Глава XXIX. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

336. Пусть

двойной ряд переменных и какая-нибудь функция этих переменных. Рассмотрим интеграл

Вариацию этого интеграла можно записать в виде

Чтобы эта вариация была равна нулю, необходимо сначала, чтобы было

что дает нам канонические уравнения, но это условие не является достаточным. Если оно выполнено, то

в необходимо еще, чтобы правая часть этого равенства была нулем. Это как раз имеет место, если предположить, что обращаются в нуль при обоих пределах, т. е. что начальные и конечные значения заданы. В этих условиях интеграл называемый действием, есть минимум.

Заменим переменные; пусть новые переменные, и вообразим, что они выбраны таким образом, чтобы выражение

было полным дифференциалом. Мы видели, что в этом случае замена переменных не изменяет канонической формы уравнений; этот результат является, впрочем, непосредственным следствием различных предложений, которые сейчас последуют; пусть

Мы имеем

где значения функции при Таким образом,

Если канонические уравнения (1) удовлетворяются, то мы имеем

и, следовательно, в силу (2) и (3)

Подобно тому как соотношение (4) эквивалентно уравнениям (1), соотношение эквивалентно уравнениям

Но мы только что видели, что (4) равносильно уравнения эквивалентны уравнениям что означает, что, как мы уже знаем, замена переменных не изменяет канонической формы уравнений.

Тогда действие будет минимумом, если предположить, что начальные и конечные значения переменных заданы. Каждой системе канонических переменных соответствует, таким образом, новая форма принципа наименьшего действия.

Уравнения (1) влекут за собой интеграл живых сил

где постоянная.

До сих пор мы предполагали два предела заданными; что произойдет, если считать эти пределы переменными? Так как F не зависит явно от времени, то мы не ограничим общности, предполагая, что постоянно и давая приращение только пределу Предположим, например, что и вообразим, что после вариации переменные

имеют в момент времени те же значения, которые они имели в момент до вариации.

До вариации мы будем иметь

Но интеграл

не зависит от времени; следовательно, его вариация равна нулю. Таким образом, получаем

Производная от действия по верхнему пределу интегрирования равна, следовательно, постоянной энергии с обратным знаком.

Если эта постоянная равна нулю, действие снова является минимумом, если считать начальные и конечные значения переменных -заданными и если даже не считать заданными начальное и конечное значения времени

Если заменить F на заменится на

так как уравнения (1) не изменяются, то это выражение (6) опять есть минимум.

Но если заменить F на , постоянная живых сил, которая была равна А, становится нулем; следовательно, выражение (6) есть минимум, даже если мы не считаем заданными.

Действие есть минимум, каковы бы ни были переменные таким образом, оно будет минимумом, если на него налагается новое условие, совместное с уравнениями (1).

Наложим, например, условие, чтобы удовлетворялся первый ряд уравнений (1), т. е.

откуда

если положить

Действие определенное таким образом, есть минимум.

Это принцип наименьшего действия, взятый в его гамильтоновой форме. Предположим теперь, что

Таким образом, мы не будем более считать переменные и у. независимыми, а подчиним их условию

Это ограничение, совместное с уравнениями (1), не мешает действию быть минимумом.

Тогда

и, так как равно нулю, этот интеграл является минимумом, если даже не считать заданными

Тогда наложим условия

откуда найдем величины в функции

или

Подставим вместо их значения (7) в и в уравнение

Из этого уравнения найдем в функции величин Затем подставим это значение в выражения (7) и в этот последний интеграл примет вид

где Ф — функция переменных и производных Этот интеграл, взятый таким образом в форме, независимой от времени, снова есть минимум. Это принцип наименьшего действия в форме Мопертюи.

Если бы не было нулем, то мы должны были бы только заменить F на

337. Изучим сначала наиболее важный частный случай. Предположим, что мы имеем

где Т — однородная фупкция второй степени относительно переменных тогда как не зависит от этих переменных.

Тогда

Согласно принципу Гамильтона, интеграл

должен быть минимумом.

Посмотрим, какую форму принимает принцип Мопсртюи; уравнение живых сил записывается в виде

Тогда действие в смысле Мопертюи выражается в виде

В уравнениях

правые части линейны и однородны относительно переменных следовательно, Т — однородная функция второй степени относительно пусть тогда означает результат замены в Т производных дифференциалами мы получим

будет квадратичной и однородной формой относительно дифференциалов отсюда выводим

Тогда выражение действия по Мопертюи имеет вид

338. Чтобы можно было изучить другие частные случаи, положим для краткости

найдем у из уравнений

так, чтобы принять за новые переменные величины и обозначим через обычные производные, взятые по и через производные, взятые по

Мы легко найдем хорошо известные соотношения:

и увидим, что уравнения (1) эквивалентны уравнениям Лагранжа

При этих условиях исследуем случай, когда Н имеет вид

где однородные функции соответственно степени 0, 1, 2 относительно переменных

Тогда мы имеем

и величины

будут линейными функциями, но не однородными относительно Гамильтоново действие сохраняет ту же форму

Посмотрим, какой вид примет действие по Мопертюи.

Пусть постоянная живых сил; выражение действия по Мопертюи будет иметь вид

но его необходимо привести к форме, независимой от времени.

Для этого положим

и

Функция является не чем иным, как живой силой, есть результат замены в живой силе переменных дифференциалами Аналогично, представляет собой функцию после замены в ней на таким образом, это линейная однородная форма относительно дифференциалов

Если принять во внимание уравнение живых сил

откуда

то действие по Мопертюи примет вид

Таким образом, принцип Мопертюи приложим к случаю, который нас интересует, как и к случаю абсолютного движения; но здесь имеется существенное различие с точки зрения того, что сейчас последует.

Во всех задачах, с которыми мы встретимся, живая сила Т или существенно положительна; это определенно-положительная квадратичная форма. В случае абсолютного движения (п. 337) действие

существенно положительно; оно не изменяется при взаимной перестановке пределов. Напротив, в настоящем случае действие состоит из двух членов; первый

всегда положителен и не изменяет знака при перестановке пределов. Второй

меняет знак, если переставить пределы; таким образом, он может быть положительным или отрицательным.

Если заметить, кроме того, что в некоторых случаях первый член обращается в пуль без того, чтобы обратился в нуль второй член, то мы увидим, что действие не всегда положительно, и это обстоятельство доставит нам в последующем много затруднений.

339. Для того чтобы показать, как предыдущие рассуждения применяются к относительному движению, рассмотрим сначала абсолютное движение системы; итак, пусть

и представим себе, что положение системы определено переменными

где достаточны для определепия относительного положения различных точек системы, для определения ориентации системы в пространстве.

Если система изолированная, то будет зависеть только от будет однородной квадратичной формой относительно коэффициенты которой зависят только от Тогда мы будем иметь уравнение

где есть постоянная; это интеграл площадей.

При этих предположениях пусть есть гамильтоново действие

если уравнения движения удовлетворяются, мы будем иметь

Действие будет минимумом (или, вернее, его первая вариация будет равна нулю), если начальные и конечные значения переменных считать заданными, т. е. если при

Предположим теперь, что мы считаем заданными начальные и конечные значения но не мы получим

Тогда пусть

и

очевидно, будет

Из уравнения мы находим величину со, которая является линейной неоднородной функцией от мы видим, следовательно, что Н является неоднородной квадратичной функцией относительно

Таким образом, И имеет вид изученный в п. 338. Следовательно, интеграл будет минимумом, если даже начальные и конечные значения не считаются заданными.

Притом мы имеем

где — значения при

340. Предположим теперь, что система отнесена к подвижным осям и подвержена действию сил, которые зависят только от относительного положения системы относительно подвижных осей. Предположим, кроме того, что оси равномерно вращаются с постоянной угловой скоростью со.

Эта проблема немедленно сводится к предыдущей; необходимо только приписать подвижным осям очень большой момент инерции таким образом, чтобы угловая скорость оставалась постоянной.

Тогда для абсолютного движения имеем

Силовая функция зависит только от переменных которые определяют положение системы относительно подвижных осей; живая сила системы зависит от и является квадратичной формой относительно живая сила подвижных осей равна

а момент инерции I очень велик.

Тогда получается

и

или

Но

Так как очень велики по отношению к то это уравнение приближенно дает

и точнее

Кроме того,

Мы находим таким образом

Предпоследний член в правой части является постоянной; последним можно пренебречь, потому что очень велико.

Так как можно прибавить к Н, ничего не изменяя в принципе Гамильтона, какую угодно постоянную, то мы сможем положить

а мы знаем, что интеграл

должен быть минимумом (даже тогда, когда начальное и конечное значения не заданы).

В выражении следует считать заданной постоянной; тогда является квадратичной неоднородной функцией от вида например, материальная точка массы 1 движется в плоскости, и ее координаты относительно подвижных осей суть

Мы будем иметь

Следовательно,

Интеграл

будет тогда минимумом, если считать заданными пределы а также начальные и конечные значения 5 и 1].

Тогда интеграл живых сил запишется в виде

и мы видели, что интеграл

есть минимум, если даже не считать заданными

Тогда мы находим

полагая

Это обобщенный принцип Мопертюи.

В задачах, которые мы будем рассматривать, будет всегда положительной, и, следовательно, будет существенно положительным.

Это не всегда будет иметь место относительно Действительно, если отрицательно, то мы должны предположить, что точка не выходит за пределы области, определенной неравенством

Первый член выражения под знаком интеграла, равный существенно положителен; это выполпено для второго члена, который меняет знак при перемене направления, в котором предполагается обход траектории.

Если точка очень близка к границе области, в которой она заключена, если, следовательно, сумма очень мала, то первый член будет очепь малым, и знак будет определяться вторым членом.

Итак, не является существенно положительным. В этом мы убеждаемся также при помощи уравнения

Если отрицательно, то первый член положителен, а второй — отрицателен.