Глава XXIV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ

Методы проверки

266. В томе II мы изложили различные методы нахождения рядов, которые формально удовлетворяют уравнениям задачи трех тел. Так как эти ряды могут иметь большое практическое значение и поскольку они получаются ценою длинных и трудных вычислений, то все средства, которые можно найти для проверки этих вычислений, могут оказаться ценными; рассмотрение интегральных инвариантов доставляет нам одно из таких средств, не лишенное интереса.

Обозначим через координаты двух планет (которые должны быть отнесены, как мы говорили в и как мы всегда делали с тех пор, первая — к Солнцу, вторая — к центру тяжести первой планеты и Солнца); обозначим также через компоненты их количеств движения; эти количества могут быть разложены в ряды следующим образом.

Вспомним результаты глав XIV и XV и, в частности, результаты . В этих главах вместо двенадцати переменных , которые я только что определил, мы употребили для определения положений двух планет двенадцать других переменных

Кроме того, мы ввели шесть аргументов

полагая

и шесть других постоянных интегрирования

и мы видели, что можно удовлетворить уравнениям движения следующим образом.

Количества

разложимы по степеням Каждый член периодичен относительно и зависит, кроме того, от двух постоянных интегрирования

Постоянные разложимы по степеням зависят, кроме того, от

Величины суть шесть постоянных интегрирования.

Наконец,

— полный дифференциал, если заменить в нем двенадцать переменных и их разложениями и рассматривать в этих разложениях как шесть независимых переменных, а шесть количеств , как постоянные.

Наши величины которые я только что определил, легко выражаются при помощи двенадцати переменных .

Мы заключаем, что . могут быть разложены в ряды, расположенные по степеням равно как по косинусам и синусам кратных в которых каждый коэффициент зависит, кроме того, от .

Сверх того, выражение

будет полным дифференциалом, если считать шестью независимыми переменными, а постоянными.

Ряды, полученные таким образом (едва ли есть нужда напоминать об этом), не являются сходящимися; они имеют значение только с точки зрения формальных вычислений, что придает им, однако, определенную практическую полезность, как я это объяснил в главе VIII.

Тем не менее, если подставить эти разложения в выражение интегрального инварианта, то результат подстановки опять должен будет, по крайней мере с формальной точки зрения, удовлетворять условиям, которым должен удовлетворять интегральный инвариант, что и доставит метод проверки, к которому я хочу привлечь внимание.

267. Выше мы видели, что

— интегральный инвариант.

Чтобы воспользоваться этим инвариантом, сделаем замену переменных, аналогичную замене п. 237.

Положим для большей симметрии в обозначениях

Мы видели, что х и у можно разложить в ряды, зависящие от и от в новых обозначениях, от

Тогда можно взять за новые переменные и и дифференциальные уравнения движения примут вид

(подобно тому, как в п. 237, уравнения (1) после замены переменных приводились к виду

Здесь функции только

Но еще лучше взять другие переменные; в самом деле, таккак шесть функции только шести то ничто не мешает взять вместо и в качестве переменных таким образом, чтобы дифференциальные уравнения приводились к виду

Интегральный инвариант первого порядка примет вид

где функции

Я могу предположить, что фигура дуга кривой, уравнения которой, меняющиеся со временем, имеют следующий вид:

причем переменные выражены в функции времени и параметра а, который меняется от до при прохождении всей дуги F. Тогда уравнения дуги будут

Приняв эти условия, я могу написать

откуда

Но мы имеем

откуда, наконец,

Если абсолютный интегральный инвариант, то мы должны будем, следовательно, иметь

Изучим теперь, что произойдет в случае, когда периодические функции и могут, следовательно, быть разложены в тригонометрические ряды.

Рассмотрим сначала уравнение (4); пусть

где зависят от

Уравнение (4) приводится к виду

что может иметь место только, если

или если

Но целые постоянные, наши независимые переменные, между которыми не может быть никакого линейного соотношения; уравнение (6), следовательно, влечет за собой

Это означает, что тригонометрическое разложение сводится к его среднему значению, т. е. что функция только не зависящая от

Перейдем теперь к уравнению (5); пусть

где для краткости записано вместо

Тогда уравнение (5) записывается так:

Рассмотрим сначала член, зависящий от т. е. такой член, что не обращаются в нуль одновременно. Будем иметь

в правой части не зависит от значит, эта правая часть не содержит ни члена с ни члена с Отсюда вытекает, что

Следовательно, Л. не зависит от и сводится к постоянному члену его тригонометрического разложения, члену, который зависит только от

Но тогда уравнение (5) сводится к

Вообще, всякий абсолютный линейный интегральный инвариант первого порядка, в котором выражение под знаком интеграла алгебраично относительно у и, следовательно, периодично по должен будет иметь вид

где зависят только от это действительно имеет место для известных нам абсолютных инвариантов, которые получаются дифференцированием интегралов площадей, живых сил или движения центра тяжести.

Но относительный инвариант

заслуживает большего внимания. Мы видели, что

(где - значения постоянной живых сил на двух концах дуги есть интегральный инвариант. Следовательно, будем иметь

Если мы опять положим

то уравнение (7) примет вид

ибо постоянная живых сил С — функция только от

Уравнения (4) и (5), следовательно, должны быть заменены следующими:

должны быть периодическими функциями

Если мы поступим с уравнениями так же, как поступили с уравнениями (4) и (5), то снова найдем:

1) что В. не зависят от

2) что не зависят от

Итак, мы находим окончательно

где зависят только от

Другими словами, выражения

или

не зависят от и являются функциями только либо , либо в зависимости от того, выражено ли все в функции или в функции

Таким же образом будем иметь

и С разложены, как я сказал, по степеням Выражения (8) и обе части равенств (9) также, следовательно, разложимы по степеням этих количеств.

Все члены разложений выражений (8) по степеням должны, следовательно, быть независимыми от

С другой стороны, каждый член разложения левой части (9) должен равняться соответствующему члену правой части.

Мы имеем, таким образом, очень большое число способов проверки наших вычислений.

268. Я сказал, что

— полный дифференциал, если считать постоянными, независимыми переменными.

Действительно, мы тогда находим

или, так как зависят только от и, следовательно, должны быть рассматриваемы как постоянные, то

откуда

откуда, наконец,

Вернемся на мгновение к обозначениям п. 162, В этом пункте, как и в п. 152, мы взяли за переменные

мы положили

С другой стороны, переменные (11) так же, как и переменные являются сопряженными переменными. Отсюда вытекает, что, как мне случалось несколько раз объяснять, выражение

есть полный дифференциал. Я прибавлю, что мы легко образуем функцию которую, следовательно, можно считать известной функцией

Тогда имеем

Так как при приложении методики главы XV мы пришли к построению функции S, уравнение (12) доставляет в новом виде искомую контрольную формулу.