Другие соотношения между инвариантами и интегралами

249. Посмотрим теперь, каким образом, зная некоторое число инвариантов, можно вывести один или несколько интегралов.

Сперва я предполагаю, что известны два инварианта порядка

и

где функции от х; я утверждаю, что отношение будет интегралом уравнений (1).

Действительно, рассмотрим уравнения в вариациях (2), и пусть

любых линейно независимых решений этих уравпений.

Эти решений будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений, аналогичной системам (6) и (7), которую я буду называть системой S.

Пусть А — определитель, образованный при помощи букв Тогда

будут интегралами системы следовательно, то же будет и для отношения

и так как это отношение зависит только от и не зависит от Е, то опо будет интегралом уравнений (1).

Тот же результат можно доказать другим способом.

Совершим замену переменных п. 237. Наши два интегральных инварианта превратятся в

и

где означает якобиан, или функциональный определитель старых переменных относительно новых переменных

Согласно п. 237, должны зависеть только от

следовательно, то же имеет место и для отношения а так как всякая функция от есть интеграл уравнений (1), то это отношение — интеграл уравнений (1), что и требовалось доказать.

250. Можно видоизменять эту методику несколькими способами. Пусть, например,

линейных инвариантов первого порядка. Предположим, что мы имеем тождественно

где зависят только от х, но не от дифференциалов

Я говорю, что если будут интегралами уравнений (1). Действительно, пусть к — коэффициент при мы должны будем иметь

Совершим замену переменных п. 237; наши инварианты перейдут в

Если, кроме того, положим

то получим

Мы будем иметь здесь линейных уравнений, из которых сможем найти лишь бы только было

Но коэффициенты к, согласно п. 237, зависят только от у, но не от z; следовательно, то же будет и для а это значит, что интегралы уравнений (1).

251. Пусть теперь

— интеграл; ясно, что

будет интегральным инвариантом первого порядка.

Тогда можно поставить себе следующий вопрос:

Рассмотрим интегральный инвариант первого порядка

и предположим, что величина под знаком интеграла есть полный дифференциал; какое соотношение будет между интегралом от этого полного дифференциала и интегралами уравнений

Чтобы отдать себе в этом отчет, совершим замену переменных п. 237; наш инвариант перейдет в

Коэффициенты должны зависеть от у, но не от z.

Если выражение есть полный дифференциал, то функция должна будет, следовательно, иметь вид

где интегралы уравнений (1). Тогда будем иметь

Но мы имеем, если вернуться к старым переменным

Отсюда следует, что

есть интеграл уравнений (1). Если это выражение равно нулю, то имеем

есть интеграл уравнений (1).

252. Можно было бы умножить число примеров этого рода; я приведу из них лишь один.

Рассмотрим инвариант первого порядка вида

Пусть А — дискриминант квадратичной формы Ф.

Совершим замену переменных п. 237; наш инвариант перейдет в

Пусть А — дискриминант квадратичной формы Ф.

Пусть якобиан, или функциональный определитель х относительно будем иметь

Кроме того, очевидно, что А будет (как и коэффициенты интегралом уравнений (1).

Пусть теперь дан инвариант порядка

После замены переменных п. 237 он станет

и должно быть интегралом уравнений (1).

Отсюда я заключаю, что

т. е.

должно быть интегралом уравнений (1).