Гетероклинные решения

399. Существуют ли гетероклинные решения?

Мы можем видеть, что если имеется одно, то их имеется бесконечное множество.

В самом деле, пусть точка, принадлежащая периодической системе; пусть две асимптотические кривые, сходящиеся в этой точке причем одна первого, а другая второго семейства. Мы видели только что, каким образом эти кривые пересекаются, определяя гомоклинные двояко-асимптотические решения.

Пусть теперь точка, принадлежащая другой периодической системе; пусть две асимптотические кривые, причем первого, второго семейства.

Предположим, что пересекает в это пересечение будет соответствовать гетероклинному двояко-асимптотическому решению.

Но если эти две кривые пересекаются в то они будут также пересекаться в бесконечно многих точках последующих точки

Я уточняю; я предполагаю, например, что периодическая система, частью которой является состоит из пяти точек тогда пятая последующая любой точки кривой также будет находиться на этой кривой и, вообще, если лежит на этой кривой, то это же будет и с ее последующей лишь бы было кратным пяти.

Предположим также, что периодическая система, частью которой является состоит из семи точек; тогда, если лежит на кривой то это же будет и с ее последующей лишь бы было кратным семи.

Итак, если две кривые имеют пересечение в то они будут пересекаться также в лишь бы было кратным тридцати пяти.

Итак, пусть дуга кривой дуга сово купность этих двух дуг, имеющих одни и те же концы, образует замкнутую кривую. Относительно этой замкнутой кривой мы можем рассуждать, как в п. 396; мы видим, следовательно, что если две дуги не имеют других общих точек, кроме их концов, то эта замкнутая кривая не имеет двойной точки и ограничивает область, аналогичную области пунктов 395 и 396.

Если две дуги имеют другие общие точки, кроме их концов, то можно найти две другие дуги, составляющие часть двух дуг не имеющие других общих точек, кроме их концов, и ограничивающие область, аналогичную а". Относительно этой области мы будем рассуждать, как в пунктах 395 и 396, и увидим, что на каждой из этих кривых между двумя любыми точками пересечения с другой кривой можно найти бесконечно много других точек пересечения.

Это рассуждение показывает, что если имеется одно гетероклинное решение, то их имеется бесконечное множество.

400. Если имеется гетероклинное решение, то сеть, о которой мы говорили в п. 397, становится еще более сложной; вместо одной-единственной кривой навивающейся на самое себя, никогда себя не пересекая, и пересекающей бесконечно много раз другую кривую мы будем иметь две кривые которые, никогда взаимно не пересекаясь, должны пересекать бесконечно много раз

397 мы определили множество относительно точки и асимптотических кривых мы могли бы определить аналогичное множество относительно точки и двух асимптотических кривых

Если гетероклинного решения нет, то эти два множества должны лежать вне друг друга; следовательно, они не могут заполнять полуплоскость.

Если, напротив, гетероклинное решение существует, то эти два множества совпадут. Мы видим, что существование подобного решения, если бы нам удалось его установить, было бы аргументом против устойчивости.

В главе XIII мы изучили ряды Ныокома и Линдштедта, в п. 149 мы доказали, что эти ряды не могут сходиться для всех значений постоянных, которые в них входят. Но один вопрос оставался сомнительным; не могут ли сходиться эти ряды для некоторых значений этих постоянных и, например, не может ли случиться, что сходимость имеет место, когда отношение равно корню квадратному из рационального числа, не являющегося точным квадратом (см. т. II, стр. 420)?

Но если гетероклинное решение существует, то ответ на этот вопрос должен быть отрицательным. В самом деле, предположим, что для некоторых значений отношения ряды Ньюкома и Линдштедта сходятся, и вернемся к нашему способу представления. Решения дифференциальных уравнений, которые соответствовали бы этому значению представились бы определенными криволинейными траекториями. Множество этих кривых образовало бы поверхность, допускающую те же связности, что и тор, и эта поверхность пересекла бы нашу полуплоскость по определенной замкнутой кривой С.

Множество о котором мы только что говорили, должно было бы лежать целиком вне этой кривой или целиком внутри нее.

Пусть тогда две точки, принадлежащие двум различным системам. Если лежит внутри кривой С, а вне этой кривой, то множество относительно должно быть целиком внутри нее, тогда как множество относительно будет целиком вне ее.

Таким образом, эти два множества не могли бы иметь ни одной общей точки, и гетероклинного асимптотического решения, идущего из существовать не могло бы.

Но если мы допустим предположение, высказанное в томе II на стр. 420, которое я только что напомнил, т. е. если бы сходимость имела место для бесконечного числа значений отношения например, для которых квадрат есть рациональное число, то существовало бы бесконечное множество кривых С, которые отделяли бы друг от друга точки, принадлежащие различным периодическим системам. Это предположение, следовательно, несовместно с существованием гетероклинных решений (по крайней мере, если две точки которые мы рассматриваем, или, точнее, соответствующие периодические решения, отвечают двум различным значениям числа [21].