Приложение к уравнениям динамики

312. Пусть функция четырех переменных составим канонические уравнения

Я предположу, как я это обычно делаю, что:

1) F - периодическая функция от ;

2) F зависит от параметра и разложима по степеням этого параметра в виде

функция только от

При этих условиях мы будем иметь интеграл

где С — постоянная.

Установив это, дадим С значение, определенное раз навсегда, и пусть М — подвижная точка, прямоугольные координаты которой суть

Функция функция от которую я в дальнейшем определю более точно.

Предположим сначала, что F, которое будет зависеть каким-то образом от разложимо по возрастающим степеням Отсюда следует, что при функция F не будет зависеть более от и, с другой стороны, что функция F не будет изменяться при замене на на Таким образом, мы предположим, что нечетная функция от которая возрастает от 0 до 1, когда растет от 0 до например, можно взять

Если принять это предположение, точка М всегда будет находиться внутри тора радиуса 1, касающегося оси z.

Каждой точке М внутри этого тора будет соответствовать бесконечное число систем значений однако эти системы не будут существенно различаться между собой, поскольку они переходят друг в друга при увеличении или на кратное или при замене на на

Если задать то получится из них при помощи уравнения (2). Предположим, что переменные меняются согласно уравнениям (1); тогда соответствующая точка М опишет некоторую кривую, которую я назову траекторией.

Через каждую точку внутри тора проходит одна и только одна траектория.

Легко видеть, каков вид этих траекторий при

При дифференциальные уравнения сводятся к следующим:

Следовательно, постоянные, что показывает, что наши траектории расположены на торах и что у. — линейные функции времени; ибо производная

зависящая только от есть постоянная.

Если соизмеримы, то траектории суть замкнутые кривые, они, наоборот, не замкнуты, если эти величины несоизмеримы.

Пусть четыре таких целых числа, что

положим

Тождество

показывает, что при переходе от переменных к переменным мы не изменяем канонической формы уравнений.

Предположим, что не обращается в нуль, когда остается меньше некоторого предела а. Тогда всегда будет сохранять один и тот же знак, и мы будем иметь, например,

Это неравенство, верное при будет верным также при малых значениях

В таком случае соотношения

определят некоторую плоскую область которая притом будет иметь форму круга.

Тогда траектории, выходящие из точки этой области, никогда не будут касаться плоскости, проходящей через ось z, по крайней мере, до нового пересечения с полуплоскостью

Следовательно, наша область сможет играть роль области D из п. 310. Уравнения (1) допускают интегральный инвариант

откуда мы выводим следующий интегральный инвариант при помощи интеграла

Но производная равна и, следовательно, отрицательна. В таком случае инвариант является положительным инвариантом.

Результаты пунктов 306 и 308 применимы, следовательно, к кривым, проведенным в области

При этих предположениях пусть значение меньшее и такое, что соответствующие значения удовлетворяют соотношению

где два целых взаимно простых числа.

Кривая

являющаяся окружностью, будет инвариантной кривой при

Предполагая опять получим для траекторий, выходящих из различных точек этой окружности, общее уравнение

откуда

Для того чтобы получись последовательные последующие заданной точки, достаточно положить последовательно

Чтобы перейти от точки к ее последующей, достаточно, следовательно, увеличить на

откуда следует, что все точки инвариантной окружности совпадут с их последующей.

Эта точка и ее первых последующих распределены на этой окружности в круговом порядке, который легко восстановить, зная два целых числа я назову этот порядок

Не будем предполагать более, что уравнения (1), согласно главе III, снова будут допускать периодические решения, мало отличающиеся от решений

Они допускают, по крайней мере, два таких решения, из которых одно неустойчиво, а другое устойчиво. Каждому из этих периодических решений будет соответствовать замкнутая траектория; я рассматриваю одну из этих траекторий, которую обозначаю Т и которую буду считать соответствующей неустойчивому решению, с тем, чтобы через Т проходили две асимптотические поверхности.

Пусть точка, в которой эта траектория пересекает полуплоскость ее последовательные последующие (рис. 7). Точка совпадет со своей последующей

Я соединяю точку с центром окружности проведенный таким образом радиус пересекает окружность в точке очень близкой к

Различные точки будут следовать на окружности в круговом порядке

Я сделал рисунок, предполагая для определенности, что

Замкнутая траектория Т пересекает полуплоскость в пяти точках Через эту траекторию проходят две пересекающиеся асимптотические поверхности.

Рис. 7

Пересечение этих асимптотических поверхностей с полуплоскостью будет состоять из различных кривых; мы будем иметь две кривые, пересекающиеся в две — в две — в две — в две — в Все эти кривые представлены на рисунке.

Рассмотрим, в частности, две кривые, проходящие через будем различать четыре ветви кривой, а именно, две первые представлены сплошной линией, две последние — пунктиром; первая и третья, так же как вторая и четвертая, лежат на продолжении друг друга.

Аналогично, в каждую из точек входят четыре ветви кривой, из которых две представлены сплошной линией, а две — пунктнром, и которые лежат попарно на продолжении друг друга.

Пусть точка ветви проведем через радиус, идущий к центру окружности и продолжим этот радиус до пересечения его в точке

с кривой, изображенной сплошной линией Так как очень малб и все наши кривые мало отличаются от окружности отрезок будет очень малым.

Тогда мы видим, что являются последовательными последующими что есть последующие и, наконец, что последующие

Дуги , вообще, более не прямолинейны, а являются очень малыми дугами кривой.

Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из ы. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К.

Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309, то же относится и ко второму предположению.

Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в п. 207, это уравнение можно получить следующим образом. Построим функцию разложимую по степеням так, что

Что касается то это периодическая функция с периодом относительно и с периодом по

Далее мы имеем

Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд сходился, то из периодичности следовало, что кривые должны быть замкнуты, а две точки совпали бы. Но это не так (см. п. 225 и след.).

Что же означает тогда уравнение Оно может быть верным только с формальной точки зрения, т. е. если есть сумма первых члепов ряда так, что

то уравнение

будет верным с точностью до величин порядка

с кривой, изображенной сплошной линией Так как очень малб и все наши кривые мало отличаются от окружности отрезок будет очень малым.

Тогда мы видим, что являются последовательными последующими что есть последующие и, наконец, что последующие

Дуги , вообще, более не прямолинейны, а являются очень малыми дугами кривой.

Часть фигуры, состоящая из сплошной линии, воспроизводит рис. 1 или 2 из п. 308, а множество сплошных кривых представляет инвариантную кривую К.

Я сделал рисунок при первом предположении, которое, как мы видели, должно быть отброшено, так же как и пятое; согласно сказанному в п. 309, то же относится и ко второму предположению.

Четвертое предположение необходимо изучить более детально. Для этого найдем уравнение асимптотических поверхностей. Согласно тому, что мы видели в , это уравнение можно получить следующим образом. Построим функцию разложимую по степеням так, что

Что касается то это периодическая функция с периодом относительно и с периодом по

Далее мы имеем

Уравнение (4) является уравнением асимптотической поверхности. Если бы ряд сходился, то из периодичности следовало, что кривые должны быть замкнуты, а две точки совпали бы. Но это не так (см. п. 225 и след.).

Что же означает тогда уравнение Оно может быть верным только с формальной точки зрения, т. е. если есть сумма первых члепов ряда так, что

то уравнение

будет верным с точностью до величин порядка

Если мы предположим, что эксцентриситет очень мал, то будут очень мало отличаться по абсолютной величине; следовательно, одно из двух количеств очень малб.

Я замечаю, кроме того, что равенства

показывают, что всегда меньше по абсолютной величине. Следовательно, существенно положительны.

Предположим, что очень мало; функция будет функцией а и разложимой, кроме того, по степеням Следовательно, она будет также функцией разложимой, кроме того, по степеням

Она будет периодической с периодом как по так и по

Если, наоборот, очень малб, то функция будет функцией разложимой, кроме того, по степеням

Но мы предполагаем, что четыре переменные х и у связаны уравнением живых сил

это уравнение приближенно приводится к

Построим кривую принимая в качестве координат точки на плоскости.

Уравнение это можно записать в виде

Эта кривая имеет две асимптоты

и симметрична относительно первой из этих двух асимптот.

Но важно заметить, что единственная часть кривой, которая нам полезна, расположена в первом квадранте

В зависимости от значений С кривая может представлять одну из форм, изображенных на рис. 8 и 9.

Оси координат представлены штрих-пунктиром, асимптоты и полезные части кривой — сплошной линией, ненужные части кривой — пунктирной линией.

Предположим, что С дано такое значение, что кривая имеет форму, представленную рис. 9, и что она содержит две полезные дуги и При этом рассмотрим только дугу

Заметим, что при обходе дуги монотонно убывает от до нуля, монотонно возрастает от нуля до монотонно возрастает от нуля до

Если мы построим теперь кривую , считая постоянными, а координатами точки на плоскости, то кривая будет мало отличаться от и мы сможем снова представлять ее на рис. 9; она будет иметь полезную дугу и при обходе этой дуги отношение будет монотонно возрастать от нуля до

Так мы приходим к следующему способу геометрического представления: представим положение системы точкой, прямоугольные координаты которой есть

эти три функции разложимы по степеням если х, очень мало, и по степеням если очень мало.

Рис. 8

Рис. 9

Они зависят только от отношения

Каждой системе значений и каждой точке полезной дуги соответствует, таким образом, одна и только одна точка пространства.

Функциональный определитель от трех координат относительно и отношения всегда сохраняет один и тот же знак.

Следовательно, мы можем применить результаты предыдущего пункта внутри всей области где не обращается в нуль.

Но обращается в нуль при

Однако если то мы, очевидно, будем иметь

Но левая часть этого равенства есть а строя кривую мы предположили, что имеют место условия случая, соответствующего рис. 9; в случае же рис. 9 предполагается, что

Поскольку очень мало отличается от F и, следовательно, от С, то мы не можем иметь одновременно

(если только С не очень близко к своему пределу 3/2, чего мы не предполагаем).

Следовательно, при наших условиях мы не будем иметь

Итак, результаты предыдущего пункта применимы, и если построить асимптотические поверхности и рассмотреть пересечение этих поверхностей с полуплоскостью то две дуги, аналогичные дугам, названным нами выше пересекаются.

Я добавлю еще несколько слов.

Координаты третьего тела относительно большой и малой оси описываемого им эллипса согласно известной формуле суть

Таким образом, мы видим, что когда меняет знак, вторая из этих координат меняет знак.

Отсюда вытекает, что возмущаемая планета обращается в том же направлении, что и возмущающая планета, если положительно, и в противоположном направлении, если отрицательно.