Приложение к задаче трех тел

301. Предыдущие рассуждения приложимы к случаю, когда уравнение

влечет за собой следствие, что х. могут изменяться только в конечных пределах.

К сожалению, в задаче трех тел этого нет. Я приму обозначения п. 11; я обозначу через координаты второго тела относительно первого; через — координаты третьего тела относительно центра тяжести двух первых; через расстояния между тремя телами; через их массы и, наконец, через

— величины, которые в п. 11 я назвал .

Тогда мы будем иметь

Равенство (1) влечет за собой неравенство

Функция V существенно положительна; если, следовательно, постоянная положительна, то неравенство будет удовлетворяться всегда; но вопрос заключается в том, чтобы узнать, можно ли давать достаточно малые отрицательные значения, чтобы неравенство могло удовлетворяться только для ограниченных значений координат х. Это сводится к вопросу о том, может ли удовлетворяться неравенство

присоединенное к неравенствам, налагаемым на три стороны треугольника

только для конечных значений

Примем и очень большим; примем очень малым; неравенства (4) выполняются сами собой.

Что касается неравенства (3), которое принимает вид

то оно может быть удовлетворено, каково бы ни было сколь угодно большими значениями а.

Как бы мало ни было как бы велико ни было а, всегда можно взять достаточно малым, чтобы левая часть была положительной.

Существование интегралов площадей не изменяет этого заключения; в самом деле, интегралы эти записываются в виде

В силу этих уравнений имеем

где I — момент инерции, которым обладала бы система, образованная двумя материальными точками, массы которых были бы а координаты относительно трех неподвижных осей — момент инерции, говорю я, который эта система имела бы относительно прямой, служащей мгновенной осью вращения твердого тела, которое совпадало бы

в данный момент времени с этой системой и вращалось бы таким образом, что постоянные площадей были бы те же, что и для системы.

Тогда неравенство (2) должно быть заменено следующим:

Но это неравенство, как и само неравенство (2), может быть удовлетворено сколь угодно большими значениями ибо для очень больших значений момент инерции I очень велик, и, так как правая часть очень близка к нулю, мы снова возвращаемся к неравенству (2).

Следовательно, мы должны заключить, что рассуждения предыдущего, пункта неприменимы.

Для того чтобы лучше отдать себе в этом отчет, вычислим интегральный инвариант

распространяя его на область, определенную следующими неравенствами:

Величины очень малы; К суть левые части равенств (5), а - приведенная живая сила, т. е. левая часть (6).

Проинтегрируем сначала по найдем

где представляют три главных момента инерции системы.

Я замечу мимоходом, что если выбрать оси координат, параллельные главным осям инерции, то согласно определению I мы будем иметь

Мы видим, что интеграл, распространенный на все такие системы значений, что

конечен, хотя знаменатель становится бесконечным, когда одна из точек или бесконечно удаляется. В самом деле,

в этом случае область интегрирования есть бесконечность третьего порядка, а знаменатель обращается в бесконечность лишь второго порядка [12].

302. Но хотя рассуждения предыдущих пунктов более неприменимы, тем не менее, из существования интегрального инварианта можно извлечь некоторые заключения, не лишенные интереса.

Итак, предположим, что расстояние между двумя из тел становится малым и что третье тело удаляется в бесконечность. Третье тело из-за его большого расстояния перестапет возмущать движение двух первых тел, которое станет весьма близким к эллиптическому.

Это третье тело притом будет описывать почти гиперболу вокруг центра тяжести двух первых тел.

Для того чтобы лучше пояснить мою мысль, я сначала возьму простой пример: я предполагаю, что тело описывает гиперболу относительно неподвижной точки. Гипербола состоит из двух ветвей; одна из этих ветвей является аналитическим продолжением другой, хотя для механика траектория состоит только из одной единственной ветви.

Тогда мы можем задаться вопросом, допускает ли траектория в случае задачи трех тел аналитическое продолжение и как его можно определить.

Координаты второго тела относительно первого суть координаты третьего тела относительно центра тяжести двух первых тел суть так что мы приходим к рассмотрению движения двух фиктивных точек, координаты которых относительно трех неподвижных осей суть для первого и для второго.

Первая из этих точек будет описывать почти эллипс, вторая — почти гиперболу и будет двигаться, бесконечно удаляясь по одной из ветвей этой гиперболы. Для того чтобы получить искомое аналитическое продолжение, построим вторую ветвь этой гиперболы и присоединим ее к эллипсу, описанному первой точкой.

Рассмотрим теперь две частные траектории нашей системы. Для первой начальные условия движения будут таковы, что если положительно и очень велико, точка находится очень близко к первой ветви гиперболы, а точка очень близко к эллипсу, так что расстояние этих двух точек как от гиперболы, так и от эллипса стремится к нулю, когда неограниченно возрастает.

Примем асимптоту гиперболы за ось и пусть V — скорость точки, описывающей эту гиперболу для положительного и очень большого значения Тогда

будет стремиться к конечному и определенному пределу X, когда будет неограниченно возрастать.

Пусть также среднее движение по эллипсу, средняя аномалия, тогда разность

будет стремиться к конечному и определенному пределу 10.

Если мы зададим эллипс и гиперболу и, следовательно, если кроме того зададим X и 10, то начальные условия движения, соответствующего первой траектории, будут полностью определены.

Рассмотрим теперь вторую траекторию и предположим, что начальные условия движения таковы, что для отрицательного и очень большого точка будет очень близка ко второй ветви гиперболы, а точка очень близка к эллипсу и что эти две точки приближаются к этим двум кривым, когда стремится к .

Разности

стремятся к конечным и определенным пределам X и когда стремится к бесконечности.

Начальные условия, соответствующие второй траектории, полностью определены, когда заданы эллипс, гипербола,

Если мы имеем

то обе траектории могут быть рассматриваемы как аналитическое продолжение одна другой.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений

где функции зависящие только от удовлетворяют соотношению

эти уравнения допускают интегральный инвариант

Допустим, что мы узнали каким-то образом, что точка должна оставаться внутри некоторой области V, аналогичной области рассмотренной в предыдущих пунктах, но неограниченно простирающейся таким образом, что интеграл (2), распространенный на эту область, бесконечен. Заключения пунктов 297 и 298 не будут более применимы.

Однако заменим уравнения (1) следующими:

где М — любая заданная функция

Точка движение которой определяется уравнениями будет описывать те же траектории, что и точка, движение которой определяется уравнениями (1). В самом деле, дифференциальные уравнения этих траекторий как в одном, так и в другом случае суть

Однако если я называю Р точку, движение которой определено уравнениями (1), и — точку, движение которой определено уравнениями то мы видим, что эти две точки описывают одну и ту же траекторию, но по различным законам.

Если я назову момент времени, когда Р проходит через точку своей траектории, момент, когда Р проходит эту же самую точку, то эти два момента времени будут связаны соотношением

При этом мы имеем

что означает, что уравнения

допускают интегральный инвариант

Допустим, что функция М всегда положительна и что она стремится к нулю, когда точка удаляется в бесконечность, и притом достаточно быстро, чтобы интеграл распространенный на область V, был конечен.

Выводы и следующих приложимы к уравнениям Следовательно, уравнения обладают устойчивостью по Пуассону.

Я уточняю мою мысль.

Мы имеем

Поскольку функция М существенно положительна, будет возрастать вместе с по, так как М может обратиться в нуль, то может случиться, что интеграл в правой части (3) будет бесконечен.

Предположим, например, что М обращается в нуль при тогда будет бесконечным при

Рассмотрим траекторию точки мы можем разделить ее на две части — первую С, которую проходит от момента до момента вторую — , которую проходит от момента до .

Точка Р будет описывать ту же траекторию, что и Р, во она опишет только часть С, ибо она может достигнуть части С только по истечении бесконечного времени

Для механика траектория Р будет состоять, следовательно, только из для аналитика она состоит не только из С, но и из С, являющейся ее аналитическим продолжением.

Рассмотрим точку положение которой определено следующим образом: точка будет занимать в момент то же положение, что и точка Р в момент что же касается оно будет определено равенством

Движение точки будет происходить в соответствии с уравнениями (1), и эта точка опишет С, так что можно рассматривать траектории точек как аналитическое продолжение одна другой.

Предположим теперь, что точка Р в начальный момент времени лежит внутри некоторой области Если начальные условия движения не являются исключительными в смысле, данном этому слову в , то траектория точки ее последовательные аналитические продолжения пересекут бесконечное число раз область какой бы малой она ни была. Однако может случиться, что точка Р пикогда не войдет в эту область, потому что эта область пересекается не траекториями точки Р в собственном смысле, а их аналитическими продолжениями [13].

303. Это приложимо к задаче трех тел.

Выше мы видели, что необходимо рассмотреть интеграл

который мы свели при этом к шестикратному интегралу

Но мы видели, что этот интеграл, взятый по области V, бесконечен, и это помешало нам заключить об устойчивости по Пуассону.

Запишем уравнения движения в виде

где функции от

Тогда пусть

и запишем новые уравнения

Новые уравнения допускают в качестве интегрального инварианта

или же

Но этот интеграл конечен.

Следовательно, если начальное положение системы таково, что точка Р пространства двенадцати измерений, координаты которой суть в начальный момент времени лежит внутри некоторой области то траектория этой точки и ее аналитические продолжения [13], как мы их определили в конце п. 302, пересекут эту область бесконечпое число раз, по крайней мере, если начальное положение системы не является исключительным в смысле, данном этому слову в п. 296.

304. На первый взгляд кажется, что это следствие может интересовать только аналитика и не имеет никакого физического смысла. Однако этот взгляд не совсем оправдан.

В самом деле, можно заключить, что если система не проходит вновь бесконечное число раз сколь угодно близко от своего первоначального положения, то интеграл

будет конечен.

Это предложение верно, если оставить в стороне некоторые исключительные траектории, вероятность которых равна нулю в смысле, данном этому слову в п. 296.

Если этот интеграл конечен, то мы заключим, что промежуток времени, в течение которого периметр треугольника, составленного тремя телами, остается меньше заданного количества, всегда конечен.