Приложение к орбитам Дарвина

381. В томе XXI «Acta matliematica» Дж. Г. Дарвин [18] подробно изучил некоторые периодические решения. Он принимает предположения п. 9 и рассматривает возмущающую планету, которую называет Юпитером и которой приписывает массу, в десять раз меньшую, чем масса Солнца. Эта фиктивная планета описывает около Солнца круговую орбиту, а возмущаемая малая планета нулевой массы движется в плоскости этой орбиты.

Так, он установил существование периодических решений, которые содержатся в периодических решениях, названных мною решениями первого сорта, и которые были подробно им изучены. Эти орбиты отнесены к подвижным осям, вращающимся вокруг Солнца с той же угловой скоростью, что и Юпитер; в относительном движении, отнесенном к этим подвижным осям, эти орбиты являются замкнутыми кривыми.

Первым классом периодических орбит является класс, названный Дарвином классом планет А. Орбита представляет собой замкнутую кривую, охватывающую Солнце, но не охватывающую Юпитер. Орбита устойчива, когда постоянная Якоби больше 39, и неустойчива в противном случае. Неустойчивость соответствует характеристическому показателю, имеющему мнимую часть

Следовательно, для значений постоянной Якоби, близких к 39, существуют периодические решения второго рода с двойным периодом.

Соответствующая орбита будет замкнутой кривой с двойной точкой, совершающей два оборота вокруг Солнца. Два завитка этой кривой очень мало отличаются друг от друга и оба мало отличаются от круга.

Далее мы более подробно изучим эти решения второго рода.

Дарвин нашел также осциллирующие спутники, которые он называет а и о которых мы говорили в п. 52. Они всегда неустойчивы.

Наконец, он нашел спутников в собственном смысле, которые описывают относительно системы рассмотренных подвижных осей замкнутые кривые, охватывающие Юпитер, но не охватывающие Солнце.

При (С — постоянная Якоби) мы имеем только одного спутника А, который устойчив. При спутник А становится неустойчивым с вещественным показателем а; но мы имеем два новых спутника В в. С, второй — устойчивый, первый — неустойчивый с вещественным показателем а. При мы снова находим тот же результат; при спутник С становится неустойчивым с комплексным показателем а (мнимая часть которого равна наконец, при мы снова находим тот же результат.

Следовательно, мы должны рассмотреть три перехода:

1) переход спутника А от устойчивости к неустойчивости;

2) появление спутников

3) переход спутника С от устойчивости к неустойчивости.

Два последних перехода не вызывают никаких затруднений.

Мы видим, что одновременно появляются два периодических решения В и С, сначала мало отличающиеся друг от друга; одно — устойчиво, другое — неустойчиво; показатель а для неустойчивого решения веществен.

Все это согласуется с выводами п. 378.

Переход от устойчивости к неустойчивости спутника С также не представляет затруднений, ибо показатель а в случае неустойчивости является комплексным; следовательно, мы находимся в условиях п. 380. Таким образом, существуют периодические решения второго рода, соответствующие замкнутым кривым, совершающим два оборота вокруг Юпитера.

382. Зато переход спутника А от устойчивости к неустойчивости представляет большие трудности, поскольку в случае неустойчивости показатель а веществен. Следовательно, согласно п. 378, должен был бы иметь место обмен устойчивостью с другими периодическими решениями, соответствующими замкнутым кривым, совершающим только один оборот вокруг Юпитера. Кажется, что это не вытекает из вычислений Дарвина.

Естественно, мы приходим к мысли, что неустойчивые спутники А, открытые Дарвином, не являются аналитическим продолжением его устойчивых спутников А.

Другие рассуждения приводят к тому же результату.

Орбиты устойчивых спутников А являются простыми замкнутыми кривыми; неустойчивые спутники А имеют орбиты в форме восьмерки.

Каким образом можно было бы перейти от одного случая к другому? Это можно сделать только по кривой, имеющей точку возврата; но в точке возврата скорость должна быть равной нулю, и по соображениям симметрии эта точка возврата могла бы находиться только на она не может быть между Солнцем и Юпитером. В самом деле, на рис. 1 Дарвин дает кривые нулевой скорости; при эти кривые пересекают ось х между Солнцем и Юпитером; но это больше не имеет места при , и переход имеет место между

Остается предположение, что точка возврата находится за Юпитером, но оно также неудовлетворительно. Сравним две орбиты, соответствующие первая дважды пересекает ось х под прямым углом, один раз за Юпитером, второй раз перед ним; пусть две точки пересечения; аналогично, вторая орбита, если оставить в стороне двойную точку, дважды пересекает ось х под прямым углом, один раз за и один раз перед Юпитером; пусть две точки пересечения. Рассмотрим точку пересечения Р или Р, которая лежит за Юпитером, и посмотрим на знак мы увидим, что как для одной, так и для другой орбиты этот знак положителен. Но производная должна была изменить знак в момент перехода через точку возврата.

Точку Р, предполагаемую точку возврата, и точку Р нельзя, следовательно, рассматривать как аналитическое продолжение друг друга.

Тогда следовало бы предположить, что в какой-то момент произошел обмен между двумя точками пересечения орбиты спутника А и оси х, точка, находившаяся справа, переходит налево и обратно. Ничто в ходе кривых, построенных Дарвином, не позволяет сделать подобного предположения.

Следовательно, я замечаю, что неустойчивые спутники А не являются аналитическим продолжением устойчивых спутников А. Но тогда, чем стали устойчивые спутники А?

По этому поводу я могу только делать предположения, а чтобы можно было поступить иначе, следовало бы пересмотреть механические квадратуры Дарвина.

Но если изучить поведение кривых, то кажется, что в некоторый момент орбита спутника А должна пройти через Юпитер и что затем она становится тем, что Дарвин называет осциллирующим спутником.

383.    Изучим ближе планеты А и переход этих планет от устойчивости к неустойчивости.

Орбиты этих планет соответствуют тому, что мы назвали периодическими решениями первого сорта (п. 40). В двойной точке орбита, которая делает два оборота вокруг Солнца и мало отличается от орбиты планеты А в момент, когда орбита этой планеты только что стала неустойчивой, соответствует тому, что мы назвали периодическими решениями второго сорта (п. 47).

В самом деле, если применить к решениям первого сорта методику, посредством которой мы вывели периодические решения второго рода из решений первого рода, то придем как раз к решениям второго сорта.

В решениях второго сорта средние аномалистические движения, мало отличающиеся от средних движений в собственном смысле, находятся в соизмеримости. Следовательно, мы должны ожидать, что для решения второго сорта (и, следовательно, для планеты А в момент перехода от устойчивости к неустойчивости) отношение средних движений будет близким к простому рациональному числу, а здесь оно будет даже близко к кратному 1/2, поскольку орбита должна сделать два оборота вокруг Солнца.

Другими словами, в момент перехода величина, которую Дарвин называет , должна быть близкой к кратному и.

И это на самом деле имеет место; таблицы Дарвина нам дают:

Мы видим, что переход должен совершиться приблизительно при , и это число близко к 180°.

Среднее движение планеты А приблизительно равно, следовательно, утроенному среднему движению Юпитера.

Можно было бы подумать о приложении принципов главы XXX к изучению этих решений второго сорта, но мы встретились бы с трудностями, потому что мы находимся в исключительном случае. Лучше предпринять это изучение прямым путем.

384. Возьмем снова обозначения п. 313 и положим, как в этом пункте,

Величина должна иметь тот же знак, что и (см. стр. 179), а эксцентриситет должен быть очень малым; так как имеет порядок квадрата эксцентриситета, то эта переменная также будет очень малой.

Так как речь идет только об определении числа периодических решений и их устойчивости, то нам достаточно одного приближения.

Следовательно, мы пренебрежем и последующими членами. В члене учтем только вековые члены и члены очень долгого периода и, кроме того, отбросим высшие степени Таким образом мы получим

где — функции только и где сохраненный член очень долгого периода.

Членами очень долгого периода являются члены с , т. е. члены с следовательно, мы имеем

Тогда

и мы можем применить метод Делоне.

Канонические уравнения допускают интеграл

откуда

С принятой степенью приближения мы можем заменить с величинами

обозначая через результат замены в с переменной величиной к.

Таким образом,

обозначают постоянные, зависящие от к, и мы имеем

Будем рассматривать к как постоянную, как прямоугольные координаты точки на плоскости и построим кривую

где С означает вторую постоянную.

Эта кривая зависит, таким образом, от двух постоянных к . Если она имеет двойную точку, то двойная точка будет соответствовать периодическому решению, которое будет устойчивым, если две касательные в двойной точке мнимые, и неустойчивым, если две касательные вещественны.

Заметим, что кривая симметрична относительно двух осей координат и что две двойные точки, симметричные друг другу относительно начала, не соответствуют двум подлинно различным периодическим решениям.

Двойные точки могут находиться только на одной из осей координат, так что мы найдем все эти точки, полагая

Если положить

то кривая проходит через начало и имеет в нем двойную точку. Касательные в двойной точке заданы уравнением

Следовательно, если

то касательные мнимы. Если

то касательные вещественны.

Если, наконец,

то касательные снова мнимы.

Коэффициент положителен; я наппсал предыдущие неравенства в предположении, что 7 также положительно. Впрочем, если бы у было отрицательным, то мы должны были только изменить на

Двойная точка в начале соответствует решению первого сорта, т. е. планете А по Дарвину. Мы видим, что это решение устойчиво, когда имеют место неравенства (1) или (3), и неустойчиво, когда имеют место неравенства (2).

Изучим теперь двойные точки, которые могут находиться на прямой

Если мы положим то функция F примет вид

Если, оставляя к постоянным, варьировать от 0 до к, то мы видим, что максимумы и минимумы F заданы уравнением

которое допускает решение, если имеет место неравенство (3), и не допускает его в противном случае.

Следовательно, если неравенство (3) не имеет места, то функция F монотонно убывает; если оно имеет место, то функция F сначала возрастает, достигает максимума, а затем убывает.

Этот максимум соответствует двойной точке, расположенной на прямой или, скорее, двум двойным точкам, симметричным относительно начала.

Но нам необходимо узнать, сколько этих двойных точек мы находим для заданного значения постоянной уравнение (5) дает в функции нужно вывести из него в функции С.

Но уравнения (4) и (5) можно написать в виде

откуда

Но, пренебрегая членами с мы имеем

откуда

откуда

откуда следует, что монотонно убывающая функция от С.

Следовательно, для одного значения С мы имеем только не более одного максимума, т. е. имеем не более двух двойных точек, симметричных друг другу относительно начала, на прямой

Итак, пусть значение С, удовлетворяющее двум равенствам

Мы увидим, что при на прямой не будет двойных точек и что при ихбудет две.

Такое же рассуждение приложимо к случаю двойных точек, расположенных на прямой Значения будут заданы уравнением

которое допускает решение, если имеют место неравенства (2) или (3). Тогда, если значение С, удовлетворяющее двум равенствам

то условием того, чтобы на прямой

существовали две двойные точки, будет неравенство

Заметим, что что значение С, при котором мы переходим от неравенства (2) к неравенству (3), а такое значение С, при котором мы переходим от неравенства (1) к неравенству (2).

При этом, строя кривые, мы легко найдем, что для двойных точек, лежащих на касательные вещественны, и что для двойных точек, лежащих на они мнимы.

Следовательно, мы можем резюмировать наши результаты следующим образом.

Первый случай

Имеет место неравенство (1).

Решение первого сорта (планета А) устойчиво.

Решений второго сорта нет (орбита с двойной точкой).

Второй случай

Имеют место неравенства (2).

Решение первого сорта стало неустойчивым.

Имеется одно решение второго сорта, которое устойчиво.

Третий случай

Имеет место неравенство (3).

Решение первого сорта вновь стало устойчивым.

Имеются два решения второго сорта, одно — устойчивое, а другое — неустойчивое; первое соответствует двум двойным точкам, расположенным на прямой а второе — двум двойным точкам, расположенным на прямой

Эти заключения верны, лишь бы было достаточно малым; является ли значение принятое Дарвином, достаточно малым?

Я этого не проверял, но это кажется весьма вероятным.

Таким образом, правдоподобно, что если бы Дарвин продолжил изучение планет А для значений С, меньших чем 38, то он снова нашел бы устойчивые орбиты.