как движение установившееся, уравнение нераз рывности записывается в виде

Следовательно, условия (4) и (5) опять эквивалентны.

234. Второй пример нам доставляет теория вихрей Гельмгольца.

Предположим, что фигура замкнутая кривая; то же будет и для фигуры F.

Предположим, что поток, сжимаемый или несжимаемый, имеет постоянную температуру и подвержен только влиянию сил, допускающих потенциал; тогда для того чтобы движение оставалось установившимся, необходимо, чтобы удовлетворяли определенным условиям, которые здесь нет надобности развивать.

Предположим эти условия выполненными.

Рассмотрим при этом предположении интеграл

Как мы знаем из теоремы Гельмгольца, этот интеграл будет иметь одно и то же значение вдоль кривой F и вдоль кривой

Другими словами, этот интеграл есть интегральный инвариант.