Глава XXXI. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ВТОРОГО РОДА

Решения второго рода и принцип наименьшего действия

371. Я не могу обойти молчанием связи между теорией решений второго рода и принципом наименьшего действия; и даже именно из-за этих связей я написал главу XXIX. Но для того чтобы лучше их пояснить, необходимы еще некоторые предварительные сведения.

Предположим две степени свободы; пусть в две переменные первого ряда, которые можно рассматривать как координаты точки на плоскости; плоские кривые, удовлетворяющие нашим дифференциальным уравнениям, составят то, что мы назвали траекториями.

Пусть М — произвольная точка плоскости. Рассмотрим множество траекторий, исходящих из точки М, и пусть Е — их огибающая. Пусть кинетический фокус М на траектории (71); эта траектория коснется огибающей Е в точке F согласно самому определению кинетических фокусов; я напоминаю, что фокусом точки М, или ее фокусом порядка является точка пересечения с бесконечно близкой траекторией, проходящей через М. Но условия этого касания могут меняться. Может случиться, что F не есть особая точка кривой Е и что касание будет первого порядка; это самый общий случай»

Пусть

— уравнения траектории и очень близкой траектории , исходящей из точки М.

Пусть координаты точки координаты F. Так как проходит через через М, то мы получим

Так как траектория очень близка к , то функция будет очень малой; я могу обозначить через а угол, под которым две траектории пересекаются в точке этот угол и определит траекторию (Т); тогда функция будет зависеть от угла а; она будет очень малой, если, как

мы предполагаем, этот угол а сам мал, и она будет обращаться в нуль вместе с а.

Значение (если обозначить через производную от будет того же знака, что и а.

Что же касается значения [если мы предположим а очень малым и если система координат была определена таким образом, чтобы функция была однозначной, что всегда возможно], то оно того же знака, что и а, если фокус четного порядка, и противоположного знака, если фокус нечетного порядка.

Случай, интересующий нас, характеризуется тем, что того же порядка, что и всегда одного и того же знака.

Предположим, например, что положительно.

Тогда если знак а таков, что положительно, то траектория пересечет в точке близкой к точке F и менее удаленной от М, чем точка F (в предположении, что

В этом случае касается Е до тогда как касается Е после согласно хорошо известному рассуждению, действие больше (по крайней мере, в абсолютном движении), когда мы идем из , пробегая , чем когда мы идем из , следуя вдоль .

Если знак а таков, что отрицательно, то пересекает в точке F, более удаленной от М, чем тогда касается Е после касается Е до когда мы идем из , действие больше вдоль , чем вдоль .

Результаты были бы противоположными, если бы было отрицательным; однако во всех случаях среди траекторий , близких к , имеются такие, которые пересекают вблизи F по одну сторону от F, и такие, которые пересекают вблизи F по другую сторону от F.

В этом случае мы будем говорить, что обыкновенный фокус.

Не может случиться так, чтобы точка F была обыкновенной точкой Ел а касание имело порядок выше первого.

Разложим по степеням а; пусть

Условие для касания высшего порядка имеет вид

Но мы имеем уже

и функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка, коэффициенты которого являются конечными и заданными функциями от причем коэффициент при второй производной сводится к единице.

Если бы при интеграл обращался в нуль так же, как и его первая производная, то он был бы тождественным нулем, что абсурдно.

Таким образом, касания высшего порядка не будет никогда.

Но может случиться, что F есть точка возврата кривой Е, острие которой либо направлено в сторону М, так что подвижная точка, двигаясь из , встречает ее с острия, либо обращено в противоположную сторону, так что подвижная точка встречает ее сзади острия. В первом случае я буду говорить, что противошерстный фокус (en pointe), а во втором случае — что это пошерстный фокус (en talon).

В одном и другом случаях значение порядка в случае противошерстного фокуса оно имеет знак я, если фокус нечетного порядка, и знак, противоположный знаку я, если фокус четного порядка; в случае пошерстного фокуса будет иметь место обратное.

В случае противошерстного фокуса все траектории пересекают в точке близкой к F и лежащей за действие при переходе от М к F больше вдоль , чем вдоль .

В случае пошерстного фокуса все траектории пересекают в точке F, близкой к F и расположенной перед действие при обходе от М к F больше вдоль чем вдоль .

Пусть теперь точка (71), достаточно близкая к F. В случае противошерстного фокуса я могу соединить М с F траекторией , если F лежит за в случае пошерстного фокуса я могу соединить М с F, если F лежит перед F.

Наконец, могло бы случиться, что особая точка Е более сложного характера, чем обыкновенная точка возврата; тогда я сказал бы, что это особый фокус.

Я аамечу только, что от противошерстного фокуса к цошеретному фокусу можно перейти только через особый фокус, ибо в момент перехода значение должно быть порядка

372. Рассмотрим теперь какое-нибудь периодическое решение; оно будет соответствовать замкнутой траектории (71). Пусть я — характеристический показатель, период. В главе XXIX мы видели, как мы подходим к определению последовательных кинетических фокусов .

Предположим, что а равно где рациональное число, числитель которого есть В этом случае применение правила показывает, что каждая точка совпадает со своим фокусом.

В самом деле, если принять, как в , такую единицу времени, чтобы период Т был равен то получится Если обозначить через аначение функции в точке М, через значения этой функции в первом, втором, фокусе М, то согласно правилу , мы будем иметь

Если числитель то мы видим, что является кратным что точка М и ее фокус совпадают.

Траектория, исходящая из точки М и бесконечно близкая к , пройдет, следовательно, снова через точку М после того, как совершит обхода по замкнутой траектории , если знаменатель

Таким образом, точка М является своим фокусом; но можно задать себе вопрос, к какой категории фокусов она принадлежит с точки зрения классификации предыдущего пункта.

Примем систему координат, аналогичную таким полярным координатам, что уравнение замкнутой траектории есть

и что меняется от 0 до когда совершается обход этой замкнутой траектории. Тогда кривые являются замкнутыми кривыми, охватывающими друг друга подобно концентрическим окружностям, а кривые образуют пучок расходящихся кривых, которые пересекают все кривые причем таким образом, что кривая совпадает с кривой

Пусть тогда значение , которое соответствует исходной точке значение которое будет соответствовать этой же самой точке М, рассматриваемой как фокус исходной точки, будет

Пусть

— уравнение траектории , близкой к и проходящей через М. Функция будет соответствовать функции предыдущего пункта. Мы будем иметь и речь идет о рассмотрении знака выражения

Таким образом, речь идет о построении функции а для этого мы должны только применить либо принципы главы VII, либо принципы . Если мы, например, применим эти последние, то вот что найдем. Функция разложима по степеням двух количеств

Коэффициенты разложения являются периодическими функциями с периодом две постоянные интегрирования; что же касается а, то это постоянная, разложимая по степеням произведения

При этом характеристическому показателю , т. е.

Если отличается от , тодве постоянные очень малы; они имеют порядок угла, который я назвал а в предыдущем пункте

и который не следует смешивать с показателем, который я обозначаю той же буквой в настоящем пункте.

Если мы продвинем приближения до третьего порядка включительно относительно , то сведется к полиному третьего порядка относительно этих двух постоянных, и я смогу написать

где целый полином относительно содержащий только члены второй и третьей степени. Коэффициенты полинома так же как с и , являются периодическими функциями с периодом

При этих условиях, так как а равно с точностью до величин второго порядка и с точностью до величин четвертого порядка, мы можем написать, пренебрегая везде величинами четвертого порядка относительно А и А:

или же еще

Когда увеличивается на , коэффициенты , а также не изменяются. То же имеет место и для поскольку знаменатель равен таким образом, то же самое относится и к

Таким образом, наконец, получаем

Но есть нуль; таким образом, величина, знак которой мы должны определить, есть

Я обозначаю через и а значения о и о при

Я замечаю сначала, что эта величина третьего порядка, что согласно предыдущему пункту показывает нам, что фокусы, вообще говоря, будут фокусами противошерстными или пошерстными. Теперь я утверждаю, что эта величина всегда имеет один и тот же знак и что ее коэффициент не может обращаться в нуль.

В самом деле, две постоянные связаны соотношением

которое можно написать, поскольку бесконечно малые величины, в виде

С другой стороны, чисто мнимое, — комплексные сопряженные; то же самое относится к .

Таким образом, произведение существенно положительно и не может обращаться в нуль, ибо не могут быть нулями одновременно.

С другой стороны, мы не можем иметь

ибо из уравнений (1) и (2) следовало бы, что

Но эти уравнения невозможны; они означали бы, что все траектории, очень близкие к , будут проходить через точку М, что, очевидно, неверно.

Величина имеет, таким образом, всегда один и тот же знак; фокусы являются, следовательно, либо все противошерстными фокусами, либо все пошерстными фокусами; все зависит от знака

373. Мы были вынуждены оставить в стороне случай, когда есть нуль, исключительный случай, когда все фокусы будут особыми; также случай, когда равно 2, 3 или 4; вот почему.

Мы видели, что при вычислениях главы VII ноявляются малые делители

Если один из этих делителей обращается в нуль, вычисление прерывается, и появляются вековые члены.

Но мы легко устанавливаем, что если равно 2, 3 или 4, то вычисления будут приостановлены таким же образом при нахождении членов трех первых порядков, которые мы должны были припимать во внимание. Если же, напротив, , то мы остановимся только при вычислении членов высшего порядка, которые не рассматривались в предшествующих рассуждениях.

374. Предположим, например, что все фокусы являются противошерст ными фокусами; пусть М — любая точка (Т); эта точка будет своим фокусом. Пусть М — точка, расположенная немного за точкой М в направлении обхода и траекторий, близких к . Я могу провести траекторию , исходящую из точки М, которая будет очень мало отклоняться от , совершит вокруг оборота и в конечном счете примкнет к точке М и будет иметь точек пересечения с , если считать точки пересечения .

В самом деле, так как фокус является противошерстным фокусом, то все траектории , близкие к , пересекут за фокусом. Следовательно, мы сможем провести траекторию , которая удовлетворяет условиям,

которые я только что сформулировал, лишь бы расстояние было меньше 8. Ясно, что верхний предел, который не должно превосходить расстояние зависит от положения М на (Г); но оно никогда не обращается в нуль, поскольку нет особого фокуса.

Мне достаточно тогда приравнять 8 наименьшему значению, которое может принять этот верхний предел, и я могу считать 8 постоянной.

Итак, если расстояние меньше 8, мы можем провести траекторию удовлетворяющую нашим условиям; мы можем даже провести их две — одну, пересекающую в М под положительным углом, другую — под отрицательным углом.

При этих условиях предположим, что наши канонические дифференциальные уравнения зависят от параметра при замкнутая траектория имеет характеристический показатель

Предположим, что при характеристический показатель, деленный на больше и, и что при О он, наоборот, меньше

Тогда при точка М уже не будет являться своим фокусом; ее фокус будет расположен перед М при и за М при Пусть этот фокус. Расстояние естественно, будет зависеть от положения М на (71); я называю наибольшее значение этого расстояния; ясно, что будет непрерывной функцией от X, обращающейся в нуль вместе с заметим, что при , согласно принципам , фокус F всегда лежит за точкой М или всегда перед ней в зависимости от значения характеристического показателя, и расстояние никогда не может обратиться в нуль.

Пусть точка, расположенная немного за мы сможем соединить М с F траекторией , лишь бы расстояние оставалось меньше некоторой величины S. Ясно, что является непрерывной функцией X и сводится к при

Возьмем так, что М лежит за мы можем заставить М играть роль F и соединить точку М с самой собой траекторией , лишь бы расстояние было меньше В или лишь бы было

при есть нуль, и следовательно, можно взять X достаточно малым, чтобы это неравенство было удовлетворено.

Тогда мы можем соединить точку М с самой собой траекторией , мало отклоняющейся от , обходящей раза и пересекающей раз.

На рисунке В А представляет дугу , на которой находится точка М. дуга , исходящая из другая дуга этой же самой траектории, оканчивающейся в М. Стрелки указывают направление, в котором описываются траектории (рис. 12).

Точка М может быть таким образом соединена с самой собой не одной, а двумя траекториями (Г); для одной, как указывает рисунок, угол

положителен, так что лежит над для другой угол отрицателен.

Траекторию нельзя считать замкнутой траекторией; она исходит из точки М, чтобы вернуться в точку М, но направление касательной не одно и то же в исходной точке и в конечной точке, так что дуги и не сливаются.

Траектория идущая таким образом из с угловой точкой в М, образует, следовательно, то, что можно назвать завитком. Делая то же самое построение для всех точек М траектории , мы получим ряд завитков, мы их получим даже два, первый соответствует случаю, когда угол положителен, а второй — случаю, когда этот угол отрицателен. Эти два ряда отделены друг от друга; в самом деле, переход от одного ряда к другому можно совершить, только если угол становится бесконечно малым.

Тогда траектория , становясь бесконечно близкой к , должна была бы пройти через фокус F, согласно самому определению фокусов; однако, так как она должна примыкать к точке М, то точки слились бы; этого не может случиться, согласно принципам .

Таким образом, если все фокусы являются противошерстными, мы имеем два ряда завитков при и не имеем их при .

Если бы все фокусы были пошерстными, то мы могли бы повторить те же рассуждения; мы нашли бы, что имеется два ряда завитков при и что их нет при

Рис. 12

375. Рассмотрим один из рядов завитков, определенных в предыдущем пункте; действие, вычисленное вдоль одного из этих завитков, будет изменяться с положением точки оно будет иметь, по крайней мере, один аксимум или один минимум.

Я говорю, что если действие есть максимум или минимум, две дуги и сливаются, так что траектория является замкнутой и соответствует периодическому решению второго рода.

В самом деле, предположим, что траектория соответствует минимуму действия и что угол больше угла как на рисунке; тогда возьмем точку слева от М бесконечно близко к М, построим завиток бесконечно мало отличающийся от завитка и имеющий свою угловую точку в пусть две дуги этого завитка.

Из точек я опускаю два перпендикуляра и на

Согласно хорошо известной теореме, действие вдоль от точки М до точки будет равно действию вдоль (71) от точки Р до Таким образом, мы будем иметь:

(см. скан)

что абсурдно, поскольку по предположению соответствует минимуму действия.

Если бы мы предположили, что

то пришли бы к тому же абсурдному выводу, помещая точку справа от М.

Итак, следует предположить, что

т. е. что две дуги сливаются.

То же рассуждение применимо к случаю максимума.

Таким образом, каждый ряд завитков содержит, по крайней мерет две замкнутые траектории.

Каждая из этих замкнутых траекторий делает оборота вокруг и пересекает в точках. Для из них угол, аналогичный , положителен, а для остальных он отрицателен; в самом деле, кривая , будучи замкнутой, должна пересечь столько же раз в одном направлении, сколько в другом.

Таким образом, эту замкнутую траекторию можно рассматривать как завиток различными способами; ибо мы можем считать любую из наших точек пересечения угловой точкой; для из этих способов завиток, определенный таким образом, будет принадлежать первому ряду, а для остальных — второму.

Среди завитков каждого ряда имеется, таким образом, не два, а, по крайней мере, таких, которые сводятся к замкнутым траекториям. Только мы получаем таким образом не а лишь две различные замкнутые траектории.

То, что их не больше, не вытекает из предыдущего рассуждения, но может быть выведено из принципов предыдущей главы.

Траектория , определенная таким образом, будет иметь двойных точек, если к — нечетное, и двойных точек, если к — четное. Это справедливо для малых значений но я говорю, что это останется верным, как бы ни было велико пока существует траектория . В самом деле, число двойных точек может измениться, только если две ветви кривой становятся касательными друг к другу; но две траектории не могут касаться друг друга, сливаясь.

По той же причине они будут пересекаться в точках, сколь бы велико ни было X, пока будут существовать две траектории и .

376. Во всех рассуждениях предыдущего пункта предполагается, что речь идет об абсолютном движении.

Желая распространить их на случай относительного движения, мы столкнулись бы с затруднениями, которые без сомнения не являются непреодолимыми, но которые я не пытаюсь преодолеть.

Прежде всего, следовало бы видоизменить построение, употребленное в предыдущем пункте.

Вместо проведения перпендикуляров и к и следовало бы сделать вот что. Например, для построения мы построим бесконечно малый круг, удовлетворяющий следующим условиям: он пересекает в Р и касается в этой точке прямой прямая, которая соединяет М с центром, должна иметь заданное направление и быть в заданном отношении к радиусу. Построенная таким образом прямая обладает теми же свойствами, что и нормаль в абсолютном движении. К сожалению, это построение в некоторых случаях может привести к затруднению.

Кроме того, действие не всегда положительно; если бы оно стало нулем, то рассуждение оказалось бы опять несостоятельным; максимум или минимум мог бы быть достигнут в такой точке М, что действие было бы нулем, и при этом без необходимости слияния дуг и

Следовательно, наши рассуждения приложимы к случаю относительного движения, только если действие остается положительным вдоль всей траектории (71).

Во всех случаях остается верным один из выводов: замкнутая траектория существует всегда, поскольку если рассуждение предыдущего пункта теряет силу, то этого не происходит с рассуждениями глав XXVIII и XXX; кроме того, пересекает в точках и имеет или двойных точек.

Это верно для малых значений X, но я не могу больше заключить, что это останется справедливым, каким бы ни было ибо две траектории могут касаться, не сливаясь, лишь бы они пробегались в противоположных направлениях.