Глава XXVIII. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ВТОРОГО РОДА

314. Рассмотрим систему уравнений

где — функции от периодические с периодом Т относительно

Пусть

— периодическое решение с периодом Т уравнений (1).

Мы сейчас посмотрим, допускают ли уравнения (1) другие периодические решения, близкие к (2), период которых кратен Т.

Эти решения, если они существуют, будут называться периодическими решениями второго рода.

Рассмотрим решение уравнений (1), очень близкое к (2). Пусть

— значение при и

— значение при (k — целое).

Величины определение которых, таким образом, то же, что и в главе III, будут очень малы, и, как в главе III, мы увидим, что функции от разложимые по возрастающим степеням

Для того чтобы решение было периодическим с периодом необходимо и достаточно, чтобы было

Так как (4) — периодические функции, то обращаются в нуль вместе с

Предположим, что функции фигурирующие в уравнениях (1), зависят от некоторого параметра Тогда функции будут зависеть не

только от но и от относительно они будут периодическими с периодом Т, где Т — постоянная, не зависящая от

При этих условиях функции определение которых остается тем же самым, будут зависеть не только от (3, но и от Если мы будем считать

координатами точки в пространстве измерений, то уравнения (3) представят кривую в этом пространство. Каждой точке этой кривой будет соответствовать периодическое решение с периодом

Поскольку все обращаются в нуль, когда все величины одновременно обращаются в нуль, то эта кривая будет содержать прямую

Различным точкам этой прямой будет соответствовать решение (2), которое, будучи периодическим решением с периодом Т, является периодическим решением с периодом

Но мы должны поставить вопрос, существуют ли другие периодические решения, близкие к первому, или, другими словами, содержит ли кривая (3), кроме прямой (4), другие ветви кривой, приближающиеся очень близко к прямой

Другими словами, имеются ли точки прямой (4), через которые проходят ветви кривой (3), отличные от этой прямой?

Пусть

— точка Р прямой (4).

Для того чтобы через точку Р проходило несколько ветвей кривой, необходимо, чтобы в этой точке Р функциональный определитель, или якобиан, величин относительно Р обращался в нуль.

Как мы увидим дальше, это условие не является достаточным для того, чтобы через точку Р проходило несколько действительных ветвей кривой.

Составим определитель от величин по прибавим — ко всем членам на главной диагонали и приравняем полученный таким образом определитель нулю. Мы получим уравнение, известное под названием -уравнения.

Корни этого уравнения (см. п. 60) суть

где а — один из характеристических показателей уравнения (1).

Для того чтобы функциональный определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из корней был равен нулю; следовательно, необходимо иметь

что означает, что есть кратное

Итак, чтобы через точку Р проходило несколько ветвей кривой, необходимо, чтобы один из характеристических показателей был кратным

315. Это условие не достаточно, и требуется более полное исследование. Положим

и попытаемся разложить величины по целым или дробным степеням

Мы предполагаем, что якобиан величин относительно равен нулю; этот якобиан обращается в нуль при но вообще не будет тождественным нулем; для этого необходимо было бы, чтобы один из характеристических показателей был постоянным, не зависящим от и равным кратному

Следовательно, мы предположим, что якобиан обращается в нуль при но что его производная по X в нуль не обращается.

Мы также предположим сначала, что миноры первого порядка этого якобиана не обращаются в нуль все одновременно.

В этом случае в силу теоремы п. 30 из уравнений (3) можно найти величин (3 в виде рядов, расположенных по целым степеням величины , например уравнение (3) подставим значения

найденные таким образом. Левая часть этого -го уравнения окажется, таким образом, разложенной по степеням запишем ее в форме

Я замечаю сначала, что в должно делиться на так как прямая (4) должна составлять часть кривой (3).

С другой стороны, производная 0 по должна обратиться в нуль при , поскольку якобиан обращается в нуль. При не содержит, следовательно, члена первой степени; предположим, что она также не содержит членов второй, степени, но содержит член степени

Наконец, так как производная якобиана по X не обращается в нуль, то мы будем иметь член с

Таким образом, я могу написать

где С — совокупность членов, содержащих множителем или постоянные коэффициенты, не равные нулю.

Мы видим, что отсюда можно получить в виде ряда, расположенного по степеням и вопрос заключается в том, чтобы установить, является ли этот ряд вещественным.

Если четное или если при нечетном коэффициенты имеют противоположные знаки, то ряд вещественный, и периодические решения второго рода существуют.

Если нечетное и если одного знака, то ряд мнимый, и периодических решений второго рода нет.

Теперь я предполагаю, что не только якобиан, но и его миноры первого, второго, -го порядков обращаются в нуль при Однако я предполагаю, что миноры порядка не обращаются в нуль все одновременно.

При этих условиях, согласно п. 57, мы будем иметь не один, а характеристических показателей, которые будут кратны

Тогда из уравнений (3) можно будет найти величин в виде рядов, расположенных по степеням остальных величин

Для краткости я обозначу первых количеств через остальных количеств через . Следовательно, мы будем иметь Р разложенными по степеням .

Подставим эти разложения вместо Р в последних уравнений (3), тогда получим уравнений

левые части которых будут разложимы по степеням

Поскольку якобиан и его миноры первых порядков равны нулю, эти левые части не будут содержать членов первой степени относительно не зависящих от

Пусть — совокупность членов 0 первой степени относительно ясно, что можно будет разложить по степеням пусть

— это разложение; будут однородными полиномами первой степени относительно .

Согласно предыдущему, будет тождественным нулем; но необходимо посмотреть, не будет ли таким же

Якобиан величин относительно равен

причем произведение, обозначенное знаком распространяется на сомножителей, соответствующих характеристическим показателям а. Пусть эти показателей и пусть

якобиан будет равен произведению

При якобиан, так же как его миноры первых порядков, обращается в нуль; отсюда вытекает, что показателей кратны Таким образом, множителей при обращаются в нуль, и, следовательно, делятся на Произведение их, т. е. якобиан, будет, следовательно, делиться на

Предположим, что при ни одна производная не обращается в нуль, что мы уже предположили выше. При этих условиях ни одно не делится на Следовательно, произведение не делится на

Итак, якобиан делится на но не на

Отсюда вытекает, что определитель величин 0 отличен от нуля и, следовательно, ни одна из величин не обращается тождественно в нуль.

Наиболее простым случаем является тот, когда при члены второй степени не исчезают в и когда члены второй степени не могут обратиться в нуль одновременно, если только все ( не обращаются в нуль одновременно.

Пусть тогда совокупность членов второй степени из при .

Тогда будет достаточно рассмотреть алгебраические уравнения

левые части которых суть однородные полиномы второй степени относительно X и величин

Если эти уравнения допускают вещественные решения, мы будем иметь периодические решения второго рода.

Я не буду рассматривать другие случаи, имея в виду сделать это полностью для уравнений динамики.