Глава XXXII. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО ВИДА

385. Возьмем снова уравнения п. 13

степенями свободы. Согласно тому, что мы видели в п. 42, эти уравнения будут допускать такие периодические решения, что когда увеличивается на период Т, переменные увеличиваются соответственно на

Целые могут быть любыми.

Однако это справедливо, только если гессиан от по х не равен нулю. Доказательство п. 42 теряет силу, когда этот гессиан есть нуль и, в частности, когда зависит не от всех переменных х.

Но это как раз имеет место в задаче трех тел. Я напоминаю, что представляют тогда соответственно средние долготы планет, средние долготы перигелиев и средние долготы узлов и что зависит только от двух первых переменных которые пропорциональны корням квадратным из больших осей.

Рассмотрим тогда периодическое решение; согласно принятым соглашениям, решение будет рассматриваться как периодическое, лишь бы разности величин у увеличивались на кратные 2 к, когда увеличивается на период; в самом деле, F зависит только от этих разностей.

Итак, пусть

— количества, на которые увеличиваются

когда увеличивается на период.

Все, что мы смогли установить в главе III — это что существуют периодические решения, соответствующие любым значениям и но в предположении, что

Можно спросить себя, существуют ли также здесь, как и в общем случае, периодические решения, соответствующие любым значениям пяти целых к, решения, которые я могу назвать решениями второго вида.

386. Существуют ли эти решения второго вида? Сразу же возникает соблазн ответить утвердительно, опираясь на соображения непрерывности и учитывая, что достаточно очень мало изменить вид функции F, чтобы получить канонические уравнения, к которым приложимы рассуждения п. 42.

Но тогда возникает одна трудность: чем станут эти решения, когда мы обратим в нуль величину, названную нами которая пропорциональна возмущающим массам?

Если возмущающие массы равны нулю, две планеты подчиняются законам Кеплера; перигелии и узлы неподвижны, так что числа не могут иметь, как кажется, иного значения, чем нуль.

Вот как можно преодолеть это затруднение. Если массы бесконечно малы, то две планеты будут подчиняться законам Кеплера, если только расстояние между ними само не становится в некоторые моменты бесконечно малым.

В самом деле, предположим, что две планеты, сначала очень удаленные друг от друга, как одна, так и другая, описывают кеплеров эллипс. Может случиться, что эти два эллипса пересекаются или проходят очень близко друг от друга, и притом таким образом, что в некоторый момент расстояние между двумя планетами становится очень малым; в этот момент их возмущающее взаимодействие может стать ощутимым, и две орбиты будут подвержены значительным возмущениям. Затем планеты, будучи снова удаленными друг от друга, опять будут описывать кеплеровы эллипсы. Только эти новые эллипсы будут сильно отличаться от старых; перигелии и узлы подверглись значительным изменениям.

Я назову это явление соударением, хотя речь не идет о соударении в собственном смысле этого слова, поскольку две планеты не приходят в соприкосновение, а достаточно, чтобы их расстояние стало достаточно малым для того, чтобы притяжение было ощутимым, несмотря на малость масс.

Как бы то ни было, если принять в расчет орбиты с соударениями, то будет неправильным говорить, что при перигелии и узлы неподвижны и что, следовательно, числа должны быть нулями.

Таким образом, мы пришли к мысли, что решения второго вида существуют и что, если устремить к нулю, то они стремятся к орбитам с рядом соударений. Но этого краткого очерка недостаточно, и необходимо более глубокое исследование.

387. Отдадим себе сначала отчет в последствиях соударения; пусть эллипсы, описанные первой планетой до и после соударения; пусть эллипсы, описанные второй планетой. Ясно, что эти

четыре эллипса должны пересечься в одной и той же точке, и притом таким образом, чтобы две планеты, описывая эти четыре орбиты, проходили через точку пересечения в момент соударения.

В самом деле, пока их расстояние ощутимо, две планеты описывают кривые, мало отличающиеся от эллипса; в течение очень короткого времени, когда их расстояние очень мало, они, наоборот, описывают орбиты, очень отличающиеся от эллипса.

Эти орбиты сводятся к малым дугам кривой С очень малого радиуса кривизны, очень мало отличающимся от дуг гиперболы. В пределе очень короткое время соударения сводится к мгновению; малые дуги кривой С сводятся к точке, и орбита, сводящаяся к двум дугам эллипса, имеет угловую точку.

Чтобы окончательно определить орбиты Е, необходимо знать по величине и по направлению скорости двух планет до и после соударения. Какие соотношения имеются между этими скоростями? Я замечаю прежде всего, что скорость центра масс двух тел должна быть одной и той же до и после соударения, и притом как по величине, так и по направлению.

Рассмотрим теперь скорость Р относительно эта скорость должна быть одной и той же по величине до и после соударения; но она может отличаться по направлению.

Вот правило для определения направления этой скорости после соударения.

Рассмотрим подвижные оси, начало которых лежит в и рассмотрим прямую представляющую по величине и направлению относительную скорость Р относительно до соударения. Эта прямая должна проходить через точку поскольку тело, которое имеет скорость, представляемую ею, должно столкнуться с точкой неподвижной относительно подвижных осей. Но это справедливо только в пределе, это справедливо только потому, что мы рассматриваем как бесконечно малые массы, с одной стороны, так и с другой — бесконечно малое расстояние, на котором взаимное притяжение начинает ощущаться, т. е. то, что можно было бы назвать радиусом действия. Следовательно, было бы точнее сказать, что расстояние 8 точки Р от прямой является бесконечно малой того же порядка, что и радиус действия.

Пусть теперь прямая, представляющая относительную скорость Р относительно после соударения; А В равно по величине а расстояние от равно 8.

Вот, наконец, правило для определения направления Точка и две прямые и лежат в одной и той же плоскости (с точностью до бесконечно малых высшего порядка); угол между и определяется следующим образом: тангенс половины этого угла пропорционален 8 и квадрату длины А В.

Таким образом, мы видим, что направление может быть любым.

Следовательно, единственные условия, которым подчинены наши

четыре скорости, заключаются в следующем: постоянство скорости центра масс по величине и по направлению; постоянство относительной скорости только по величине. Эти условия можно также сформулировать так: живая сила и постоянные площадей не должны изменяться в результате соударения.

388. Попытаемся построить орбиты с соударениями, которые являются пределами, к которым стремятся решения второго вида, когда стремится к нулю.

Прежде всего я замечаю, что для того чтобы подобная орбита была периодической, необходимо предположить, по крайней мере, два соударения. Предположим сначала, что два последовательных соударения никогда не имеют места в одной и той же точке. Итак, пусть эллипсы, описанные планетами в промежутке времени между двумя последовательными соударениями. Эти два эллипса должны будут пересечься в двух точках, а так как они имеют общий фокус, то они лежат в одной и той же плоскости, если только две точки пересечения и фокус не находятся на прямой линии.

Предположим, что мы находимся в условиях этого исключительного случая; пусть две точки пересечения эллипсов которые, как я предполагаю, не лежат в одной и той же плоскости; эти две точки лежат на прямой линии с фокусом пусть эллипсы, описанные двумя планетами после соударения. Они пройдут через точку в которой происходит соударение, и, вообще говоря, не будут лежать в одной и той же плоскости; их плоскости пересекутся по прямой так что их вторая точка пересечения (которая должна существовать, если два последовательных соударения никогда не имеют места в одной и той же точке) будет находиться на этой прямой Я добавляю, что два эллипса будут иметь один и тот же параметр. В самом деле, так как точки лежат на прямой линии, то обратная величина параметра эллипса Е или эллипса будет равна

Вот каким образом следует поступить при этих условиях. Предположим для определенности четыре соударения; пусть точки, в которых имеют место эти четыре соударения.

Мы можем произвольным образом задать эти четыре точки, лишь бы они, разумеется, лежали на одной и той же прямой, проходящей через F.

Мы должны построить два эллипса пересекающиеся в два эллипса пересекающиеся в еще два эллипса и пересекающиеся в и, наконец, еще два пересекающиеся в

Орбита Р состоит из дуг, принадлежащих четырем эллипсам , , а орбита из дуг, принадлежащих четырем эллипсам

Мы зададим себе произвольным образом постоянную живых сил и постоянные площадей; эти постоянные должны быть одинаковыми для промежутка времени между двумя первыми соударениями (орбиты для следующего промежутка времени и для всех других промежутков; согласно предыдущему пункту, — это единственное условие, которое мы должны выполнить.

Вот как мы поступим, чтобы построить рассмотрим движение трех тел; так как мы предполагаем, что то это движение является кеплеровым, и центральное тело можно рассматривать как неподвижное в F. Мы знаем полную живую силу системы. Две планеты должны одновременно выйти из точки чтобы одновременно прийти в точку Когда идут из истинная долгота Р увеличивается на а истинная долгота увеличивается на Мы можем еще задать себе произвольным образом два целых Тогда задача определена полностью; важно заметить, что наклон орбит в нее не входит; чтобы решить ее, можно предположить движение плоским. Задачу всегда можно решить; достаточно, в самом деле, приложить принцип Мопертюи, и действие по Мопертюи, существенно положительное, всегда имеет минимум.

Остается определить плоскости двух эллипсов. Мы знаем постоянные площадей; следовательно, мы знаем неизменную плоскость, которая проходит через прямую секториальная скорость системы представляется вектором, перпендикулярным к неизменной плоскости и известным нам по величине и по направлению; он равен геометрической сумме секториальных скоростей двух планет, изображаемых двумя векторами, которые нам известны по величине, поскольку они равны соответственно где массы двух планет, общий параметр двух эллипсов Следовательно, мы можем построить направления этих двух составляющих векторов, которые перпендикулярны соответственно к плоскости Е и к плоскости

Аналогично мы определим

389. Предположим теперь, что все последовательные соударения имеют место в одной и той же точке Период будет разделен на столько интервалов, сколько будет соударений; рассмотрим один из этих интервалов, в течение которого две планеты описывают два эллипса Как в предыдущем пункте, мы зададим себе постоянные живых сил и площадей, которые должны быть одними и теми же для всех интервалов, и речь идет о построении

Предположим, что в течение рассматриваемого интервала планета Р совершила а планета полных обращений; мы сможем задать себе произвольным образом два целых Зная эти два целых числа, мы будем знать отношение больших осей, а так как мы знаем постоянную живых сил, то узнаем и сами большие оси.

С другой стороны, мы знаем постоянные площадей и, следовательно, вектор, который представляет секториальную скорость системы. Этот вектор может быть разложен бесконечным числом способов на два составляющих вектора, представляющих секториальные скорости

Зададим это разложение произвольным образом. Зная составляющие векторы, узнаем плоскости двух эллипсов и их параметры. Остается узнать ориентацию каждого из эллипсов в его плоскости; мы определим ее так, чтобы эллипс проходил через точку

В итоге мы смогли выбрать произвольно:

1) точку и число интервалов;

2) для всех интервалов постоянную живых сил и постоянную площадей;

3) для каждого интервала целые и разложение секториального вектора.

Однако чтобы задача была возможной, эти произвольные параметры должны удовлетворять некоторым неравенствам, которые я не буду писать.

390. Оставим в стороне эти исключительные случаи, когда все соударения имеют место на одной и той же прямой или в одной и той же точке, и перейдем к случаю плоского движения. Пусть точки, в которых происходят последовательные соударения; мы зададим себе произвольно постоянную живых сил и постоянную площадей, которые должны быть одними и теми же для всех интервалов.

Рассмотрим один из интервалов, например, тот, в течение которого две планеты идут из в Мы зададим произвольно величины двух радиусов-векторов но не зададим ни угол между этими двумя радиусами-векторами, ни продолжительность интервала.

Мы знаем, что в этом интервале разность долготы двух планет увеличилась на Зафиксируем произвольно целое

Зная это целое число, две длины и две постоянные живых сил и площадей, мы имеем все, что необходимо для определения орбит Это сводится снова к приложению принципа Мопертюи, но с определением действия по Гамильтону, как в , и выводом из него действия по Мопертюи при помощи процедуры пунктов 336 и 337. Так как, к сожалению, это действие по Мопертюи не всегда положительно, то мы не уверены, имеет ли оно всегда минимум.

В итоге мы можем выбрать произвольно:

1) число интервалов и длины

2) постоянные площадей и живых сил;

3) для каждого интервала целое

Все полученные таким образом орбиты с соударениями плоские; среди периодических орбит второго вида, которые сводятся к этим орбитам с соударениями при наверняка имеются плоские; возможно также,

что среди них имеются такие, которые не являются плоскими при и становятся плоскими только в пределе.

391. Посмотрим теперь, как можно доказать существование периодических решений второго вида, которые в пределе сводятся к орбитам с соударениями, только что нами построенным.

Рассмотрим одну из орбит с соударениями, и пусть момент, предшествующий первому соударению, и — момент, заключенный между первым и вторым соударениями. Аналогично, пусть — момент, заключенный между вторым и третьим соударениями. Для определенности я предполагаю, что имеется три соударения, и называю Т периодом, так что в момент три тела находятся в том же относительном положении, что и в момент

Я беру за переменные большие оси, наклоны и эксцентриситеты и разности средних долгот, долгот перигелиев и узлов; всего будет одиннадцать переменных, так что орбиту мы будем рассматривать как периодическую, если три тела будут снова находиться в том же самом относительном положении в конце периода.

Пусть значения этих переменных в момент для рассматриваемой орбиты с соударениями и, следовательно, при пусть значения этих переменных в момент для этой же орбиты с соударениями, — их значения в момент их значения в момент Мы будем иметь

где целое, которое должно быть нулем для больших осей, эксцентриситетов и наклонов.

Рассмотрим теперь орбиту, мало отличающуюся от орбиты с соударениями, и дадим очень малое значение, но отличное от нуля. На этой новой орбите наши переменные примут значения в момент в момент в момент и, наконец, в момент

Условием того, чтобы решение было периодическим с периодом будет

Для того чтобы соударение происходило между моментом ?" и моментом при переменные должны удовлетворять двум условиям.

Пусть

— эти два условия.

Положим

Мы видим, что величины являются голоморфными функциями применяя принципы главы III, мы докажем, что то же самое относится и к величинам

Для того чтобы соударение произошло между моментами (в предположении необходимы два условия, которые я записываю в виде

Заменяя в соотношепиях величины их значениями в функции у? и и полагая затем я нахожу

Положим тогда

я вижу, что — голоморфные функции от и а также от и, следовательно, от

Наконец, чтобы соударение произошло между моментами необходимы два условия, которые я записываю в виде

Заменяя в них величины их значениями в функции и полагая затем приведем их к виду

Я полагаю

и опять вижу, что величины голоморфные функции от следовательно, [3? являются голоморфными функциями от

Следовательно, соотношения представляют собой равенства, обе части которых голоморфны относительно Анализ этих уравнений выполняется так же, как в главе III. Он докажет существование решений второго вида.

Я не считаю необходимым вдаваться в большие подробности, ибо эти решения слишком отклоняются от истинных орбит небесных тел.