Сравнение с п. 225

401. Прежде чем пытаться строить примеры гетероклинных решений, вернемся сейчас к примеру п. 225, в котором может быть обнаружено существование гомоклинных двояко-асимптотических решений.

Мы положим

где две пары сопряженных переменных.

Затем построим функцию Якоби и разложим ее по степеням

Остановимся на втором члене, пренебрегая и напишем

Затем мы нашли

или, приписывая постоянным нулевое значение,

далее мы нашли

где функция от у, определяемая уравнением

Мы положили

и, предполагая, что

мы нашли (стр. 734, т. II) два значения соответствующие двум асимптотическим кривым двух семейств. Одно из этих значений

а другое —

Тогда уравнениями двух асимптотических поверхностей будут следующие:

и

Чтобы найти двояко-асимптотические решения, необходимо искать пересечение этих двух асимптотических поверхностей; нам достаточно, следовательно, приравнять значения и два значения

Пусть

Мы найдем

или пологая

где К — целое.

Таково уравнение двояко-асимптотических решений.

Это уравнение дает нам в действительности два различных решения; одно, соответствующее четным значениям, второе — нечетным значениям К.

402. Можно удивиться тому, что мы нашли таким образом только два двояко-асимптотических решения, тогда как мы знаем, что их бесконечно много.

Следующие приближения также дали бы нам лишь конечное число двояко-асимптотических решений. Каково же объяснение этого парадокса?

В предыдущих пунктах мы видели, что различные двояко-асимптотические решения в бесконечном числе соответствуют различным пересечениям определенной дуги с различными последующими другой дуги

Предположим, что первая из этих последующих, встречающая имеет порядок Число будет, очевидно, зависеть от постоянной в и будет тем больше, чем меньше эта постоянная. Оно станет бесконечным, когда будет нулем.

Но разлагая по степеням и останавливаясь на произвольном члене разложения, мы как бы считаем бесконечно малым.

Дуга встречает тогда последующие другой дуги только бесконечно большого порядка, и как раз благодаря этому большая часть двояко-асимптотических решений ускользает от нашего анализа