Анализ

364. В решении, к которому мы пришли, фигурируют еще следующие произвольные постоянные:

Что касается параметров то они заданы своими разложениями по возрастающим степеням разложениями, коэффициенты которых мы последовательно вычислили. Эти коэффициенты и зависят от двух постоянных эти коэффициенты были вычислены при помощи уравнений

Величины целые полиномы относительно

Пусть

где Р — целый полином относительно

коэффициенты которого периодические функции

Тогда мы имеем

Заменим затем количества (18) их разложениями, и пусть

где В — периодическая функция от периодом откуда

Мы получим

сохраняя в этих разложениях члены, не зависящие от Но различные члены содержат множителями показательные функции

Чтобы этот член не зависел от необходимо, чтобы было

что показывает, что должно делиться на знаменатель Итак,

что означает, что делится на поскольку фигурирует в с показателем

Исключение имело бы место, только если

но тогда мы имели бы либо

так что опять делилось бы на либо

откуда

но тогда соответствующий член не входил бы в

Аналогично, всегда будет делиться на за исключением случая когда соответствующий член не вошел бы в

Итак, в итоге

и, следовательно, и являются целыми полиномами относительно Таким образом, представляют собой ряды, расположенные по степеням

но эти три постоянные входят в них не произвольным образом.

Вспомним, каким искусственным приемом мы ввели вспомогательную постоянную которая служила только упрощению изложения; а для этого примем снова на мгновение обозначения и стр. 89; мы положили

Таким образом, наши уравнения не перестают удовлетворяться, когда мы заменяем

на

а параметры сохраняют свои первоначальные значения.

Затем мы отбросили ставшие ненужными штрихи и разложили которые мы обозначали с тех пор буквами по степеням

Так мы нашли разложения

Уравнения будут также удовлетворены, если мы заменим на и умножим четыре разложения (19) соответственно на

или, что то же, если мы заменим

на

После этой замены мы должны получить разложения, тождественные разложениям (19), но с отличающимися значениями постоянных Но мы видим, что эта замена меняет и на

Итак,

меняются на

когда меняются на

Другими словами, если умножить четыре разложения (19) соответственно на то полученные таким образом четыре произведения будут разложимы по степеням

и то же самое должно быть для которые не должны были измениться при замене на Итак, предположим, что выражаются в функции ясно, что мы будем иметь таким образом соотношения, из которых сможем найти обратные функции от

365. Пусть знаменатель постоянная а определится тогда уравнением

Исключение имеет место только в случае когда Э определено уравнением

Выражение является целым полиномом степени относительно

Каждый из этих членов содержит, таким образом, множители вида

В среднем значении останутся только члены, не зависящие от и мы видели, что должно делиться на знаменатель на Следовательно, наше выражение имеет следующий вид:

Теперь я покажу, что слагаемое равно нулю.

Для этого я воспользуюсь следующим искусственным приемом: вычислим

при помощи процесса, изложенного выше; однако при вычислении с, вместо того чтобы приписать Э значение, обращающее в нуль я сохраню произвольное значение S. Тогда уравнение

позволит мне все же вычислить только вместо того чтобы быть периодической функцией величина будет периодической функцией к которой прибавлен непериодический член

Но у нас есть другое средство для вычисления

и, следовательно, этого члена а именно, повторить вычисления п. 274.

Мы определим при помощи уравнений (2) на стр. 93. Вычисление выполняется без всяких затруднений; но у нас возникнут затруднения при вычислении из уравнения

В самом деле, правая часть представляет собой совокупность членов вида

где целые; интегрирование выполняется беспрепятственно, лишь бы не было

Но так как равно где рациональное число, знаменатель которого равен то правая часть нашего уравнения будет содержать члены, удовлетворяющие этому условию. Отсюда вытекает, что величина не будет периодической функцией от и у, а может быть приравнена

где периодичны.

Определив таким образом функцию и продвинув приближения до количеств порядка можно применить процедуру п. 275 и определить таким образом

Эти два способа вычислений должны привести к одному и тому же результату. Итак, пусть

Составим уравнения (см. стр. 94)

и найдем из них в функции найденное таким образом значение должно быть равно

с точностью до величин порядка

Нас интересует вычисление и, в частности, вычисление векового члена

Этот вековой член может произойти только от векового члена который равен

Таким образом, с точностью до количеств порядка (приравнивая вековые члены в уравнении мы имеем

В первом приближении, т. е. с точностью до количеств порядка мы имеем (см. стр. 95)

Таким образом, мы совершим ошибку порядка если заменим в правой части (20)

на

Следовательно, мы получим делая эту же самую подстановку в содержит только члены с

где

Мы имеем, таким образом,

Но - периодическая функция от следовательно, не содержит члена, не зависящего от Таким образом, не содержит члена, не зависящего от и, что и требовалось доказать.

Чтобы облегчить понимание предыдущих вычислений, я сделаю еще одно замечание. Средние движения заданы равенствами

Вообще говоря, они зависят от и приводятся к только при

Но здесь мы располагаем двумя параметрами которые могут быть заменены произвольными функциями от или, если угодно, мы располагаем бесконечным числом постоянных Мы можем тогда распорядиться этими постоянными таким образом, чтобы оставались равными каково бы ни было

366. Итак, для определения мы имеем уравнение вида

где а и с — комплексные сопряженные. Вообще говоря, а и с не равны нулю, иначе можно было бы определить только в следующем приближении.

Таким образом, уравнение даст нам для Э ряд вещественных значений

Ясно, что на самом деле мы не получим различных значений, если заменим на однако, более того, я говорю, что два значения

не соответствуют двум действительно различным периодическим решениям.

В самом деле, так как не входит явно в наши уравнения, то, заменяя на , мы преобразуем любое периодическое решение в другое решение, которое не является существенно отличным от него.

Итак, заменим на где А — целое.

Тогда заменится на на

Так как все наши функции периодичны, с периодом по то мы ничего не изменим в решении, вычитая соответственно из два кратных например, Тогда снова станет изменится на

Другими словами, мы заменили на

Но мы можем всегда выбрать целые таким образом, чтобы было

Таким образом, мы не находим существенно нового решения, заменяя на что и требовалось доказать.

Следовательно, мы имеем только два действительно различных решения, соответствующие двум значениям Э:

Нам остается определить постоянные и для этого воспользуемся уравнениями, которые связывают эти две постоянные с . В вопросах, которые обычно приходится рассматривать, имеется только один-единственный параметр, и мы ввели здесь два только для удобства изложения. Таким образом, следует предположить, что связаны соотношением, например

Разложения по степеням вообще говоря, начинаются с членов с (если оставить в стороне случай, когда знаменатель равен 3).

Если мы, таким образом, предположим то получим отсюда разложенные по степеням тогда одно из двух — либо коэффициенты разложения по степеням будут вещественными, либо, напротив, вещественными будут коэффициенты разложения по степеням

В первом случае задача будет допускать два вещественных решения при и не допускать ни одного при ; во втором случае будет иметь место обратное.

Чтобы узнать, какой из этих двух случаев осуществляется, рассмотрим уравнение, связывающее ограничиваясь членами с получим

Я замечаю прежде всего, что не зависят не только от но и от исключение имеет место только для

Ибо при члены вида

которые могут войти в правую часть одного из уравнений (21), могут быть независимыми от только если

поскольку не может превзойти должно быть целым.

Таким образом, правые части уравнений (21) являются линейными и однородными функциями от а коэффициенты этих линейных функций являются абсолютными постоянными, не зависящими от Э.

Но должно быть положительным, иначе был бы мнимым. Уравнения (21) вместе с неравенством определят знак

Я замечу только, что этот знак не зависит от величины Э, поскольку уравнения (21) не зависят от него. Но мы видели, что уравнение, определяющее Э, допускает два действительно различных решения

Каждому из них соответствует периодическое решение, которое будет вещественным, если знак X выбран надлежащим образом в соответствии с предыдущим. Выбор этого знака не зависит от эти два решения будут оба вещественными при и оба мнимыми при , или же будет иметь место обратное.

На первый взгляд кажется, что каждому решению уравнения относительно Э соответствуют два периодических решения, поскольку из соотношений между получаются две системы значений для неизвестных Однако это отнюдь не так. В самом деле, мы можем, не ограничивая общности, предположить, что положителен; ибо мы ничего не меняем в наших формулах, заменяя на и Э на а

Но из наших двух систем значений имеется только одна, для которой будет положительным.

Таким образом:

имеются два вещественных периодических решения второго рода при (или при

нет ни одного решения второго рода при (или при ).

Примем снова обозначения главы XXVIII и, в частности, .

сводится к и соответствует члену с который фигурирует в

сводится к постоянному множителю, умноженному на соответствуя членам, происшедшим от

Первый член который не приводится к степени имеет вид

и происходит от

Функция, максимумы и минимумы которой нам нужно изучить и которая должна играть роль функции

изученной на стр. 219, эта функция, говорю я, будет вида

где Р — целый полином относительно с постоянными коэффициентами.

Мы оставили в стороне частные случаи, когда знаменатель равен 2, 3 или 4.