Фокусы по Мопертюи

345. Кинетические фокусы не являются совершенно одними и теми же в зависимости от того, рассматриваем ли мы гамильтоново действие или действие по Мопертюи. Чтобы лучше убедиться в этом, предположим,

что имеются только две степени свободы, и пусть у — две переменные, которые определяют положение системы и которые мы можем считать координатами точки на плоскости.

Пусть

уравнения траектории , которая будет плоской кривой. Положим

и, пренебрегая квадратами составим уравнения в вариациях. Так как они линейны и четвертого порядка, то мы, следовательно, будем иметь

где а — постоянные интегрирования, и функции от

Тогда уравнение

запишется в виде

Именно это уравнение и определяет гамильтоновы фокусы.

Это означает, что точка х, у, описывающая траекторию , и точка описывающая бесконечно близкую траекторию , разделены в два различных момента времени, а именно, в моменты бесконечно малым расстоянием высшего порядка.

Но это не те условия, которые должны выполняться для фокусов по Мопертюи. Две точки траектории , а именно, две точки , соответствующие моментам должны находиться на бесконечно малом расстоянии высшего порядка от траектории .

Однако необязательно, чтобы подвижная точка, пробегающая , проходила точно в момент например, бесконечно близко от . Зато постоянная живых сил должна иметь одно и то же значение для это последнее условие не налагается на гамильтоновы фокусы. Одно из решений уравнений в вариациях есть

Следовательно, мы можем предположить

Таким образом, определены две функции и

С другой стороны, разность между постоянной живых сил для и постоянной живых сил для бесконечно мала; очевидно, она является линейной функцией четырех бесконечно малых постоянных

Не ограничивая общности, мы можем предположить, что эта разность в точности равна

Тогда условием того, чтобы значение постоянной живых сил было одним и тем же для и будет или же

Теперь при функции должны быть нулями, откуда вытекают уравнения

С другой стороны, значения при должны быть теми же (с точностью до бесконечно малых высшего порядка), что и значения у при что записывается в виде

откуда исключением находим

Раскрывая этот определитель, находим

и, полагая

приводим уравнение (2) к виду