Замечание об инварианте п. 256

264. В п. 256 мы рассмотрели случай, когда х обозначают координаты точек в пространстве, и уравнения динамики принимают вид

где V — однородна степени относительно х.

Мы видели, что в этом случае

— инвариант четвертого типа.

Два частных случая заслуживают некоторого внимания. Предположим

тогда приходим к равенству

инвариант первого типа.

Это получается, в частности, когда предполагают, что несколько материальных точек притягиваются прямо пропорционально расстоянию. Тогда проверка чрезвычайно легка.

Действительно, в этом случае имеем

и

где X — абсолютная постоянная, в то время как постоянпые интегрирования, которые, вообще говоря, различны для различных пар сопряженных переменных. Тогда получаем

откуда

Это показывает, что

является инвариантом, поскольку время исчезло, и в нем фигурируют только одни постоянные интегрирования и их дифферепциалы.

Пусть теперь этот случай осуществляется, в частности, когда несколько материальных точек притягиваются обратно пропорционально кубу расстояний.

Тогда инвариант превращается в

Но количество под знаком интеграла — полный дифференциал выражения

так что если обозначить через и значения соответствующие двум концам дуги интегрирования, то получится

Если мы, в частности, предположим, что один из концов дуги интегрирования соответствует частному положению системы, в котором материальных точек находятся в покое и на очень большом расстоянии друг от друга, взаимные силы будут очень малы, так что скорости этих материальных точек будут оставаться весьма долго очень малыми, а расстояния — очень большими. Отсюда получается, что будет нулем, так же, как и и для всех значений как и для останется

(страница отсутствует)

(кликните для просмотра скана)