Устойчивость и неустойчивость

377. Предположим, что имеется только две степени свободы; два характеристических показателя равны нулю, два других равны и противоположны по знаку.

Уравнение, имеющее корни

является уравнением второго порядка, коэффициенты которого вещественны (Т представляет собой период, один из характеристических показателей).

Следовательно, эти корни вещественные или комплексные сопряженные.

Если они вещественные и положительные, то а — вещественные, и периодическое решение неустойчиво.

Если они комплексные, то а — комплексные сопряженные; так как их произведение равно то а — чисто мнимые, и периодическое решение устойчиво.

Если они вещественные и отрицательные, то а — комплексные, причем мнимая часть равна периодическое решение опять неустойчиво.

При этом они не могут быть вещественными и иметь противоположные знаки, поскольку их произведение равно

Следовательно, имеется два типа неустойчивых решений, соответствующих двум предположениям

Переход от устойчивых решений к неустойчивым решениям первого типа совершается через значение

Переход от устойчивых решений к неустойчивым решениям второго типа совершается через значение

378. Изучим сначала переход к неустойчивым решениям первого типа В момент перехода мы имеем

Возьмем снова количества определенные в главе III, и рассмотрим уравнение

это уравнение имеет корни

В момент перехода эти четыре корня становятся нулями.

Однако прежде чем изучать этот простой случай, когда мы имеем дело с уравнениями динамики с двумя степенями свободы и когда мы

предполагаем, что функция F не зависит явно от времени и что, следовательно, уравнения допускают интеграл живых сил прежде чем изучать, говорю я, этот простой случай, нам следует, может быть, остановиться на мгновепие на еще более простом случае.

Пусть какая-нибудь функция от периодическая с периодом Т отпосительно рассмотрим канонические уравнения

это уравнения динамики с одной-единственной степенью свободы; но так как F зависит от то они не допускают уравнения живых сил

Предположим, что уравнения (2) допускают периодическое решение с периодом Т. Характеристические показатели будут нам заданы следующим уравнением, аналогичным (1)

которое имеет корпи

Оба эти корня становятся нулями в момент перехода.

Предположим, что F зависит от некоторого параметра и что при два корня уравнепия (3) будут нулями. Функции будут зависеть не только от и но и от Мы будем предполагать, что F разложима по степеням и что, следовательно, разложимы по степеням

Периодические решения будут заданы уравнениями

При функциональный определитель от по есть нуль; но, вообще говоря, четыре производных не обратятся в нуль одновременно. Предположим, например, что

мы найдем из первого уравнения (4) в виде ряда, расположенного по степеням и подставим во второе уравнение (1). Пусть

— результат подстановки. Так как функциональный определитель равен нулю, то мы получим

однако необходимо различать два случая.

1. Производная не равна нулю, или, другими словами, функциональный определитель от по не нуль.

В этом случае, если смотреть на и как на координаты точки на плоскости, кривая, представленная уравнением (5), будет иметь в начале координат обыкновенную точку, в которой касательной будет прямая

Вообще говоря, вторая производная

не будет нулем, т. е. начало не будет точкой перегиба для кривой (5).

Если мы пересечем прямой где достаточно малая постоянная, то в зависимости от знака мы сможем иметь две точки пересечения этой прямой с кривой (5) в окрестности начала или же ни одной.

Если, например, кривая лежит над своей касательной, мы будем иметь при два пересечения и, следовательно, два периодических решения, при мы не получим ни одного.

Таким образом, мы видим, что два периодических решения приближаются друг к другу, сливаются, затем исчезают.

Рассмотрим две точки пересечения прямой с кривой (5); они будут соответствовать двум последовательным корням уравнения (5) и, следовательно, двум значениям противоположных знаков производной а значит, двум значениям противоположных знаков функционального определителя от по т. е. произведения

Итак, из двух периодических решений, которые сливаются и, таким образом, исчезают, одно всегда устойчиво, а другое — неустойчиво.

2. Производная или, другими словами, функциональный определитель от по есть нуль.

Тогда кривая (5) имеет в начале особую точку, которая, вообще говоря, будет обыкновенной двойной точкой.

Так как две ветви кривой пересекаются в начале, то прямая всегда встретит кривую в двух точках; следовательно, мы будем иметь два периодических решения, каков бы ни был знак

Две ветви кривой определяют в окрестности начала четыре области; в двух из этих областей, противоположных друг другу относительно вершины, будет положительным; в двух других — отрицательным.

Пусть четыре полуветви, которые сходятся в начале; будет продолжением продолжением будут соответствовать функция будет положительной внутри углов и отрицательной внутри углов

Мы только что видели, что устойчивость зависит от знака производной в таком случае, когда мы пересекаем, например, функция Т переходит от отрицательных значений к положительным; производная будет положительной, и решение будет, например, устойчивым; оно будет также устойчивым, когда мы будем пересекать неустойчивым, когда мы будем пересекать или

Периодические решения, соответствующие устойчивы, и они являются аналитическим продолжением периодических решений, которые соответствуют и являются неустойчивыми.

Обратно, периодические решения, соответствующие и являющиеся неустойчивыми, представляют собой аналитическое продолжение периодических решений, которые соответствуют и устойчивы.

Следовательно, мы имеем два аналитических ряда периодических решений, которые сливаются при и в этот момент эти два ряда обмениваются своей устойчивостью.

Мы только что изучили два наиболее простых случая, но может представиться масса других случаев, соответствующих различным особенностям, которые может иметь в начале кривая (5).

Но, каковы бы ни были эти особенности, мы увидим, что из начала во все стороны расходится четное число полуветвей кривых, а именно, со стороны со стороны Предположим, что малый круг, описанный около начала, встречает их в следующем порядке:

Пусть

— полуветви, соответствующие а

— полуветви, соответствующие .

Тогда полуветви (6) соответствуют, чередуясь, устойчивым периодическим решениям и неустойчивым решениям; я буду говорить для краткости, что эти полуветви поочередно устойчивы или неустойчивы.

То же относится и к полуветвям (7).

С другой стороны, обе устойчивы или обе неустойчивы.

То же относится, следовательно, и к

Итак, пусть число устойчивых полуветвей и число неустойчивых полуветвей при так что

Пусть соответствующие числа при так что

Тогда имеются только три возможных предположения:

Во всех случаях мы имеем

Предположим, что не равно а, например, что так что некоторое число периодических решений исчезает, когда мы переходим от прежде всего, мы видим, что это число всегда четное и, кроме того, согласно предыдущему уравнению, всегда исчезает столько же устойчивых решений, сколько и неустойчивых.

Предположим теперь, что мы имеем аналитический ряд периодических решений и что при мы переходим от устойчивости к неустойчивости или наоборот (и притом так, что показатель а обращается в нуль). Тогда (например) не меньше 1. Следовательно, сумма не меньше 2, откуда следует, что мы будем иметь, по меньшей мере, один аналитический ряд вещественных периодических решений, отличный от первого и сливающийся с ним при

Следовательно, если для некоторого значения периодическое решение теряет устойчивость или приобретает ее (и притом так, что показатель а равен нулю), то оно сольется с другим периодическим решением, с которым оно обменяется своей устойчивостью.

379. Вернемся теперь к случаю, который я предложил рассмотреть с самого начала, случаю, когда время не входит явно в уравнения, когда, следовательно, мы имеем интеграл живых сил когда, наконец, имеется две степени свободы.

Тогда я буду рассуждать, как в п. 317; я предположу, что период периодического решения, равный Т для периодического решения, которое соответствует будет равен и мало отличаться от Т для соседних периодических решений; и я напишу уравнения

в которые входят переменные

Согласно нашим предположениям, функциональный определитель от по должен обратиться в нуль вместе со всеми своими минорами первого порядка, но миноры второго порядка не будут, вообще говоря, все равны нулю одновременно.

Следовательно, положим в уравнениях (1) и рассмотрим функциональный определитель А от

по

Этот определитель обращается в нуль, когда величины обращаются в нуль; но, вообще говоря, миноры первого порядка не будут обращаться в нуль.

В самом деле, рассмотрим функциональный определитель от F и двух из четырех функций по х и двум из четырех переменных Могут ли они все быть нулями одновременно?

Согласно теории определителей, это могло бы случиться только

1) если бы все миноры двух первых порядков определителя от по были равны нулю одновременно, чего, вообще говоря, не бывает и чего мы не будем предполагать;

2) либо если бы все производные от F были нулями одновременно; мы видели в , что они должны были бы обращаться в нуль вдоль всего периодического решения; мы также не будем предполагать и этого;

3) либо, наконец, если бы все производные от по были нулями одновременно; тогда значения.

соответствовали бы не периодическому решению в собственном смысле этого слова, а положению равновесия (см. п. 68).

Этого мы также не будем предполагать.

Следовательно, мы можем всегда предположить, что все миноры пер вого порядка определителя А не равны нулю.

Исключим теперь четыре из неизвестных из уравнений (1).

Исключим, например, останется уравнение вида

так как это уравнение совершенно того же вида, что и уравнение (5) предыдущего пункта, мы будем обращаться с ним таким же самым образом и придем к тем же результатам:

1. Когда периодические решения исчезают, после того как они сольются, то из них исчезает всегда четное число и притом столько же устойчивых, сколько неустойчивых.

2. Когда периодическое решение теряет или приобретает устойчивость при непрерывном изменении (и притом таким образом, что а обращается в нуль), то можно быть уверенным, что в момент перехода с ним сливается другое вещественное периодическое решение того же периода.

380. Перейдем ко второму случаю, когда

Тогда, так как ни один из характеристических показателей не обращается в нуль при

за исключением двух, которые всегда равны нулю, не существует периодического решения с периодом Т, сливающегося с первым при

Но зато в силу принципов главы XXVIII существуют периодические решения второго рода с периодом которые при сливаются с заданным решением, период которого равен Т.

Что мы скажем об их устойчивости? При мы будем иметь, например, устойчивое решение с периодом Т, которое станет неустойчивым при .

Пусть при числа устойчивых и неустойчивых решений, которые допускают период не допуская периода Т. Пусть соответствующие числа при

Тогда, рассматривая все решения с периодом которые допускают пли не допускают период Т, и применяя к ним принципы п. 378, я увижу, что могу сделать по поводу этих четырех чисел следующие три предположения:

Но если мы обратимся к принципам главы XXVIII, то увидим, что эти четыре числа не могут принимать все значения, совместные с тремя предположениями. В п. 335 мы найдем разбор наиболее простых и наиболее часто встречающихся случаев.