Глава XXIII. ПОСТРОЕНИЕ ИНВАРИАНТОВ

Применение последнего множителя

254. Прежде всего, имеется интегральный инвариант, который образуется очень легко, когда известен последний множитель дифференциальных уравнений.

Пусть

— наши дифференциальные уравнения.

Предположим, что существует такая функция М от что имеем тождественно

Эту функцию называют последним множителем.

В таком случае я утверждаю, что интеграл порядка

есть интегральный инвариант. Действительно, допустим, что мы проинтегрировали уравнения (1), выразив в функции от постоянных интегрирования

интеграл примет вид

где якобиан, или функциональный определитель переменных х относительно а; тогда получим

Но

С другой стороны,

Я записываю только первую строку этого определителя; остальные получаются заменой на

Следовательно, должно быть якобианом

относительно постоянных к; он будет равен произведению якобиана от относительно к, т. е. на якобиан относительно переменных хкоторый я обозначу через я записываю

Но якобиан D легко составить; элементы главной диагонали конечны, элементы, принадлежащие строке и столбцу, записываются в виде

Остальные элементы бесконечно малы; элементы, принадлежащие строке и столбцу , записываются в виде

Отсюда следует, что если пренебречь членами порядка получим

откуда

Отсюда заключаем

откуда, наконец,

что и требовалось доказать.