Квадратичные инварианты

285. Изучим теперь с той же точки зрения квадратичные инварианты, т. е. интегральные инварианты вида

где квадратичная форма относительно дифференциалов Пусть

где Н — функции х и у и где произведение может быть заменено в определенных членах произведением или

Тогда мы сможем написать следующее уравнение, аналогичное уравнению (3) п. 278:

С другой стороны, мы нашли в п. 278

Тогда мы сможем записать уравнение (1) в виде

где разлагаются по степеням по синусам и косинусам кратных и, с другой стороны, квадратичны относительно

Следовательно, мы должны иметь

и, кроме того, D должно быть независимым от что показывает, что D должно быть линейным относительно выражений

или относительно выражений, выводимых из них перестановкой или

Коэффициенты будут разложены по степеням произведений и С (если предположить, что периодическое решение соответствует нулевому значению постоянной живых сил).

286. Обратимся снова к уравнениям (7) п. 280 и будем рассуждать, как в п. 280; мы увидим, что выражение

когда и у. заменяются в нем их разложениями в функции , должно удовлетворять следующим условиям.

1. Оно должно быть линейным относительно следующих количеств:

причем коэффициенты будут разложены по степеням и Ф.

2. Оно не будет зависеть от 0, а только от 80.

3. Если эти условия выполнены, то выражение П не будет содержать время ни в показательной форме, ни в тригонометрической.

Остается искать условие того, чтобы время также не входило вне знаков показательных и тригонометрических функций.

Возьмем снова уравнения (9) п. 280; мы увидим, что различным членам таблицы соответствуют следующие члены:

Заставим сначала исчезнуть члены с

Совокупность этих членов является квадратичной формой относительно

Эта квадратичная форма должна быть тождественным нулем. Следовательно, коэффициент при должен быть нулем. Но имеется четыре члена, которые могли бы ввести произведение это члены с

Обозначим для краткости эти четыре выражения через тогда совокупность наших четырех членов запишется в виде:

где разлагаются по степеням и Ф. Для того чтобы коэффициент при исчез, мы должны иметь тождественно

Коэффициент при также должен обратиться в нуль; но он происходит от членов с

Обозначим для краткости эти три выражения через а совокупность трех членов — через

где разлагаются по степеням и Ф.

Для того чтобы исчез коэффициент при мы должны были бы иметь

Для периодического решения мы имеем

Все члены, которые содержат множителем одно из выражений, фигурирующих во 2-й, 3-й и 4-й строках таблицы должны тогда обратиться в нуль, ибо каждое из этих выражений содержит множителем или

Следовательно, единственными членами выражения П, не обращающимися в нуль для периодического решения, являются члены с

Уравнение (1.1) показывает, что содержит множителем следовательно. член равным образом должен обратиться в нуль. Остаются еще только члены с

Первый не содержит второй содержит время в 1-й степени, третий — во 2-й степени.

Так как только этот третий член содержит Р, он должен быть нулем; если он нуль, то второй член также будет нулем, так как только он содержит

Окончательно, все члены П обращаются в нуль для периодического решения, кроме члена с

Но в общей задаче динамики, так же как в случаях задачи трех тел, которые мы назвали ограниченной задачей, общей приведенной задачей и плоской приведенной задачей, мы знаем один и только один квадратичный инвариант.

Если я напишу уравнение живых сил в виде

то этот инвариант является не чем иным, как

именно этому инварианту соответствует член с который не обращается в нуль.

Следовательно, если существует квадратичный инвариант, отличный от уже известного, то этот инвариант должен будет обратиться в нуль для всех точек периодического решения.

Другими словами, это периодическое решение должно быть особым в смысле п. 257 в том, что касается этого инварианта.

Мы имели бы исключение, если бы показателей

не были независимы друг от друга, а если бы между ними имелось соотношение. В этом случае коэффициент при который является квадратичной формой относительно переменных

в самом деле смог бы обратиться в нуль тождественно без обращения в нуль всех его коэффициентов, поскольку эти переменных не были бы более независимыми.

Резюмируем: для того чтобы существовали квадратичные инварианты, отличные от тех, которые нам известны, необходимо, чтобы все периодические решения были особыми или частными.

Мало правдоподобно, чтобы это имело место для задачи трех тел.