Случай, когда время не входит явно

316. Предположим, что функции фигурирующие в уравнениях (1), не зависят от времени

В этом случае, как мы это видели в , один из характеристических показателей всегда равен нулю.

С другой стороны, если

— периодическое решение с периодом Т, то таким же будет

какова бы ни была постоянная

В предыдущем пункте мы предполагали, что, каково бы ни было существует периодическое решение

и период мог быть равен только Т, поскольку были периодическими функциями с периодом Т.

Таким образом, период не зависел от

Здесь это уже не так. Мы всегда будем предполагать, что, каково бы ли было уравнения (1) допускают периодическое решение

Но период будет, вообще говоря, зависеть от Я назову Т периодом, а — значением Т при т. е. при .

Тогда мы изменим слегка определение количеств

Обозначим снова через значение при но представит значение при (а не при

В этом случае будут функциями переменных

Если продолжать считать и X координатами точки в пространстве измерений, то уравнения (3) п. 314

будут представлять не кривую, а поверхность, поскольку мы можем менять независимым и непрерывным образом два параметра и

Но важно заметить, что на этой поверхности проведены кривые, различные точки которых соответствуют периодическим решениям, которые нельзя считать существенно различными.

В самом деле, если

— периодическое решение, то таким же будет

какова бы ни была постоянная и это новое решение на самом деле не будет отличаться от первого.

Первому решению соответствует точка

а второму — точка

Когда изменяется непрерывным образом, вторая точка описывает кривую, различные точки которой не соответствуют, следовательно, действительно разным решениям.

В частности, рассмотрим решение

Этому решению будет соответствовать точка

которая принадлежит прямой (4).

Решению

которое не отличается в действительности от первого, будет соответствовать точка

принадлежащая некоторой поверхности составляющей часть поверхности (3).

Речь идет о том, чтобы узнать, содержит ли поверхность (3) другие ветви, кроме и такие, которые очень близки к т. е. существуют ли на поверхности точки, через которые проходят другие ветви поверхности (3), кроме самой поверхности

Без ограничения общности мы сможем предположить, что (или принять другое произвольное соотношение между величинами (3). Действительно, решения

на самом деле не отличаются друг от друга, и будет достаточно рассмотреть одно из них.

Таким образом, мы можем выбрать произвольно постоянную й; и мы можем сделать это, например, так, чтобы

откуда

что и требовалось доказать.

Если мы примем условие то две поверхности (3) и сведутся к кривым и, в частности, поверхность сведется к прямой (4).

Мы снова приходим к исследованию того, проходит ли через точку прямой (4) другая ветвь кривой (3).

Для этого составим комбинацию уравнения с уравнениями (3); эти уравнения представят кривую (3) или же кривую, частью которой

будет кривая (3). Для того чтобы эта кривая не сводилась в рассматриваемой области к прямой (4), необходимо, чтобы якобианы величин относительно якобиан от относительно были равны нулю при

Поскольку ничем не отличаются от остальных то все якобианы величин относительно тип — 1 любых должны обращаться в пуль, т. е. все определители, содержащиеся в матрице пунктов 38 и 63, должны одновременно обращаться в нуль. Рассуждая так же, как в п. 63, мы увидим, что -уравнение должно иметь два нулевых корня.

Отсюда вытекает, что два характеристических показателя должны быть кратными Это уже справедливо для одного из них, равного нулю. Второй показатель должен быть кратным

Если это условие выполняется, то мы составим систему уравнений, содержащую уравнения (3) и Из нее найдем и величины в виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням

Если эти ряды вещественны, то будут существовать периодические решения второго рода; если ряды комплексные, то таких решений не будет.

Я не буду развивать это более подробно.

317. Предположим теперь, что уравнения

в которые время входит явно, допускают однозначный интеграл

так что мы имеем

Мы видели в п. 64, что в этом случае якобиан величин относительно обращается в нуль и что один из характеристических показателей равен нулю.

Уравнения (3) п. 314

в таком случае не являются независимыми, поскольку мы имеем тождественно

Таким образом, они представляют не кривую, а поверхность.

Но в этом случае согласно принципам главы III мы имеем периодических решений с периодом Т

поскольку каждому значению параметра и каждому значению постоянной С соответствует одно периодическое решение. Условимся придавать постоянной С определенное значение и получим только периодических решений с периодом Т

каждое из которых соответствует одному значеиию

Так как уравнения (3) не являются независимыми, то они могут быть заменены из их числа, например, следующими:

Рассмотрим тогда систему

Уравнения представляют уже не поверхность, а кривую, частью которой является прямая

Для того чтобы через точку прямой (4) проходила другая ветвь кривой, необходимо, чтобы якобиан величин

относительно [3 обращался в нуль.

Это условие можно представить еще и в другой форме.

Предположим, что мы разрешили уравнение

относительно и это решение дает

Подставим 0 вместо в , и пусть результат этой подстановки. Таким образом, уравнения (1) окажутся замененными следующими:

Эти уравнении будут допускать периодическое решение

Число характеристических показателей этого периодического решения, рассматриваемого как решение уравнений будет равно . Пусть эти показателей. Они будут теми же, что

и показатели этого периодического решения рассматриваемого как решение уравнений (1), исключая тот из показателей, который равен нулю.

Для того чтобы в окрестности точки прямой (4) уравнения (1) допускали периодические решения второго рода, необходимо и достаточно, чтобы их допускали уравнения т. е. чтобы в точке прямой (4) один из характеристических показателей был кратным

Таким образом, условие, сформулированное выше, что якобиан величин равен нулю, допускает совершенно иную формулировку. Для того чтобы оно выполнялось, необходимо, чтобы два показателя были кратными это всегда справедливо для одного из них, равного нулю; это должно быть верным и для второго показателя.

Предположим, что это условие выполнено. Из уравнений найдем виде рядов, расположенных по целым и дробным степеням

Я не буду выяснять, являются ли эти ряды вещественными.

318. Предположим теперь, что не зависят явно от времени и что уравнения (1) допускают интеграл

В этом случае согласно два из характеристических показателей равны нулю. Если для некоторой системы значений и С уравнения допускают периодическое решение, то они будут допускать его также для близких значений, так что мы будем иметь периодических решений

зависящих от двух параметров Период Т не будет постоянным, он будет функцией и С.

Дадим тогда С определенное значение и пусть спова

— значения при и при

К уравнениям (3) п. 314

присоединим сначала уравнение а затем произвольное соотношение между величипами В, например

В самом деле, мы можем без ограничения общности и по той же причине, что и в п. 316, предположить

Таким образом, получим систему

Эти уравнения представляют кривую; в самом деле, число уравнений равно но уравнений (3) не независимы и могут быть заменены из их числа по той же причине, что и в предыдущем пункте. Таким образом, система сводится к уравнениям. Число переменных рапно а именно:

Эта кривая содержит прямую

Пусть точка этой прямой. Для того чтобы через эту точку проходила другая ветвь кривой, необходимо, чтобы якобиан левых частей уравнений был равен нулю, или, что означает то же, чтобы якобиан величин у и F относительно был равен нулю, или, наконец, поскольку ничем не отличается от остальных чтобы якобианы от F и любых, из величин были все равны нулю.

Это условие допускает другую формулировку.

Как и в предыдущем пункте, из уравнения найдем

и получим уравнения

Тогда согласно необходимо, чтобы из характеристических показателей [если периодическое решение считается принадлежащим уравнениям один был нулем, а второй — кратным или, что означает то же, чтобы из характеристических показателей [если периодическое решение считать принадлежащим уравнениям (1)] два были равны нулю, а третий был кратным

Предположим, что это условие выполнено; из найдем величины в виде рядов, расположенных по целым или дробным степеням я воздержусь также здесь от их исследования.