Определение интегральных инвариантов

235. В примерах, которые были только что указаны мною, мы легко приходим, по самой природе вопроса, к рассмотрению интегральных инвариантов.

Но ясно, что можно применить эти инварианты, обобщая их определение, в гораздо более распространенных случаях, когда им нельзя было бы больше приписывать столь же простой физический смысл.

Рассмотрим дифференциальные уравнения вида

где X, Y, Z - заданные функции от

Если бы мы умели интегрировать эти уравнения, то с их помощью были бы найдены х, у, z в функции от и их начальных значений

Если мы будем рассматривать как время, а х, у, z - как координаты движущейся точки М в пространстве, то уравнения (1) определят законы движения этой движущейся точки.

Те же уравнения после интегрирования определили бы нам положение движущейся точки М в момент если известно ее начальное положение координаты которого суть

Если рассматриваются точки, движущиеся по одному и тому же закону, множество которых образует в начальный момент фигуру то множество этих же точек образует в момент другую фигуру F, которая будет линией, поверхностью или объемом в зависимости от того, будет ли сама фигура линией, поверхностью или объемом.

Рассмотрим теперь интеграл

где А, В, С — известные функции от х, у, z; может случиться, что если F есть линия, этот интеграл (2), распространенный на все элементы линии F, будет постоянной, не зависящей от времени, и равной, следовательно, значению того же интеграла, распространенного на все элементы линии

Предположим теперь, что поверхности, и рассмотрим двойной интеграл

где А, В, С — функции от х, у, z. Может случиться, что этот интеграл имеет одно и то же значение как при распространении его на все элементы поверхности F, так и на все элементы поверхности

Вообразим теперь, что объемы, и рассмотрим тройной интеграл

где М — функция от х, у, z; может случиться, что он имеет одно и то же значение для F и для

В этих различных случаях мы скажем, что интегралы (2), (3) и (4) являются интегральными инвариантами.

Иногда может случиться, что интеграл (2) будет иметь одно и то же значение для линий только тогда, когда эти две кривые замкнуты; или же что двойной интеграл (3) будет иметь одно и то же значение для поверхностей только тогда, когда эти две поверхности замкнуты.

Тогда мы скажем, что (2) является интегральным инвариантом относительно замкнутых кривых и что (3) — интегральный инвариант относительно замкнутых поверхностей.

236. Использованное нами геометрическое представление не играет, очевидно, никакой существенной роли; мы можем оставить его в стороне, и ничто не помешает более распространить предыдущие определения на случаи, когда число переменных больше трех.

Рассмотрим тогда уравнения

где заданные функции от если бы мы умели их интегрировать, мы нашли бы как функции от и их начальных значений Чтобы сохранить ту же терминологию, мы можем назвать точкой М систему значений а точкой систему значений

Рассмотрим множество точек образующих многообразие и множество соответствующих точек М, образующих другое многообразие

Мы предположим, что непрерывные многообразия измерений, где

Рассмотрим тогда интеграл порядка

где А — функция от произведение дифференциалов, взятых среди дифференциалов

Может оказаться, что этот интеграл имеет одно и то же значение для двух многообразий Тогда мы скажем, что это — интегральный инвариант.

Может случиться также, что этот интеграл принимает одно и то же значение для двух многообразий но только при условии, что эти два многообразия замкнуты. Тогда это — интегральный инвариант относительно замкнутых многообразий.

Можно еще вообразить другие виды интегральных инвариантов. Допустим, например, что и что сводятся к линиям; может случиться, что интеграл

имеет одно и то же значение для есть интегральный инвариант; но может также случиться, что интеграл

где В, С, так же как и А, — суть функции от может случиться, говорю я, что этот интеграл принимает одно и то же значение для и было бы легко вообразить себе другие аналогичные примеры.

Число будет называться порядком интегрального инварианта.

Связь инвариантов с интегралами

237. Возьмем снова систему

Если бы мы умели ее интегрировать, мы смогли бы образовать все ее интегральные инварианты.

Действительно, если бы интегрирование было выполнено, можно было представить результат в форме

где произвольные постоянные, у и заданные функции от х.

Заменим переменные, принимая за новые переменные у и z вместо х.

Рассмотрим теперь какой-нибудь интегральный инвариант; этот инвариант должен содержать под знаком (который будет повторен если инвариант имеет порядок некоторое выражение, функцию от х и их дифференциалов После замены переменных это выражение станет функцией от у, z и их дифференциалов

Чтобы перейти от точки фигуры к соответствующей точке фигуры F, следует, не меняя у, заменить z на Следовательно, при переходе от бесконечно малой дуги к соответствующей дуге F дифференциалы не изменяются (в самом деле, величина прибавляемая к z, одна и та же для обоих концов дуги); наконец, если рассмотреть бесконечно малую фигуру любого числа измерений и соответствующую фигуру F, то произведение дифференциалов (количество которых равно числу измерений также не изменится, если перейдем от одной фигуры к другой.

Короче говоря, для того чтобы некоторое выражение было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы величина z не входила в него; могут входить в него любым образом.

Рассмотрим выражение того же вида, что и выражение, которое мы рассмотрели в предыдущем параграфе

это выражение представляет интеграл порядка р, А — функция от — произведение дифференциалов, взятых из числа дифференциалов

Мы хотим узнать, является ли это выражение интегральным инвариантом; производя замену переменных, указанную выше, приведем выражение (3) к виду

где В — функция от у и произведение дифференциалов, взятых из числа дифференциалов

Чтобы выражение (3) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все В были независимы от z и зависели только от у.

Рассмотрим снова, как и в предыдущем параграфе, выражение

где суть функции от х.

После замены переменных это выражение примет вид

положил для бблыпей симметрии в обозначениях

Чтобы выражение (4) было интегральным инвариантом, необходимо и достаточно, чтобы все В и С были независимы от z и зависели только от у.